学大精品讲义六下数学(含答案)第十三讲应用题(二)

第十三讲典型应用题（二）

、知识梳理

、方法归纳

（1）还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。

解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。

解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。

解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。（2）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵数四种数量关系的应用题，叫做植树问题。

解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿

线段植树还是沿周长|植树，然后按基本公式进行计算。

解题规律：沿线段］植树

棵数=段数+1 棵数=总路程十株距+1

株距=总路程+（棵数-1 ）总路程=株距X（棵数-1 ）

沿周长植树

棵数=总路程十株距

株距=总路程十棵数

总路程=株距X棵数

（3）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。

解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次

分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，

进而再求得物品数。

解题规律：总差额十每人差额=人数

总差额的求法可以分为以下四种情况：

第一次多余，第二次不足，总差额=多余+不足

第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足

第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余

第一次不足，第二次也不足，总差额=大不足-小不足

（4）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问

题”。

解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不

断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，

解题时，要善于利用差不变的特点。

（5）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用

题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，

然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。

解题规律：（总腿数-鸡腿数X总头数）十一只鸡兔腿数的差=兔子只数

兔子只数=（总腿数-2 X总头数）十2

如果假设全是兔子，可以有下面的式子：

鸡的只数=（4X总头数-总腿数）十2

兔的头数=总头数-鸡的只数

（6）工程问题：是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨

工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。

解题关键：把工作总量看作单位“1 ”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体

情况，灵活运用公式。

数量关系式：工作总量=工作效率x工作时间

工作效率=工作总量十工作时间

工作时间=工作总量十工作效率

工作总量十工作效率和=合作时间

三、课堂精讲

（一）还原问题

例1 某小学三年级四个班共有学生168人，如果四班调3人到三班，三班调6人到二班，二班调6人到一班，一班调2人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？

【规律方法】当四个班人数相等时，应为168+4，以四班为例，它调给三班3人，又

从一班调入2人，所以四班原有的人数减去3再加上2等于平均数。四班原有人数列式

为168 + 4-2+3=43 （人）

一班原有人数列式为168 + 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为168 + 4-6+6=42 （人）三班原有人数列式为168 + 4-3+6=45 （人）。

【变式训练11

【难度分级】A

1、小虎做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6,最后所

得的差是577。这道题的正确答案是多少？

2、一根绳子剪去一半多0.4米，再剪去余下的一半，还剩4.3米，这根绳子原来长多少米?

3、有一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去了剩下的一半多1米，最后还剩

2.5米。这条铁丝原来长多少米？

4、一群猴子分一堆桃子，第一个猴子取走了一半零一个，第二个猴子取走剩下的一半零一

个，……直到第七个猴子按上述方式取完后恰好取尽。这堆桃子一共有多少个？

（二）植树问题

例2沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻的两根的间距是50米。后来全部改装，只埋

了201根。求改装后每相邻两根的间距。

【规律方法】解题规律：沿线段植树：棵数-1=段数总路程=株距X（棵数-1 ）

本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为50 X （301-1 ） - （201-1 ）

=75 （米）

【变式训练2】

【难度分级】A

1、一条路每隔5米有电线杆一根，连两端共有20根，算一算，这条路有多长？

2、在一条长30米的走廊两边，每隔5米放一盆花，这样一共需要放多少盆花?

3、一个湖泊周围长1800米，沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树, 湖泊周围各栽了多少棵柳树和桃树？

4、某线路原有杉木电线杆71根，杆与杆之间的间隔为25米，今把原线路的杉木杆全部都

换成51根水泥杆，此时杆与杆之间的距离为_________ 米。（2009年中大附中）

（三）盈亏问题

例3参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组10人，则多25支,

如果小组有12人，色笔多余5支。求每人分得几支？共有多少支色铅笔？

【规律方法】每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有12人，比10人多2人，而色笔多出了（ 25-5 ）=20支，2个人多出20支，一个人分得10支。列式为（25-5 ）-（12-10 ）=10 （支）10 X 12+5=125 （支）。

【变式训练3】

【难度分级】A

1、把一袋糖分给小朋友，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3个小朋友分

不到糖，这袋糖有多少粒？

2、有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐

6人；如果减少一条船，每条船正好坐9人。这个班共有多少名同学？

（四）年龄问题

父亲48岁，儿子21岁。问几年前父亲的年龄是儿子的4倍？

【规律方法】父子的年龄差为48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的4倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前

父亲的年龄是儿子的4倍。列式为：21 （48-21 ）-（4-1 ）=12 （年）

【变式训练4】

【难度分级】A

1、陈叔叔今年35岁，恰好是小玲年龄的7倍，多少年后，陈叔叔的年龄是小玲年龄的3倍？（07年中大附中）

2、儿子的年龄是爸爸的1/4，三年前父子年龄之和是49岁。求父子现在年龄各是几岁？

3、甲的年龄数字颠倒过来恰好是乙的年龄，两人年龄和为99岁，甲比乙大9岁，求甲的年

龄。

（五）鸡兔同笼问题

例5鸡兔同笼共50个头，170条腿。问鸡兔各有多少只?

