江西省抚州市临川一中2019_2020届高三数学上学期第一次联合考试试题文

江西省抚州市临川一中2019-2020届高三数学上学期第一次联合考试

试题 文（含解析）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答． 1.设集合{}

26A x x =-<<，{

}

2

4B x x =>，则A B =I （） A. {}

26x x <<

B. {}

26x x -<<

C. {}

22x x -<<

D.

{}6x x >

【答案】A 【解析】 【分析】

先求出集合B ，再利用交集的运算即可求出。 【详解】因为{}{

2

42B x x x x =>=>或}2x <-，

{}26A x x =-<<，

所以{}

26A B x x ?=<<，故选A. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算.

2.设,a b ∈R ，则“()2

0a b a ->”是“a b >”的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分

也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】

利用充分、必要条件定义即可判断。

【详解】()2

0a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出

()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。

【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。 3.若a ＝12??

???23，b ＝15?? ???23，c ＝12?? ???

1

3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a ＜b ＜c B. c ＜a ＜b C. b ＜c ＜a D. b ＜a ＜c

【答案】D 【解析】 【分析】

根据y ＝2

3x (x >0)是增函数和y ＝12??

???

x

是减函数可求得结果. 【详解】∵y ＝x 2

3 (x >0)是增函数，∴a ＝12??

???23>b ＝15?? ???

2

3. ∵y ＝12??

???x 是减函数，∴a ＝12?? ???23＜c ＝12?? ???

1

3，∴b ＜a ＜c . 故本题答案为D.

【点睛】本题考查幂函数和指数函数的性质，考查学生利用函数单调性进行比较大小，掌握幂函数和指数函数的基本知识是重点，属基础题.

4.若复数z 满足342z i +-=，则z z ?的最大值为（） A. 9 B. 81

C. 7

D. 49

【答案】D 【解析】 【分析】

根据复数的几何意义可知，复数z 对应的点的轨迹是以（-3,4）为圆心，半径为2的圆，z z ?表示圆上的点到原点的距离的平方，由几何知识即可求出。

【详解】由题意可知，复数z 对应的点的轨迹是以点A （-3,4）为圆心，半径为2的圆，z z ?

表示圆上的点到原点的距离的平方，因为5OA =

=，所以

z z ?的最大值为()2

5249+=，故选D 。

【点睛】本题主要考查复数的几何意义的应用。

5.已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ，若(

)544k k S a k N *

+-=∈，

则k 的值为（） A. 6 B. 7

C. 8

D. 7或8

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意可求出等差数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ，即可列出等式，解出k 的值。 【详解】由题意得，22n a n =+，()214232

n n n n S n n -=+

?=+，所以

()2321244k k k +-+=，解得7k =或8k =-（舍去），故选B 。

【点睛】本题主要考查等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式的应用。

6.已知实数 x y ，

满足1

{21y y x x y m

≥≤-+≤，如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ） A. 6 B. 5

C. 4

D. 3

【答案】B 【解析】

试题分析：由下图可得

z x y =-在A 处取得最大值，由

min 211212

{

(,)333

y x m m m A z x y m =-+--+??=+=

1=-?5m =，故选B.

考点：线性规划.

【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤：（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数

变形为a z

y x b b

=-

+；（3）作平行线：将直线0ax by +=平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使z

b

最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将

（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（小）值.

7.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36、36、37、37、40、43、43、44、44，若用样本估计总体，年龄在()

,x s x s -+内的人数占公司人数的百分比是（ ） （其中x 是平均数，s 为标准差，结果精确到1%） A. 14% B. 25%

C. 56%

D. 67%

【答案】C 【解析】 【分析】

依据题意，计算出平均数和方差、标准差，即可求出百分比。 【详解】因为363637374043434444

409

x ++++++++=

=，

()21100

161699099161699s =

++++++++=，即103

s =，年龄在()

,x s x s -+内，即 110130,33?? ???

