2019年浙江省杭州市中考数学试卷(附答案与解析)

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）

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2019年浙江省杭州市中考试卷

数 学

试题卷

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分，在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的) 1.计算下列各式，值最小的是

( ) A .20+19?-

B .2019+?-

C .2019+-?

D .2019++- 2.在平面直角坐标系中，点(),2A m 与点()3,b n 关于y 轴对称，则

( )

A .3m =，2n =

B .3m =-，2n =

C .2m =，3n =

D .2m =-，3n =

3.如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若3PA =，则PB =

( )

A .2

B .3

C .4

D .5

4.已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x 人，则

( )

A .()237230x x +-=

B .()327230x x +-=

C .()233072x x +-=

D .()323072x x +-=

5.点点同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是

( )

A .平均数

B .中位数

C .方差

D .标准差

6.如图，在ABC △中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连结AM 交DE 于点N ，则

( )

A .AD AN AN AE =

B .BD MN MN CE =

C .DN NE

BM MC

=

D .DN N

E MC BM

=

7.在ABC △中，若一个内角等于另外两个角的差，则

( )

A .必有一个角等于30?

B .必有一个角等于45?

C .必有一个角等于60?

D .必有一个角等于90?

8.已知一次函数1y ax b =+和2y bx a =+()a b ≠，函数1y 和2y 的图象可能是 ( )

A

B

C

D

9.如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边，（OC OB ⊥，点A

、B

、C 、D 、O 在同一平面内），已知AB a =，AD b =，BCO x ∠=.则点A 到OC 的距离等于 ( )

A .sin sin a x b x +

B .cos cos a x b x +

C .sin cos a x b x +

D .cos sin a x b x +

10.在平面直角坐标系中，已知a b ≠，设函数()()y x a x b =++的图像与x 轴有M 个交点，函数()()11y ax bx =++的图像与x 轴有N 个交点，则

( )

A .1M N =-或1M N =+

B .1M N =-或2M N =+

C .M N =或1M N =+

D .M N =或1M N =-

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11.因式分解：21x -= .

12.某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数

P

E N M

D C

B

A

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效----------------

数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）

为y ，则这m n +个数据的平均数等于 .

13.如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为12cm ，底面圆半径为

3cm ，则这个冰激凌外壳的侧面积等于 2cm （计算结果精确到个位）.

14.在直角三角形ABC 中，若2AB AC =，则cos C = .

15.某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式 .

16.如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF 、GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F 、G 在BC 边上），使得点B 、点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点的对称点为D '点，若90FPG ∠=?，A EP '△的面积为4，D PH '△的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 .

三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分6分）

化简：242

142

x x x ----

圆圆的解答如下： ()()

22

242

1422442

2x x x x x x x x

--=-+----=-+ 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.

18.（本题满分8分）

称重五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称重读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）

（1）补充完整乙组数据的折线统计图；

（2）①甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙，写出x 甲与x 乙之间的等量关系；

②甲、乙两组数据的平均数分别为2S 甲、2S 乙，比较2

S 甲与2S 乙的大小，并说明理

由.

19.（本题满分8分）

如图，在ABC △中，AC AB BC ＜＜.

（1）已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连结AP ，求证：2APC B ∠=∠； （2）以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连结AQ ，若

3AQC B ∠=∠，求B ∠的度数.

D 1

A 1

G

P

F

E

C

D

B

A

P

C

B

A

Q

A

B

C

H

数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）

第19题图

20.（本题满分10分）

方方驾驶小汽车匀速地从A 地行使到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行使时间为t （单位：小时），行使速度为v （单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时.

（1）求v 关于t 的函数表达式；

（2）方方上午8点驾驶小汽车从A 出发，

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围.

②方方能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由.

21.（本题满分10分）

如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在CD 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =. （1）求线段CE 的长；

（2）若点H 为BC 边的中点，连结HD ，求证：HD HG =.

第21题图

22.（本题满分12分）

设二次函数()()12y x x x x =--（1x 、2x 是实数）.

（1）甲求得当0x =时，0y =；当1x =时，0y =，乙求得当1

2

x =时，12y =-.

若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由；

（2）写出二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值（用含1x 、2x 的代数式表示）； （3）已知二次函数的图像经过()0,m ，()1,n 两点（m 、n 是实数），当1201x x <<<时，求证：1016

mn <<.