【规律方法】兔子只数（170-2 X 50 ） + 2 =35 （只）

鸡的只数50-35=15 （只）

【变式训练5】

【难度分级】A

1、红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红

蓝铅笔各买几支？

2、买一些4分和8分的邮票，共花6元8角，已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？

3、一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后因有事由乙接着打完，共用了7小时，甲打字用了多少小时？

4、六一儿童节，张老师带领43名同学去划船，如果大船每只坐6人，小船每只坐4人,

共租了9条船，大、小船各租了多少条？（06年联考卷）

【规律方法】理解运用正比例关系解决实际问题。

（七）工程问题

例6 有一份稿件，单独一个人抄，甲要10小时抄完，乙要12小时抄完。如果甲先抄4小

时后，剩下的由甲乙两人合抄，还要多少小时可以抄完。（2009年中大附中）

例7 一个水池上有两个进水管，单开甲管，10小时可把空池注满，单开乙管，15小时可

把空池注满。现先开甲管，2小时后把乙管也打开，再过几小时池内蓄有3/4的水?（原是空池）

例8 某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。如果由甲、乙两人合作,

需48天完成。现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需要多少天？

【规律方法】理解运用工程问题的关系解决实际问题。

（八）分数百分数的应用题

3 3

例9五年级体育测试“达标”人数的与六年级“达标”人数的相等。已知，六年级比

4 5

五年级多12人，五、六年级“达标”学生各有多少？

例10有两班同学参加植树活动，共分的一批树苗，一班分得的棵数比总数的30%多100棵，二班分得的棵数比总数的60%少50棵，求这批树苗有多少棵？

【规律方法】注意运用方程和算术两种方法解决问题。

【变式训练6】

【难度分级】A

1、有两筐苹果，已知第二筐是第一筐的_9，若从第一筐中拿出10千克放入第二筐，两筐

10

苹果的重量相等。这两筐苹果共有多少千克？

2、两个牧童放羊，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊正好是你的羊的2倍。”乙对甲说：“最好还是把你的羊给我1只，这样我与你的羊的只数就相等了。”请问甲有（）只羊，乙有（）只羊。

1

3、某班学生缺席的人数是出席人数的，此后因为从教室里又有一个学生走出，于是缺席

6

的人数等于出席人数的1，这个班一共有多少人?

5

3

4、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只

4

数同样多，这群鸭子有多少只？

5、一批煤第一次用去了1，第二次又用去了余下的3，还剩9吨，这批煤原有多少吨?

2

6、四、五年级参加航模小组共56人。从四年级来的学生中，男生占3。从五年级来的学

生中，男生占75%。四、五年级来的女生一样多。四、五年级各有多少人参加航模小组？

四、讲练结合题

1、甲、乙、丙三个中队，共有图书498册，如果甲中队给乙中队4册，乙中队给丙中队10

册，那么三个中队的图书册数相等。原来甲中队有图书多少册？

2、同学们玩扔沙袋游戏，甲、乙两班共有140只沙袋，如果甲班先给乙班5只，乙班又给甲班8只，这时两班沙袋数相等。两班原来各有沙袋多少只？

3、一根圆木锯成3段需要12分钟，锯成6段需要多少钟？（2010年汇景47入学卷）

4、有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完，钟敲12下，几秒

钟敲完？

5、一个老人以等速在公路上散步，从第一根电线杆走到第12根电线杆用了12分钟，这个

老人用同样的速度走24分钟，应走到第几根电线杆？

6、甲、乙两人由A地到E地，甲比乙早出发30分钟，晚到30分钟，甲每小时走3.5千米,

乙每小时走4千米，求A、E两地距离是多少千米？（06年联考卷）

7、三年前爸爸的年龄正好是儿子小刚年龄的6倍，今年父子年龄和是55岁，小刚今年多少岁？

8、爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多

少岁？

9、学校给大家买来文艺书和科技书共182本。其中文艺书本数的 -与科技书本数的-正好

4 5 相等。新买来的两种书各有多少本?