内的人数有5人，所以百分比为556%9≈，故选C 。

【点睛】本题主要考查利用样本估计总体，涉及平均数、方差、标准差的计算，意在考查学生的计算能力。

8.在平行四边形ABCD 中，点P 在对角线AC 上(包含端点)，且2AC =，则()

PB PD PA

+?u u u r u u u r u u u r

有（） A. 最大值为

1

2

，没有最小值 B. 最小值为1

2

-

，没有最大值 C. 最小值为1

2

-，最大值为4 D. 最小值为4-，最大值为

12

【答案】C 【解析】 【分析】

画出图形，通过平面向量的线性运算可将()

PB PD PA +?u u u r u u u r u u u r

转化为两个共线向量的数量积，分

类讨论点P 的位置，利用基本不等式即可求出最值。

【详解】如图所示：

2PB PD PO +=u u u r u u u r u u u r

，所以()

2PB PD PA PO PA +?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

（1）当点P 在AO 上，设[]0,1OP a =∈u u u r

，()

22(1)PB PD PA PO PA a a +?=?=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

11(1)22a a a a +--≤

=，所以()

11

242

PB PD PA +?≥-?=-u u u r u u u r u u u r ； （2）当点P 在CO 上，设[]0,1OP a =∈u u u r

，

(

)

22(1)224PB PD PA PO PA a a +?=?=+≤?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

；

综上， ()

PB PD PA +?u u u r u u u r u u u r 的最小值为1

2

-，最大值为4，故选C 。

【点睛】本题主要考查向量数量积运算、基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力。

9.已知函数21()ln f x x x x ??

=- ???

，则曲线

()f x 在1x =-处切线方程为（） A. 230x y -+=

B. 210x y +-=

C. 210x y -+=

D.

20x y ++=

【答案】A 【解析】 【分析】

先求出0x <时，()f x 的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程。

【详解】当0x <时，()()211()ln ln f x x x x x x x ?

?=--=--????

， ()21

()ln 1f x x x

'=-++

，所以(1)2f '-=，()11f -=， 曲线()f x 在1x =-处切线方程为()121y x -=+即230x y -+=，故选A 。 【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求切线方程。

10.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）

A. 1 2

2 D.

12

【答案】C 【解析】

如图，取AD 的中点E ，连接,,BE PE CE ，依题意得，//BE CD ，所以PBE ∠为异面直线

PB 与CD 所成角，因为1,2,PE BE PE BE ==⊥，所以2

tan PE PBE BE ∠=

=

，故选C.

【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.

11.关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在

35,44ππ??

????

上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

【答案】B 【解析】 【分析】

利用三角函数的性质，逐个判断即可求出。

【详解】①因为()()f x f x π=+，所以π是()f x 的一个周期，①正确； ②因为()2f

π=，52

242

f π??

=

< ???

，所以()f x 在35,44ππ??????上不单调递增，②错误；

③因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，又π是()f x 的一个周期，所以可以只考虑

0,2x π??∈????时，()f x 的值域。当0,2x π??

∈????

时，[]cos 0,1t x =∈，

22()cos cos 2cos cos22cos cos 121f x x x x x x x t t =+=+=+-=+-

221y t t =+-在[]0,1上单调递增，所以[]()1,2f x ∈-，()f x 的值域为[]1,2-，③错误；

综上，正确的个数只有一个，故选B 。 【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用。

12.已知点P 是椭圆22

1168

x y +=上非顶点的动点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，O 为坐标

原点，若M 为12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ?=u u u u r u u u r

，则OM u u u u r 的取值范围为（）

A. (]0,3

B. (

0,

C. ()0,3

D.

(

0,

【答案】D 【解析】 【分析】

依据题意画出简图，不妨设点P 在y 轴右边，可知21

2

OM F N =

，根据焦半径公式，算出12,PF PF 即可求出2F N ，从而得解。

【详解】如图所示，不妨设点P 在y 轴右边，因为M 为12F PF ∠的平分线上一点，且

10F M MP ?=u u u u r u u u r

，所以PM 为1F N 的垂直平分线，故1PF PN =，由中位线定理可得

21

2

OM F N =

。 设点()00,P x y ，由焦半径公式得，10PF a ex =+，

20PF a ex =-，

21202F N PF PF ex ∴=-=，故0OM ex =u u u u r

，因为4,a c ==2

e =， ()

00,4x ∈，(0OM ex ∴=∈u u u u r

，故选D 。

【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质、等腰三角形的性质、椭圆定义的应用，意在考查学生转化能力。

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷相应题目的答题区域内作答． 13.函数()

()()23ln 2x

f x x =-?-的零点个数为_______．

【答案】1 【解析】 【分析】

利用函数零点的定义即可求出。

【详解】由()()()23ln 20x

f x x =-?-=，所以()ln 20x -=或23020x x ?-=?->?

，解得3x =，

故函数()

()()23ln 2x

f x x =-?-只有一个零点。

【点睛】本题主要考查函数零点的求法。

14.若1

tan 4tan x x

+

=，则66sin cos x x +=_______． 【答案】

13

16

【解析】 【分析】

先切化弦，再利用立方和公式即可求出。

【详解】由1tan 4tan x x

+

=得，

sin cos 4cos sin x x x x +=，即有1

sin cos 4x x =， ()()66224224sin cos sin cos sin sin cos cos x x x x x x x x +=+-+ ()2

2222313

sin cos 3sin cos 11616

x x x x =+-=-

=。 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式、以及立方和公式的应用。

15.当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2

－m )·4x －2x

＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(－1,2) 【解析】 【分析】

由题意可得m 2

﹣m ＜24x x =12

x 在x ∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，则只要m 2

﹣m ＜12x 的最小值，然

后解不等式可m 的范围．

【详解】∵（m 2

﹣m ）4x

﹣2x

＜0在x ∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，

∴m 2

﹣m ＜24x x =1

2

x 在x ∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，

由于f （x ）=1

2x

在x ∈（﹣∞，﹣1]时单调递减， ∵x ≤﹣1，

∴f （x ）≥2， ∴m 2﹣m ＜2， ∴﹣1＜m ＜2， 故答案为：（﹣1，2）．

【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题m ≤f （x ）恒成立?m ≤f （x ）得最小值（m ≥f （x ）恒成立?m ≥f （x ）的最大值），体现出函数恒成立与最值的相互转化．

16.在三棱锥P ABC -中，3,4,3,5PA PB AB BC AC =====，若平面PAB ⊥平面

ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_______．

【答案】

126

5

π 【解析】 【分析】

根据题意可求出点P 到面ABC 的距离为5，而三角形ABC 为直角三角形，由此可知球心O 在面ABC 内的射影为AC 的中点，设球心O 到面ABC 的距离为h ，根据勾股定理，即可求出h ，算出外接球半径，得到外接球的表面积。

【详解】如图所示，过P 作PD 垂直AB 于D ，PA =PB ，所以D 为AB 的中点，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以PD ⊥面ABC ，又因为222AB BC AC +=，所以三棱锥P ABC -外接球的球心在面ABC 内的射影为AC 的中点，且O ，E ，D ，P 四点共面。

过O 作OF 垂直PD 于F ，所以四边形OEDF 为矩形。设球心O 到面ABC 的距离为h ，即OE =FD =h ，三棱锥P ABC -外接球的半径为R 。在等腰PAB ?中，22325PD =-=，而

13

22OF DE BC ==

= ，52

AE = ， 故(

)

2

2

2

2253522R h h ????=+=+- ? ?????

，解得25

h =

，2

12512620420

R =

+=， 表面积2

12645

S R π

π==

。

【点睛】本题主要考查三棱锥的几何特征以及其外接球的表面积求法、涉及面面垂直的性质定理应用，意在考查学生直观想象能力和计算能力。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题区域内作答．

17.已知数列{}n a 满足

112

0n n a a +-=，且112

a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求数列12n n a ??

+????

的前n 项和n S ．

【答案】（1）12n

n a ??= ???

；（2）1222n n

S n n +=++-.

【解析】 【分析】

（1）根据递推关系式得出{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式可求； （2）把n a 代入，利用分组求和法可求前n 项和n S ．

【详解】（1）因为

1120n n

a a +-=， 所以11

2

n n a a +=， 又11

2a =

，所以数列{}n a 为等比数列，且首项为12，公比为12

． 故12n

n a ??= ???

． （2）由（1）知

1

2n n

a =， 所以1

222n n

n n a +=+． 所以()()12212222212

2

n n n

n n S n n +-+=+

=++--．

【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和数列求和，数列求和时要根据通项公式的特点选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.

18.如图，四面体ABCD 中，ABC ?是边长为1的正三角形，ACD ?是直角三角形，

ABD CBD ∠=∠，AB BD =

.

(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

(2)若点E 为BD 的中点，求点B 到平面ACE 的距离. 【答案】（1）详见解析（23

【解析】 【分析】

（1）依据面面垂直的判定定理，在面ABC 内找一条直线垂直于面ACD 即可；

（2）根据等积法，E ABC B ACE V V --=，先求出三角形ACE 的面积，再求出E ABC V -，即可求出点

B 到平面ACE 的距离。

【详解】(1)取AC 的中点O ，连接,DO BO ，由ABD CBD ∠=∠，AB BC =，BD BD = 故ABD BCD AD CD ????=，又ACD ?为Rt ?，故AD CD ⊥，而1AC =，即

22

AD CD ==

，12DO =，又ABC ?是边长为1的正三角形，则3

,BO AC BO ⊥=，

22

2

BO DO BD BO DO +=?⊥，而BO AC

BO BO DO ⊥??⊥?