23.（本题满分12分）

如图，已知锐角ABC △内接于⊙O ，OD BC ⊥于点D ，连结OA. （1）若60BAC ∠=?，

①求证：1

2

OD OA =；

②当1OA =时，求ABC △面积的最大值；

（2）点E 在线段OA 上，OE OD =，连接DE ，设ABC m OED ∠=∠，ACB n OED ∠=∠（m 、n 是正数），若ABC ACB ∠<∠，求证：20m n -+=.

第23题图

G

F

E H D

C

B

A

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------无--------------------

效

----------------

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________

________________ _____________

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2019年浙江省杭州市中考试卷

数学答案解析

1.【答案】A 【解析】8A =- 7B =- 7C =- 6D =-

【考点】实数 2.【答案】B

【解析】A ，B 关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同 【考点】直角坐标系 3.【答案】B

【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，所以P A ＝PB ＝3 【考点】圆与切线长 4.【答案】D

【解析】设男生x 人，则女生有(30)x －人，由题意得：()323072x x +-= 【考点】一元一次方程 5.【答案】B

【解析】这组数据中的中位数是41，与涂污数字无关 【考点】数据 6.【答案】C

【解析】∵//DE BC ，∴ADN ABM △∽△，ANE AMC △∽△ ∴

,DN AN AN NE DN NE

BM AM AM MC BM MC

==?=

【考点】相似三角形 7.【答案】D

【解析】设三角形的一个内角为x ，另一个角为y ，则三个角为(180)x y ?--，则有三种

情况：

①(180)9090x y x y y x y =-?--?=+=或 ②(180)9090y x x y x x y =---?=+=或

③(180)9090x y x y x y --=-?==或 综上所述，必有一个角等于90° 【考点】三角形内角和

8.【答案】A

【解析】①当0,0a b >>，1y 、2y 的图象都经过一、二、三象限 ②当0,0a b <<，1y 、2y 的图象都经过二、三、四象限

③当0,0a b ><，1y 的图象都经过一、三、四象限，2y 的图象都经过一、二、四象限 ④当0,0a b <>，1y 的图象都经过一、二、四象限，2y 的图象都经过一、三、四象限 满足题意的只有A 【考点】一次函数的图象 9.【答案】D

【解析】过点A 作AE OB ⊥于点E ， 因为四边形ABCD 是矩形，且AB a AD b ＝，＝ 所以90BC AD b ABC ∠?＝＝，＝ 所以ABE BCO x ∠∠＝＝ 因为sin OB x BC =

，cos BE

x AB

= 所以sin OB b x =，cos BE a x =

所以点A 到OC 的距离cos sin d BE OB a x b x =+=+ 【考点】三角函数、矩形的性质 10.【答案】C

【解析】对于函数()()y x a x b =++，当0y =时，函数与x 轴两交点为0,a -（）、0,b -（），

∵a b ≠，所以有2个交点，故2M = 对于函数()()11y ax bx =++

①0a b ≠≠，交点为1

1(,0),(,0)a b

--，此时2N M N =?=

②0,0a b =≠，交点为1(,0)b -，此时11N M N =?=+

③0,0b a =≠，交点为1

(,0)a

-，此时11N M N =?=+

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综上所述，M N =或1M N =+ 【考点】二次函数与x 轴交点问题 11.【答案】(1)(1)x x +-

【解析】二项用平方差公式，22211(1)(1)x x x x -=-=+- 【考点】因式分解 12.【答案】

mx ny

m n

++

【解析】平均数等于总和除以个数，所以平均数mx ny

m n

+=+

【考点】数据统计 13.【答案】113

【解析】3123636 3.14113.04113S rl πππ==??==?=≈ 【考点】圆锥的侧面积 14.【答案】

2或5

【解析】如图所示，分两种情况讨论，AC 可以是直角边，也可以是斜边 ①当AC 是斜边，设AB x ＝，则2AC x ＝，由勾股定理可得：

BC =，则cos BC C AC =

== ②当AC 是直角边，设AB x ＝，则2AC x ＝，由勾股定理可得：

BC =，则cos 5AC C BC ====

综上所述，cos 2C =

或5

【考点】解直角三角形

15.【答案】1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等 【解析】答案不唯一，可以是一次函数，也可以是二次函数 【考点】函数的解析式 16.【答案】10 【解析】∵'A E PF ∴''A EP D PH ