二次函数最值问题复习专题(专题复习或公开课适用)

二次函数之最值问题研究

成都石室联中 何家明

【教学目标】 建立二次函数数学模型，并用数学模型求最值;

【教学重点】 如何根据题意建立数学模型，并选择适当方法求最值；

【教学难点】 建立二次函数的数学模型

一、知识回顾

求最值问题的基本解题步骤：

1．审题．读懂问题，分析问题各个量之间的关系；

2．列数学表达式．用数学方法表示它们之间的关系，即建立二次函数关系式；

3．求值．利用顶点坐标公式24,24b ac b a a ??-- ???

（对称轴法）或配方法求得最值； 对称轴法：（1）把2b x a

=-

代入2y ax bx c =++即可求出其最值； （2）自变量不能够取得2b x a

=-时， ①当0a >时，离对称轴越远函数值越大，离对称轴越近，函数值越小； ②当0a <时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近，函数值越大. 配方法：将二次函数2y ax bx c =++转化为2()y a x h k =-+的形式，对称轴为x h =．

4）

二、分类问题处理:

第一类 常规求最值问题

【例1】（1） 抛物线y=23

x 2－4x ＋21的最小值是（ ） A.21 B.－21 C. 15 D.－15 （2）二次函数281y x x k =++-的最小值是5，则k 的值是（ ）

A.6

B.6-

C.15

D.－15

〖变式训练〗

（1）抛物线21432

y x x =--+的最大值是（ ） A.3 B.－3 C. -11 D.11 （2）抛物线24y x ax =--的最大值是（ ）

A.24a

B.24a -

C.4

D.-4

第二类 含自变量取值限制的求最值问题

【例2】（1）二次函数2415y x x =--上有三个点A 19,2y ??- ???、B 23,2y ?? ???、C 315,2y ??- ???

， 则123y y 、、y 的大小关系是 ；

（2）二次函数245y x x =-++，求当61x -≤≤的最值。

变式练习：

（1） 二次函数2229y x x =---上有三个点A 111,2y ??- ???、B 225,2y ?? ???、C 37,2y ??- ???

， 则123y y 、、y 的大小关系是 ；

（2）二次函数2

614y x x =--，求当19x -≤≤的最值。

第三类 实际应用下的最值问题研究

【例3】某水果批发商销售每箱进价为40元的的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式.当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

O x y O x y

〖变式训练〗

如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去4个同样大小的正方形然后折合成一个无盖的长方体盒子，侧面积是否有最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

第四类 与几何相关的应用下的最值问题研究

【例4】如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE 的三个顶点分别是C （3，0），D （3，4），E （0，

4）．点A 在DE 上，以A 为顶点的抛物线过点C ，且对称轴x=1交x 轴于点B ．连接EC ，AC ．点P ，Q 为动点，设运动时间为t 秒．

（1）填空：点A 坐标为 ；抛物线的解析式为 ．

（2）若点P 在对称轴上从点A 开始向点B 以1个单位/秒的速度运动，过点P 做PF ⊥AB ，交AC 于点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，交抛物线于点Q ，连接AQ ，CQ ．当t 为何值时，△ACQ 的面积最大？最大值是多少？

A B C 三、当堂过关

1. 在二次函数(1)(2)y x x =-+中，当x = 时y 有最 值为 ．

2．已知二次函数()21352

y x =--+. （1）若x 为任意实数时，y 最大值=________，y 有最小值吗？________（填“有”或“无”）；

（2）若1≤x ≤7时，y 最大值=________，y 最小值=________；

（3）若2-≤x ≤1，y 最大值=________，y 最小值=________；

（4）若013x <<且x 为偶数时，则y 最大值=_______，y 最小值 =________；

3．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________米 ．

四、归纳小结

五、课后作业

1．当x ≥3时，二次函数2241y x x =-+的最小值是（ ）

A ．7

B ．7-

C ．1

D ．1-

2．已知二次函数28y x bx =-+-的最大值为8，则b 的值为（ ）

A ．8

B ．8-

C ．16

D ．8或8-

3．已知二次函数2241y x x =--+，当5-≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别为________.

4．将进货单价为70元的某种商品按单价100元售出时，每天能卖出20个. 若这种商品的售价在一定范围内每降低1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大日利润，则应降价________元，最大日利润为__________元.

5.如图，有长为24m 篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a 为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB 为x m ，面积为S 平方米。

（1）求S 与x 的函数关系式；

（2）求围成花圃的最大面积，并说明围法；若不能请说明理由。

6.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于点A （1，0）、B （3-，0）．

（1）该抛物线的解析式为 ；

（2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC

5题图