微积分基本定理教案
第五章定积分及其应用
第三节微积分基本定理
教学基本信息
教学课题第三节微积分基本定理教学时间45分钟
教学重点微积分基本公式教学对象高职高专学生教学难点变上限积分函数及导数
教学内容1.变上限积分函数的定义.
2.变上限积分函数的导数.
3 .微积分基本定理.
教学要求 1.理解变上限积分函数定义及其导数;
2.熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式的应用 .
双语教学微积分:Calculus; 变上限积分函数:Integration of variable upper limit function ;导数Derivative;牛顿-莱布尼兹:Newton-Leibniz.
教学过程
一、复习
1. 定积分的定义
2. 定积分的几何意义
3.定积分的性质
二、引入新课
一蝴蝶在一正弦形]
,0[
,
sinπ
∈
=x
x
y花带中飞行,求蝴蝶活动的区域面积?
问题1:蝴蝶活动的区域面积如何表示?学生回答:?=π0sin xdx
S
问题2:能否用定积分的定义求出积分值?
学生回答:不能。因为在求积分和时不易计算。
有没有简单的方法求出这个积分值呢?有。通过“微积分基本定理”的学习。我们将给出求定积分的一种简单方法。
三、探究
感性认识变上限积分函数
备注
引入问题,激起兴趣,
案例教学法
例如 211
0=
?dx x 220=?dx x 2
9
30=?dx x … 下限是一常数,给出一个上
限x ,通过求对应的定积分.有唯一确定的一个积分值y 与之对应.dt t y x
?=0
是一个
以x 为自变量的函数。
1、变上限积分函数的定义
定义1:设)(x f 为区间],[b a 上的连续函数,任取],[b a x ∈都有唯一确定的定积分
))(()(dt t f dx x f x
a
x
a
??
=与之对应.这种对应满足函数的定义.因此,它是定义在区间
],[b a 上的函数.记为: ?=x a
dt t f x )()(?
(其几何意义如图)
?=x
a
dt t f x 积分函数。形式的函数称为变上限形如)()(?
例1 判断下列函数是否为变上限积分函数
?=Φx
a
t
dt e x )( ?=Φa
x
t
dt e x )( ?=Φx
a
xdt x cos )( ?=Φx
a
xdt x 2cos )(
(提问学生,询问原因)
通过例题讲解.使学生进一步体会变上限积分函数的特征: 下限是一常数,上限只有一个自变量x .同时,这是一类函数.这类函数如同其它函数一样,可以计算求其定义域,值域…在这我们根据需要,只学习它的一条性质---导数.从而引出
2、变上限积分函数的导数
b],[ )()()(,
b],[)()( , b],[ f(x ) 1a x x f dt t f dx d x a dt t f x a x
a x
a ∈=='=??,且上可导在数限积分函则变上上连续在如果定理??
对于定理的证明不要求掌握. 例2 求下列函数的导数
提问学生,询问原因
提问学生,询问
原因 教师根
a
x
y
o
)
(x Φx
b
1394)4()
4()42()42(42:52
220
25
2
2
5
0=+=-+--==-+--==
-??
?x x x x dx x dx x dx x 解 例6dx x
?
--1
2
1
求 解
2ln 2ln 1ln ln 1
12
1
2
-=-==---?
x dx x
?,1
:11
莱布尼兹公式吗能用牛顿计算定积分问-?
-dx x
对本节开始引例的解答
一蝴蝶在一正弦形],0[,sin π∈=x x y 花带中飞行,求蝴蝶活动的区域面积?
[].2cos sin :00=-==π
π
?x xdx A 面积解
四、课堂练习 (分组练习,教师答疑)
)2(.)(10Φ'=Φ?求设x
t dt e x 、
2
)2(e )(:e
x x
=Φ'∴=Φ' 解
y tdt 、y x a
'=?求.cos 22
)2(2cos :'
?='x x y 解?=x 2cos 2
.)1()(3的极值求?-=x a
dt t x f 、
.2
1]21[)1()1(.
,0)(,1.,0)(,10
)(,11)(:10
210为函数的极小值函数为减函数时函数为增函数时时定义域为解-=-=-=∴<'<>'>='=-='?t t dt t f x f x x f x x f x x x f R
五、课堂小结
提问学生,引起对使用条件的重视
学生解答
练习法(巩固知识)
(注:本资料素材和资料部分来自网络,仅供参考。请预览后才下载,期待你的好评与关注!)
微积分基本定理(17)
1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
7.微积分基本定理练习题
7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 专题13定积分与微积分基 本定理知识点 标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基 本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、知识链接: 定积分的概念: 用定义计算的步骤: 2、合作探究: ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢? 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差 牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何,竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始,然后给出积分上限函数的定义,最后总揽全局,得出结论。证明过程会尽可能地保持严密,也许你会不太习惯,会觉得多佘,不过在一些条件上如函数f(x),我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的,都是从最低层最简单开始的,所以你绝对,注意,请注意,你是绝对能看懂的,对于寻求真理的人,你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心,我建议你别看了,因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1],其中x 0=a ,x n =b ,第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义,我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积,因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即: 性质1:证明?b a c dx = C(b-a),其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2:F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数,证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?专题13定积分与微积分基本定理知识点
定积分及微积分基本定理练习题及答案
微积分基本定理 教案
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
定积分及微积分基本定理练习题及答案