⊥?

面ACD ，

故平面ACD ⊥平面ABC

(2)

ABD

?中，1

11

2242

212ADB +-∠==??

，则21121212

22422422

AE AE =

+-??=?=

故CE =

AEC ?

为等腰直角三角形，则1124

ACE S ?==

，而111sin 6024

ABC S ?=

???=

o ，点E 到面ABC 的距离等于点D 到面ABC 的距离的一半， 设点B 到平面ACE 的距离为d ，由E ABC B ACE V V --=可得

1111343444

d d ??=??=

。 【点睛】本题主要考查面面垂直判定定理的应用，以及利用等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象能力和计算能力。

19.若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线3

2

32y x x x =-+和2

y x a =+都相切，求a 的值.

【答案】1a =或1

64

a = 【解析】 【

分析】

根据点O 在曲线32

32y x x x =-+上，利用导数的几何意义，分别求出曲线在点O 处的切线方程和曲线过点O 的切线方程，然后切线与曲线2

y x a =+相切，联立方程，根据0?=，求出a 的值。

【详解】由题可知(0,0)O 在曲线3

2

32y x x x =-+上，所以有以下两种情况：

（1）当()0,0O 为切点时，由2

362y x x '=-+，得02x y ='=，即直线l 的斜率为2，故直线

l 的方程为2y x =，由2

2y x

y x a

=??=+?，得220x x a -+=，依题意，4401a a ?=-=?= （2）当(0,0)O 不是切点时，设直线l 与曲线3

2

32y x x x =-+相切于点()00,P x y

则0322

00000032,362x x y x x x k y x x ==-+==-+'①

又20

00032y k x x x =

=-+②，则联立①②得032

x =，所以14k =-，故直线l 的方程为

14y x =

-，由214y x y x a

?=-???=+?，得2

104x x a ++=，依题意得，14016a ?=-=，得164a =

， 综上，1a =或1

64

a =

【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求过曲线上某点的切线方程以及在曲线上某点处的切线方程，意在考查学生分类讨论思想意识和数学运算能力。

20.抚州市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登军峰山健身的活动，有N 人参加，

现将所有参加人员按年龄情况分为[20,25)，

[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)等七组，其频率分布直方图如下图所示．已知[35,40)之间的参加者有4人．

（1）求N 和[30,35)之间的参加者人数1N ；

（2）组织者从[)40,55之间的参加者（其中共有4名女教师包括甲女，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，求在甲女必须入选的条件下，选出的女教师的人数为2人的概率.

（3）已知[30,35)和[35,40)之间各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率? 【答案】（1）20N =，16N =（2）3

5（3）12

【解析】 【分析】

（1）先根据频率分布直方图求出年龄在[30,35)和[35,40)内的频率，再根据样本总数=频数/频率，即可求出N 和1N ；（2）根据古典概型的概率计算公式，通过列举，分别求出“在甲女

必须入选的条件下”的基本事件总数，“在甲女必须入选的条件下，选出的女教师的人数为2人”的事件数，即可算出概率；（3）根据相互独立事件同时发生的概率公式，只需分别求出两组各自选取两人中至少有一名数学老师的概率，相乘即可求出。 【详解】（1）由题可知，[)35,400.0450.2P =?=，故4

200.2

N =

=， 而[)30,3510.050.150.20.150.10.050.3P =------=，则1200.36N =?=

（2）由题可知[)40,55200.36N =?=，则有4名女教师和2名男教师，设女教师为甲，乙，丙，丁，男教师为A ，B ，从中随机选取3名担任后勤保障工作，由于甲女一定入选，所以只需从剩下的5名老师中选取2名，基本事件有如下10种情况，（乙丙）（乙丁）（乙A ）（乙B ）（丙丁）（丙A ）（丙B ）（丁A ）（丁B ）（AB ），其中恰有2女教师的有（乙A ）（乙B ）（丙A ）（丙B ）（丁A ）（丁B ）共6种情况，故63

105

P =

= （3）由题可知，[)30,356N =，[)35,404N =，所以[)

11224230,352

693155

C C C P C ?+=== [)

112

22235,402

456C C C P C ?+==，而两组的选择互不影响，所以互为独立事件，故351562

P =?= 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的

应用、古典概型的概率求法、以及相互独立事件同时发生的概率公式应用。

21.已知椭圆22

:194

x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.

