数学必修一复习资料
巧家县第一中学2018届
数学必修一
复习讲义
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（一） 集合与函数概念
1．(2013·四川高考)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2
－4＝0}，则A ∩B ＝( )
A ．{－2}
B ．{2}
C ．{－2,2}
D ．?
2．下列函数中与函数y ＝x 表示同一函数的是( )
A ．y ＝(x )2
B ．y ＝x 2
C ．y ＝3
x 3
D ．y ＝x 2
x
3．已知函数f (x )＝????
?
2x ，x ≥0x 2
，x ＜0
，则f (f (－2))的值是( )
A ．4
B ．－4
C ．8
D ．－8
4．下列图形中不是函数的图象的是( )
5．已知f (x )的定义域为[－2,2]，则f (x 2
－1)的定义域为( )
A ．[－1，3]
B ．[0，3]
C ．[－3，3]
D ．[－4,4]
6．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( )
A ．3x ＋2
B ．3x ＋1
C ．3x －1
D ．3x ＋4
7．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )
8．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9．函数f (x )＝1x －2x 在区间?
?????－2，－12上的最小值为( ) A ．1 B ．7
2 C ．－7
2
D ．－1
10．函数f (x )＝1x
－x ＋x 3
的图象关于( )
A ．y 轴对称
B ．直线y ＝x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝－x 对称
11．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合N 的真子集个数为( )
A ．8
B ．7
C ．4
D ．3
12．已知函数f (x )＝－x 5
－3x 3
－5x ＋3，若f (a )＋f (a －2)＞6，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，3)
C ．(1，＋∞)
D ．(3，＋∞)
13．已知集合A ＝{－2,1,2}，B ＝{a ＋1，a }，且B ?A ，则实数a 的值是________． 14．已知函数f (x )的图象如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________． 15．若函数f (x )＝(m －2)x 2
＋(m －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的单调递增区间是________．
16．对任意的两个实数a ，b ，定义min(a ，b )＝?
??
??
a
a ＜
b b a ≥b
，若f (x )＝4－x 2
，g (x )＝3x ，
则min(f (x )，g (x ))的最大值为________．
17．(本小题满分12分)已知全集U ＝{x ∈Z |－2＜x ＜5}，集合A ＝{－1,0,1,2}，集合B ＝{1,2,3,4}； (1)求A ∩B ，A ∪B ； (2)求(?U A )∩B ，A ∪(?U B )．
18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝
x
x －1
.
(1)求f (1＋x )＋f (1－x )的值；
(2)用函数单调性的定义证明函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|－x2＋3x－2|，试作出函数的图象，并指出它的单调增区间(不需证明)，求出函数在x∈[－1,3]时的最大值．
20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax－a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值．
21．(本小题满分12分)某类产品按质量可分为10个档次，生产最低档次的产品，每件利润6元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元，用同样的工时，最低档次每天生产60件，提高一个档次将少生产4件产品，问生产第几档次的产品，所获利润最大，最大是多少？
22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x＋1
x＋1
，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0)．
(1)判断函数f(x)在[0,1]上的单调性，并用定义加以证明；
(2)若对任意m∈[0,1]，总存在m0∈[0,1]，使得g(m0)＝f(m)成立，求实数a的取值范围．
(二)基本初等函数(Ⅰ)
1．(2013·重庆高考)函数y ＝1
log 2x －2
的定义域是( )
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(2,3)∪(3，＋∞)
D ．(2,4)∪(4，＋∞)
2．下列关于函数f (x )＝x 3
的性质表述正确的是( )
A ．奇函数，在(－∞，＋∞)上单调递增
B ．奇函数，在(－∞，＋∞)上单调递减
C ．偶函数，在(－∞，＋∞)上单调递增
D ．偶函数，在(－∞，＋∞)上单调递减
3．设集合S ＝{y |y ＝3x
，x ∈R }，T ＝{(x ，y )|y ＝x 2
－1，x ∈R }，则S ∩T 是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－1，＋∞)
C ．?
D ．R
4．已知函数f (x )＝????
?
log 3x x ＞0? ??
??12x
x ≤0，则f ????
??f ? ????127＝( ) A ．－1
8
B ．18
C ．－8
D ．8
5．若P ＝log 23·log 34，Q ＝lg 2＋lg 5，M ＝e 0
，N ＝ln 1，则正确的是( )
A ．P ＝Q
B ．Q ＝M
C ．M ＝N
D ．N ＝P
6．已知函数f (x )＝? ??