10、甲、乙两人共存款108元，如果甲取出自己存款的2/5，乙取出12元后，两人所存的

钱数相等。求甲、乙两人原来各存款多少元？

11、一项工程，甲独做要 12天，乙独做要16天，丙独做要20天，如果甲先做了 3天，丙 又做了 5天，其余的由乙去做，还要几天？

12、一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙 ?若同时开放甲、丙两管， 20小时可将满 池水排空；若同时开放乙、丙两水管， 30小时可将满池水排空，若单独开丙管， 60小时可 将空池注满?若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？

五?课后自测练习

1

1

1、梦果今年的年龄是爸爸年龄的

，4年后梦果的年龄是爸爸的 -，求梦果和爸爸今年的

6 4

年龄各是多少？

20%,第二次取出20千克，第三次取出的等于前两次数量

之和，桶里还剩下 8千克，原桶里共有多少千克油?

1 5

3，接着乙加工了余下的 百。已知乙加工的个 数比

甲多160个，这批零件共有多少个?

2、一桶油，第一次取出全桶的

3、加工一批零件，甲先加工了这批零件的

4、六(I )班参加气象兴趣小组的人数是没有参加气象小组人数的

了气象小组，这样参加的人数是未参加人数的

-。这个班共有学生多少人?

5

5、学校红墨水的瓶数占红、黑墨水总数的

4

。后来又买进60瓶红墨水，这时红墨水的瓶

9

数占红、黑墨水总数的 石。这个学校现有红、黑墨水的总数是多少瓶？

3

6、阅览室看书的同学中，女同学占

，从阅览室走出4位女同学后，看书的同学中，女同

5

学占5，原来阅览室里一共有多少名同学在看书？

9

1

，再放人15克水后，糖只占1，这杯糖水中糖有多少克?

4

5

8、三(1)班上学期男生占—，这学期转进6名女生后，男生就只占 -了，这个班现有女生

13 2

多少人?

1

，后来又有6人加人

2

7、一杯糖水，其中糖占

5 1 9、两个车间，甲车间人数是乙车间的，乙车间调走48人后，甲车间人数比乙车间少—，

8 4 甲车间有多少人？

10、某工厂有两个车间，第一车间人数占全厂总人数的2o,如果从第一车间调24人到第二车间,则两个车间人数就相等了，原来第一车间有多少人.?

4

11、学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占9，后来又有几名女生来看书，这时女

生人数占所有看书人数的_L，问后来又有几名女生来看书？

19

12、六年级(1)班有学生58人，其中男生占总人数的0后来又转来几个女生，这样，女

生就占总人数的詈，转来女生多少人?

13、甲、乙、丙、丁四人共同购置一只价值4200元的游艇，甲支付的现金是其余三人所付

1

现金总数的一，乙支付的现金比其余三人所支付的现金总数少50%，丙支付的现金占其余4

1

三人所支付的现金总数的，那么丁支付的现金是多少？

3

3 3

14、五年级体育测试“达标”人数的 -与六年级“达标”人数的相等。已知，六年级比

4 5

五年级多12人，五、六年级“达标”学生各有多少？

15、（2012年小联盟）小华和小兵一起设计毕业板报，如果两人一起做，6天可以完成。现在

小兵先做2天，小华再做一天，完成了板报的四分之一。如果小华单独做，需要多少

天完成？

16、（2007年省实）某项工作先有甲单独做45天，再由乙单独做18天可以完成，如果甲

乙两人合作可30天内完成。现由甲先单做20天，然后再由乙来单独完成，还需要 _________ 天。第十三讲典型应用题（二）

【答案】

【变式训练1】

【难度分级】A

1、解：被减数十位上的6错写成9 就是多加了30,应该再减去30。

减数个位上的9错写成6 就是多减去了3,应该补3回来。

所以正确应该是577-30+3=550

2、解：设原来长X米

[X + 2-0.4] - 2=4.3

X=18

3、解：（2.5+1 ）X 2=7 （米）

（7-1 ）X 2=12 （米）

答：这条铁丝原来长12米

4、解：再从0出发，逐步分步列式为

第6个猴子剩桃子数为（0 + 1）X 2= 2 （个）

第5个猴子剩桃子数为（2 + 1）X 2= 6 （个）

第4个猴子剩桃子数为（6 + 1）X 2= 14 （个）

第3个猴子剩桃子数为（14+ 1 ）X 2= 30 （个）

第2个猴子剩桃子数为（30 + 1 ）X 2= 62 （个）

第1个猴子剩桃子数为（62 + 1 ）X 2= 126 （个）

原有桃子数为（126+ 1 ）X 2= 254 （个）

【变式训练2】

【难度分级】A

1、解：因为每隔5米有电线杆一根，即是每相邻两根电杆之间间隔5米，共有20根，所以共有20-仁19个间隔，故距离为19 X 5=95米

2、解：30- 5=6,

两端都要放时：（6+1）X 2=14 （盆）；两端都不放时：（6-1 ）X 2=10 （盆）；只有一端放时：6X 2=12 （盆）；

答：一共需要放14或10或12盆花.

