现代控制理论大作业

现代控制理论

大作业

2015年1月

一.系统的工程背景及物理描述

超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素。为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系统的固有频率一般在2Hz左右。

上图表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。上图表示一个单自由度振动系统，空气弹簧具有一般弹性支承的低通滤波特

性，其主要作用是隔离较高频率的基础振动，并支承机床系统；主动隔振

系统具有高通滤波特性，其主要作用是有效地隔离较低频率的基础振动。

主、被动隔振系统相结合可有效地隔离整个频率范围内的振动。

床身质量的运动方程为：

F——空气弹簧所产生的被动控制力

p

F——作动器所产生的主动控制力

a

假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：

电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性。

由于系统工作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：

其中，电枢电流Ia满足微分方程：

1.性能指标：

闭环系统单位阶跃响应的：超调量不大于5%；过渡过程时间不大于0.5秒（∆=0.02）

2.实际给定参数：

某一车床的已知参数

3.开环系统状态空间数学模型的推导过程： 对式

0y s s =-两边求二次导，

..

..

.

011()({1[/()]})

n p a r r r e e e a y s F F c y k y p V V A y A k I m m

==-+=-++-++对上式再求一次导，

()01

e a y cy k y k I m η=-+++

其中1/()r r r e e

p V V A y A η⎧⎫''⎡⎤=-+⎨⎬⎣⎦⎩⎭

则

，

又由

,代入

00(,)()a e e

my cy k y my cy k y L

R E I y u t k k ηη

++++++--+=，即

令状态变量为

，

得系统开环的状态方程为：1223

003123e x x x x Rk Lk Rc k Lc Rm x x x x u

Lm Lm Lm Lm ⎧

⎪=⎪

=⎨⎪++⎪=----⎩

于是状态空间表达式为：

[]11220033123010

00

010100e x x x x u

Rk

Lk Rc x k Lc Rm x Lm Lm Lm Lm x y x x ⎧⎡

⎤⎡⎤

⎪⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎪⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎪⎣

⎦⎣⎦----⎢⎥⎢⎥

⎨⎣⎦⎣⎦

⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥

=⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎩

代入系统参数，

[]112233123010000103157.8910.53315.798.60100x x x x u x x x y x x ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎪⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨

⎡⎤⎪

⎢⎥

⎪=⎢⎥⎪

⎢⎥⎪⎣⎦⎩

二、系统的定性分析

系统的能控能观性根据其能控性矩阵和能观性矩阵是否满秩来判断。

Matalab 代码为：

结果如下所示，该系统能控能观。

判断系统的稳定性，根据系统稳定性的充分必要条件，求出系统的所有极点，并观察实部是否有大于0的极点。求得的极点中实部有大于0.故系统不稳定。

三．系统的反馈控制器设计

由性能指标超调量小于5%

，即exp 5%⎛⎫

≤，

过渡时间不超过0.5s ，则有4

0.5s n

t ξω≈

≤，得 所以θ ，8n ξω≥。

为留出裕量，取ξ=0.8，Wn=20.

那么共轭极点11612j λ=-+，21612j λ=--，取第三个极点为3100λ=-，则系统的期望特征多项式为：

32()(1612)(1612)(100)132360040000f j j λλλλλλλ=+++-+=+++

设状态反馈控制律为：[]11

2

323x u k k k x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

于是，闭环系统的状态空间表达式：

[]112212333123010000103157.898.610.538.6315.798.68.60100x x x x u k k k x x x y x x ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨

⎡⎤⎪

⎢⎥

⎪=⎢⎥⎪

⎢⎥⎪⎣⎦⎩ 可得系统的特征多项式为：

32321()(315.798.6)(10.538.6)(3157.898.6)f k k k λλλλ=++++++ 两式对比，得321315.798.613210.538.636003157.898.6=40000

k k k +=⎧⎪

+=⎨

⎪+⎩，

解得1234284.0

417.3821.37k k k =⎧⎪

=⎨⎪=-⎩

Matalab 程序为：

求得状态反馈矩阵结果为：