??12x
，则函数f (x ＋1)的反函数的图象可能是( )
高一数学必修一集合 函数知识点归纳
高一数学必修一（集合、函数）知识点归纳 1、集合三要素（三大特性） 确定性 无异性 无序性 2、元素与集合之间的关系 属于∈与不属于? 例如：N ∈0 ， *0N ?。 3、集合与集合之间的关系 包含? 真包含?≠ 例如：{}{}10范围A ，A 为B 的真子集。 4、集合的运算 交集 由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合 例如：B A 并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合 例如：B A 补集 设S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合 例如：S= {}1 这份资料是全部内容已经完成的一部分， 写中。此资料是必修一函数部分的总结， 同学有所帮助。 路。部分题目仅仅是题目。 的题目，总结这一类题目的思路与方法。活学活用。 第一部分典型例题解析 一、函数部分 一、函数的值域：求函数值域的常用方法有 方法、判别式、换元、分离常数法、方程法）。 1、函数y=的值域是（）。A、[0,+ B、[0,4) C[0,4] D（0,4） 解析：本题是指数函数与幂函数复合， 各自的取值范围。所以本题我们用直接分析法。 [) 40160 0160,4 x x x x ∴∴≥ ≤ Q＞16-4＜；要根号有意义，16-4 综上可知：16-4＜ 2、若函数() y f x =的值域是 1 ,3 2 ?? ?? ?? ，则函 1 ()() () F x f x f x =+的值域是（）。 11051010 .,3.2,.,.3, 23223 A B C D ???????? ???????? ???????? 解析：本题是复合函数求值域，可变 11 (),()(),,3 2 f x t F x F t t t t ?? ===+∈?? ?? 。 方法一：定义求单调区间 21 212121 2112 212112 12 12 12 1212 12 12 11 (),()(),,3,, 2 111 ()()()()(1). 1 011 1 11(1)0 1 1111 1 (1)0 f x t F x g t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ?? ===+∈?? ?? ∴-=+-+=-- -∴? - ? - Q 令＞ ＞，∴＞。当＞时，求得＜ ＜，＜。此时＜，函数递减。 当＜时，求得＞＞，＞。 此时＞，函数递增 [] 1 ,1,1,3.. 2 151010 (),(1)2,(3).()2,. 2233 x x g g g F x ?? ∴∈∈ ?? ?? ?? ∴===∴∈?? ?? 。 时函数递减.时函数递增 学了不等式的话，我们可以由基本不等式求单调 11 0,2, 1. 1 1 ,3 2 t t t t t t t ∴+≥=?= = = 此时 时，函数取得最小值。然后判断 时的函数值即可。 2 34 x y x = - 的值域是（） 44 ,)(,) 33 -∞+∞ U B. 22 (,)(,) 33 -∞+∞ U C.R 24 ,)(,) 33 -∞+∞ U 分离常数法。希望同学自己探究分离常数的方法。 22882 .0,. 3439129123 22 ,, 33 x y x x x =+≠∴≠ --- ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? Q U 24 .(34)2.. 3432 2 320. 3 22 ,, 33 x y y x x x x y y y ?∴-=?= -- ∴-≠?≠ ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? U 2 1 22 x y x x + = ++ 的值域是（）。 11 (,) 22 - B.(11 ,,) 22 ?? -∞-+∞ ?? ?? U C. 11 , 22 ?? -?? ?? ]1,1 - () 2 2 2 2 2 (21)210. 22110, , (21)210 11 =40.,. 22 ) yx y x y x x R y x y b a c y ?+-+-= ++=++≠ ∈ +-+-= ?? -≥∈-?? ?? 方程有意义。 在R上有根。 解得 讨论一元一次方程情况 1 1 (1) 1 y x x = ++ + ，参考例题2两个方法。 R的函数() y f x =的值域为[],a b，则函数 高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 人教版高一数学必修一重点知识点 总结5篇 学习高一数学知识点的时候需要讲究方法和技巧，更要学会对高一数学知识点进行归纳整理。下面就是给大家带来的人教版高一数学必修一知识点，希望能帮助到大家！ 人教版高一数学必修一知识点1 指数函数 (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴 的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数。 人教版高一数学必修一知识点2 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点 (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示 aαa∩α=Aa∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： aα bβ=a∥α a∥b 2.2.2平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： aβ bβ a∩b=Pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二 集合与元素的关系 1．属于 如果a 是集合A 的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 2．不属于 如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 知识点三 集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 知识点四 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的 ________表示集合的方法称为描述法． 知识点五 集合与集合的关系 1．子集与真子集 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 知识点六集合的运算 1．交集 高中数学集合测试题 1．以下元素的全体不能够构成集合的是【】 A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程210x 的实数解 D. 周长为10cm 的三角形 2．方程组23 211x y x y 的解集是【】 A . 51， B. 15， C. 51， D. 15， 3．给出下列关系：①12R ；②2Q ；③* 3N ；④0Z . 其中正确的个数是【 】A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．下列与集合A={1，2}相等的是【】 （A ）{1，2，3} （B ）}31{x x （C ）}023{2x x x （D ）N 5．已知集合}02{x x M ，}1{x x N ，则【】 （A ）M=N （B ）N M （C ）N M （D ）M 与N 无包含关系 6．.集合1,,,x y y x N x y y x M ，则（ ）A ．N M B ．N M C ．N M D ．N M 7．下列各式中，M 与N 表示同一集合的是【 】 A.2,1M ，1,2N B. 2,1M ，1 ,2N C.N M ,0 D.实数集 N R M ,8．