(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；

(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.

【答案】（1）49130x y +-=（2）3

2

【解析】 【分析】

（1）根据点差法求出直线斜率，由点斜式即可写出直线l 的方程；

（2）设出直线l 的方程，以及()11,M x y ，()22,N x y ，将0PM PN k k +=转化为和12x x ，

12x x +有关的等式，联立直线方程和椭圆方程，求出12x x ，12x x +，代入上述等式，化简即可求出

0x 的值。

【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22

:194

x y C +=上，

故22

11222219419

4x y x y ?+=????+=??22222121094x x y y --?+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+ 故直线l 的方程为()4

11491309

y x x y -=-

-?+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()12

1202101020

0660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=

+=?--+--=--

即()()12012026120x x x x x x -+++=①

联立()()2

2

2222

149108936360946x y k x k x k y k x ?+=??+-+?-=??=-?，则2

1222

12

2108499363649k x x k k x x k ?+=??+??-?=?+?

将其代入①得()()22

20003546964902

k k

x x k x --+++=?=

故0x 的值为

32

【点睛】本题主要考查了点差法的应用，以及利用直线与椭圆的位置关系解决和定点有关的问题，意在考查学生的数学计算能力。

请考生在第22，23题中任选一题作答，若两题都做，按第一题给分，作答时一定要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第22题)

22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1313x m m y m m ?

=+????=-

??

（m

为参数），以坐标原点为极

点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ?

?

+= ??

?

. (1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程； (2)已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求

11MP MQ

+的值. 【答案】（1）2233144x y -=

，20x -=（2

）

4

【解析】 【分析】

（1）平方相减，消掉参数m ，即可将曲线C 的参数方程化为普通方程，利用两角和的余弦公式以及极坐标与直角坐标互化公式即可求出直线l 的直角坐标方程；（2）根据第一问，求出直线l 的倾斜角，写出直线l 的参数方程，将其与曲线C 的方程联立，利用t 的几何意义，即可求出

11MP MQ

+的值。 【详解】（1）由2

2

22139x m m =++，2222139y m m =-+，故2222

4331344

x y x y -=?-=

又直线l

：11cos 112

2x y ρθθ??=?= ?

???

，故20x -=

(2)

由1

tan cos 2

k θθθ==

?==， 故直线l

的标准参数方程为212x y t ?=????=??（t 为参数），将其代入曲线C

中，得12212

18016233t t t t t ?+=-?++=??=??

，

故1212121111

4

t t MP MQ t t t t ++=+== 【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程互化，以及将极坐标方程化为直角坐标方程，同时考查直线的参数方程中t 的几何意义应用。

23.已知函数2

()4f x x =-，()2g x a x =-.

(1)若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(),0a ∈-∞（2）(],4a ∈-∞- 【解析】 【分析】

（1）通过因式分解，原方程化为220x x a -?+-?=??，显然2x =是方程的一个解，即只要20x a +-=在()(),22,-∞+∞U 上无解，即可求出实数a 的取值范围；（2）先利用不等式成立的必要条件得到0a <，进而将问题转化为()()f x g x ≥在(),2-∞上恒成立，由此可以去绝对值，利用因式分解和分离参数法，即可求出实数a 的取值范围。

【详解】(1)由()2

()42220f x g x x a x x x a =?-=-?-?+-?=??，则2x =必是该

方程的根，所以20x a +-=在()(),22,-∞+∞U 上无解，即y a =与2y x =+在

()(),22,-∞+∞U 上无交点，而20x +≥，故(),0a ∈-∞

(2)由()()f x g x ≥对x R ?∈恒成立，而min ()4f x =-，故0a <，则在[)2,+∞上

()()f x g x ≥恒成立，故只需在(),2-∞上面()()f x g x ≥对x R ?∈恒成立即可，又()()()()()()()2220220f x g x x x a x x x a ≥?+-+-≥?-++≥，则只需

20x a ++≤对(),2x ?∈-∞恒成立，则()24a x a ≤-+?≤-，

故(],4a ∈-∞-

【点睛】本题主要考查了通过方程根的讨论求解参数范围，以及不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力。