一笔画问题以及应用

一笔画的认识和应用

知识点：

一笔画问题

（1）什么是一笔画问题？

一个完整的图形，可以一笔不重复的画完（点可以重复经过，但是线不可以重复经过）。

（2）一笔画有什么作用？

用在画图，可以节省笔墨，节省时间；用在走路，可以节省路程，节省时间；..........。

（3）一笔画中的偶数点和奇数点分别是什么？

从一个点出发有几个方向出去或者有几条不同的线段连接，如果是奇数个方向或者奇数条线段连接就是奇数点；如果是偶数个方向或者偶数条线段连接就是偶数点。线段的末端也是奇数点，且标数为“1”。

（4）一笔画问题的条件：必须是一个联通的图形，即整个图形必须是一个整体。

①当所有点都是偶数点时，可以一笔画，以其中任何一个点为起点，画完整个图形后最后还是回到整个点。②当有奇数点，且奇数点为2个的时候，可以一笔画，以其中一个奇数点为起点，画完整个图形后，以另外一个奇数点为终点。

③其它情况都不可以一笔画。

（5）如何把两个奇数点变成两个偶数点？

①把两个奇数点之间连接的线段删除或者（先不画）；或者②在两个奇数点之间再连一条线即这条线段重复走1次；

（6）一个联通的图形至少需要几笔画完？

奇数点个数÷2

（7）把地点缩小成点，把桥梁，道路，门等转化成线段，起到一个连接的作用。转化为一笔画问题来解决实际问题。

例题部分

例1 、标出图中每个点上的数字，看看奇数点和偶数点各有多少个？

奇数点个数：（）个；偶数点个数：（）个。

例2、标出图中每个点上的数字，并数字奇数点和偶数点各有多少个，写在下面横线上。

①②③④⑤⑥⑦

①中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

②中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

③中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

④中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

⑤中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

⑥中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

⑦中奇数点有（）个、偶数点有（）个。

练习、标出下面图中每个点是奇数点还是偶数点，判断可不可以一笔画。

①②③

图①中奇数点有（）个，偶数点有（）个，（）一笔画。

图②中奇数点有（）个，偶数点有（）个，（）一笔画。

图③中奇数点有（）个，偶数点有（）个，（）一笔画。

例3、甲乙两个人从A和B点同时出发，速度相同，谁可以先走完所有的路程？为什么？

例4、应该把出、入口设置在什么地方，可以使得一次性走遍所有的地方不重复？

练习在顶点B和E各有1只蚂蚁的六面体如图，两只蚂蚁同时出发，速度一样，必须经过所有的线段，包含图中虚线，谁可以先到D点？

例5、下图中能不能走遍所有的地方（线段表示街道）不重复，如果不能怎么解决这个问题？可以允许多走一点不能够不走某些路且路线最短。

例6、下图中是一个展览馆的平面图，有三扇门与馆外相通，展室之间也有门相通，问参观者能否不重复的穿过所有的门，如果不能，应该关上哪扇门，就可以无重复的穿过所有的门了？

练习、下图是一个游览平面图，每个展示的门如图，能不能重室外进入室内，走遍所有的房间，最后离开室内呢，如果不可以，应该关上哪扇门？

例7、如图所示，表示邮递员投送信件的街道。图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发，最终要走遍所有的街道，问走什么样的路线最合理？

例8、如图所示，表示邮递员投送信件的街道。图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发，最终要走遍所有的街道，问走什么样的路线最合理？

例9、下图至少需要几笔才能画完？

例10、下图至少需要几笔画完。

练习、下图至少几笔可以画完。

例11、（著名的格尼斯堡七桥问题）18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，布勒格尔河从这里流过，河中有两个小岛A和B，河上有7座连接这两个小岛和河流的两岸C和D（如图）。当时那里的居民都热衷于一个有趣的游戏：一个人能否不重复地一次走遍这七座桥？题目看起来不难，大家都愿意试一试，但是多年过去了，答案是什么，谁也说不清楚。这个有趣的问题，也引起了著名数学家欧拉的注意。400人次的失败，引起了他的深思：也许这样的走法根本不存在。经过深入研究，1736年他证明了他的猜想，并从七桥问题入手，研究了“一笔画”问题，提出了一笔画图形的条件。

作业部分

1、标出奇数点和偶数点，并判断下图能不能一笔画？能一笔画的打√，不可以的打×。

2、标出奇数点和偶数点，并判断下图能不能一笔画？并判断下图能不能一笔画，能一笔画的打√，不可以的打×。

3、下图是某个公园游览平面图，出、入口应该设置在哪里，才能走遍公园的每一条道路不重复？

4、下图是一个地方的街道的平面图，洒水车从A点出发，走遍所有的街道，最后还是回到A点，问最合理的路线长度是多少千米？其中每段街道长度都是10千米。

5、下图是一个地方的街道的平面图，洒水车从A点出发，走遍所有的街道，最后还是回到A点，问最合理的路线长度是多少千米？图中数表示街道的长度，单位是千米。

6、下图①和②各至少需要多少笔画完？

①

②

7、下面三个图可以一笔画吗，可以的画，起始点设置在什么地方？在图中用“△”标记出来。