设集合|12M x x ，|0N x x k ，若M N ，则k 的取值范围是 A ．2k B ．1k C ．1k D ．2k 【】 9．若2{,0,1}{,,0}a a b ，则20072007a b 的值为【】 A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 10．已知集合P={x|x 2 =1}，集合Q={x|ax = 1}，若Q P ，那么a 的值是【】 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0，1或－1 11．集合1,12,3,3,1,22a a a B a a A ，若3B A ，则a 的值是【】 A ．0 B. 1 C. 2 D. 1 12．设0,x x M R U ，11x x N ，则N M C U 是【】 A ．10x x B ．10x x C ．01x x D ．1x x 高中数学必修 1 知识点总结 集合 （1）元素与集合的关系：属于（ ）和不属于（ ） （2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 集合与元素 （3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 （4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法 子集：若 x A x ，则 A ，即 是 的子集。 B B A B 、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有 2 n 个，真子集有 (2 n -1) 个。 1 A n A 、任何一个集合是它本身的子集，即 A A 注 2 关系 、对于集合 A,B,C, 如果 A ，且 B C, 那么 A C. 3 B 、空集是任何集合的（真）子集。 4 真子集：若 且 （即至少存在 x 0 但 ），则 是 的真子集。 集合 ABAB B x 0 A A B 集合相等： A 且 A B A B B 集合与集合 定义： A B x / x 且 x B 交集 A 性质： ， ， ， ， AAAA ABBAABA,ABBAB A 定义： A B x / x 或 x B 并集 A 性质： ， ， ， ， ， 运算 AAAA AABBAABAABBAB A Card( A B) Card( A) Card( B) - Card( A B) 定义： C U A x/ x U 且x A A 补集 性质： A) A ， A U ， C U (C U A) ， ， (C U (C U A) A C U (A B) (C U A) (C U B) C U (A B) (C U A) (C U B) 函数 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： ⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流； ⑶非负奇数；⑷某校2011级新生； ⑸血压很高的人； 7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。 高中数学全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： (经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解 分析 一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象. 3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11 -x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A. 2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 1、下列各对函数中，相同的是 （ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1 1 lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+= -+= 11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f = 2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合 N 的函数关系的有 （ ） A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 二、函数的解析式与定义域 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O 高一数学必修1知识网络 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ???? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 高一数学必修一知识点必考难点总结5篇分享高一是高中学习生涯中打好基础的一年，而高中数学也是比较难的一门学科。那么，如何学好高一数学呢?下面就是我给大家带来的高一数学必修一知识点，希望对大家有所帮助！ 高一数学必修一知识点1 集合有以下性质 若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N_(2)非负整数集内排除0 的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a，b，c}，则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+c ard(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q 高一数学必修一知识点2 对数函数 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里 高中数学必修一函数知识点总结 同学们，今天开始讲解函数章节学习，函数这章极其重要，因为函数是高中数学重要的枢纽章节，高中数学除了立体几何和概率统计和函数没有关系之外，所有章节多多少少和函数有关系，所以函数学不好高中数学很难突破100以上，那么从第一堂开始往下面讲，认真往下听把所有题目听懂按照肖老师的要求掌握函数，学好函数是没有问题。函数这章我们应该讲什么内容呢？ 函数先看他的树枝图，第一个点要了解函数定义讲完，讲解函数三要素（定义域、解析式、值域） 接下来讲解函数四性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 接下来讲解函数类型主要讲解二次函数、指数、对数、幂函数、反函数这些内容讲完后，这个就是函数基础内容。 函数基础内容讲完后，准备了函数专题一：讲解函数零点问题分为了四个题型格外重要，一出题就是高考压轴题 那么第二个专题讲到恒成立问题 第三个专题总结一下函数压轴小题不能常规做，如果常规做，极有可能时间浪费掉正确答案也做不出来，有技巧的，有三个技巧方法非常高效。 第一种题型：三次函数的单调性、极值、最值及其应用，其实这个点，我们在六类不等式提到过。 第二种题型：差异取值验证法在解决函数选择难题中的妙用，全国卷做完百分之八十压轴选择题，除了一点函数题之外，其他章节题目也能用这个思想去做，同学可能或多或少有了解，带着大家把这种方法彻底让你掌握，高效去做压轴选择题 第三种题型：已知函数不等式求解抽象不等式这种题型是构造函数这些内容全部讲完相信你对函数这章体系特别完整，那么后续学习其他章节就不会因为函数这章没有学好而影响后面的学习。 那么开始进入第一个点函数三要素，一个点定义域，给大家讲解三个 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 高中数学必修一 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：(&&&&&) 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系， A?