3、解：1800十3=600,再减去一颗，因为首尾相连有一棵重复，所以柳树599。

4、解:71-1=70 （个），

70X 25=1750 （米），

51-1=50 （个），

1750 - 50=35 （米），

答：此时杆与杆之间的距离为35米.

【变式训练3】

【难度分级】A

1、解：设有X个小朋友

10X=16X-48

6X=48

X=8

8X10=80 粒糖

2、解：解：设有x条船，

9* （x-1 ）=6* （x+1）

9x-9=6x+6

3x=15

x=5

有5条船，那么9* （5-1）=36 （名）

【变式训练4】

【难度分级】A

1、陈叔叔35岁，是小玲的7倍，所以小玲的年龄是叔叔的年龄除以岁。

599。同理桃树也7,小玲实际是35/7=5

设N年后，陈叔叔的年龄是小玲的3倍。

根据条件，N年后，陈叔叔的年龄是35+N,而小玲的年龄是5+N。

如果叔叔的年龄在N年后是小玲的3倍，也就是等式：35+N=3* ( 5+N 解题如下：35+N=15+3N

35-15=3N-N

20=2N

N=20/2=10

答：10年后，陈叔叔的年龄是小玲年龄的3倍。

2、解：设儿子年龄为X,老爸为4X。

X-3+4X-3=49

5X=55

X=11

父亲就是11 x 4=44 (岁)

3、解：设甲为X岁。

X+X-9=99

X=54

【变式训练5】

【难度分级】A

1、解：设红笔买了X支，则蓝笔买了( 16-X )支

红笔需要的钱数：0.19X

蓝笔需要的钱数：0.11 (16-X)

因为总共花了 2.80元，所以总算式为：

0.19X+0.11 (16-X ) =2.80

0.19X+1.76-0.11X=2.80

0.08X=2.80-1.76=1.04

X=13

答：红笔13支，蓝笔3支。

2、解：设4分的x张，8分的x+40张

4x+8(x+40)=680

3x=90

x=30

4分的有30张，8分的有70张

3、解：甲的速度：1 / 6

乙的速度：1 / 10

设甲打了n小时，乙接着打

1 = 1 / 6 * n + (7-n) * 1/10

n=4.5

所以甲打字用了 4 . 5个小时

4、解：设大船需租x条，则小船需租(9-x )条，

6x+[ (9-x ) X 4]=43+1 ,

6x+[36-4x]=43+1 ,

x=4;

小船：9-4=5 (只)；

答：大船4条，小船5条.

例6解：甲每小时完成：1/10 乙每小时完成：1/12 甲乙合作每小时完成：

1/10+1/12=1/6 所以1-4X 1/10=3/5 3/5 除以1/6=3.6 即还要用3.6小时可以抄完。

例7解：解设再过x小时池内注有4分之3的水

1/10 X 2+ ( 1/10+1/15 ) x=3/4

1/6x=11/20

x=33/11

答再过33/11小时池内注有4分之3的水

例8 解：设甲一天能做X,乙一天能做Y,在已知条件下，乙还需要Z天，那么，63X+28Y=48

(X+Y),

可得：3X=4Y

再列方程：42X+ZY=63X+28Y

可得：ZY=21X+28Y

将上面1式代入2式，可得：Z= 56

例9解：设五年级达标人数为X,六年级为Y

(3/4 ) X= ( 3/5 ) Y

y=x+12

解方程：x=48; y=60

例10 解：(100- 50) +( 1-3/5-3/10 ) =50+ 0?仁500 棵答：这批树苗有500棵

【变式训练6】

【难度分级】A

1、解：相差=10+10=20千克

第一筐=20+ (1 -9/10)=200 千克

第二筐=200X 9/10=180 千克

一共=200+180=380 千克

2、解：乙回答道：

“最好还是把你的羊给我一只，这样我们的羊只数就冋样多了? ”说明

甲比乙多2只，

乙给甲一只，那么，甲就会比乙多

2+1+1=4(只)

此时，甲是乙的2倍,这是一个差倍问题

说明乙拿出一只后，剩下

4+ (2 -1)=4(只)

所以，乙原有

4+1=5(只)

甲原有

5+2=7(只)

3、解：原来出席人数占总数的 1 + (1 + 1/6)=6/7

减少1人后，出席人数占总数的1 + (1 + 1/5)=5/6

总人数:1 + (6/7 -5/6)=42 人

4、解：将原来水中的鸭子看作单位“ 1”，所以原来岸上的鸭子是1X 3/4 = 3/4 ,则鸭子共