（或B?Ａ） 称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 (经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解 分析 一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象. 3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11 -x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A. 2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过 解方程组求得函数解析式。例5 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1 1 )()(-= +x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。 例8 设)(x f 是+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求 )(x f 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3 2（1） ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。 （2） (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域 1求函数值域的方法 ①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数 高一数学必修1各章知识点总结 一、集合 1、集合的中元素的三个特性： 2、集合的表示方法：列举法与描述法、图示法 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数R 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A 与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．?相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真 子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 . 4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值 一集合（§1.1.1 集合） 教学时间 :第一课时 课题:§1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学方法:尝试指导 教具准备:投影片（3张） 教学过程: （I）引入新课 同学们好！首先，我祝贺大家能升入苍梧第一高级中学进行高中学习。下面我想初步了解一下同学们的情况。请来自××中学的同学站起来。依次询问他们的名字，并板书。同样询问来自另一学校学生情况。××同学你为什么不站起来？来自××中学的三位虽然性别不同，年龄有差异，但他们有一个共同的性质——来自××中学。所以，在数学上可以把他们看作为有3个元素的集合（板书课题：集合，并将其姓名用{ }括起来），同样，××中学的二位同学也可看作有2个元素的集合。显然，刚才抽到的××同学如果作为一个元素就不属于上面这两个集合了。同学们！这节课我们将系统地研究集合的一些概念。讲四个问题：（1）集合和元素；（2）集合的分类；（3）集合的表示方法；（4）为什么要学习集合的表示方法？ （II）复习回顾 师生共同回顾初中代数中涉及“集合”提法. （Ⅲ）讲授新课 通过以上实例，教师指出： 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 师：进一步指出： 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 生：例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 师：请同学们另外举出三个例子，并指出其元素. 生：略.（教师给予评议）。 师：一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 生：在师指导下一一回答上述问题. 师：由以上四个问题可知， 集合元素具有三个特征： （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 ∈师：元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（?也可表示为）两种。 必修一重点题型总结 Partl 基本概念 I. 设函数 f (x) = 2x ? 3, g(x ? 2) = f (x),则 g (x)的表达式是(B ) A 2x 1 B . 2x -1 C . 2x_3 D . 2x 7 2?已知函数y = f (X ? 1)定义域是[-2, 3],则y = f (2x_1)的定义域是(A ) 5 A [0, 5 ] B. [-1, 4] C. [一5, 5] D. [一3, 7] 2 3. 已知函数f(χ) =(m -1)χ2 ? (m -2)x ? (m 2-7m 12)为偶函数，则m 的值是(B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若偶函数f (x)在- ：：,-1上是增函数，则下列关系式中成立的是( D ) 3 3 A f ( ) ■：. f(-1) < f (2) B . f (_1) ：：： f( ) ,. f(2) 2 2 C 3、 3 C. f (2) ：：： f(—1) ：：： f (- ) D . f(2) ：：： f(—厂：f (一1) 2 2 5. 已知函数f X =χ2 ?2 a -1 X 2在区间-：：,41上是减函数，则实数 a 的取值范围是 (A ) A. a < -3 B . a _ —3 C . a 乞 5 D . a _ 3 6. 已知f (x) =a χ3 ? bx -4其中a,b 为常数，若f(-2)=2 ,则f (2)的值等于(D ) A -2 B . -4 C . -6 D . -10 7. 已知 M =「y I y = x 2 —4x 3,x R , N 'y ∣ y = —x 2 2x 8,x R 则 MrlN=___[—1,9] _______ 。 8. 已知定义在R 上的奇函数f (x),当X 0时，f (X) = -)2 ? x -1,那么X ：：： 0时， 2 f (x) = X x 1. ax +1 1 7.若f (χ)= ---------- 在区间(-2, ■：：)上是增函数，则 a 的取值范围是 a _ o X+2 — 2 &若函数f(χ)= 2x *a 在[—1,1 ]上是奇函数，则f (X)的解析式为 _f (X)=二^_. x + bx +1 x +1 9满足条件{1,2,3} =M={1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 (C ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2 10 .不等式ax ? ax -4 ：：： 0的解集为R 则a 的取值范围是 (C ) (A) —16 空 a ：：0 (B) a > -16 (C) —16 ：：a ^0 (D) a ：： 0 II. 已知集合 A={x-1 兰X 兰3} , B ={y χ2 =y,x 迂 A} , C ={y y =2x + a , A},若满足高中数学必修一函数题型方法总结
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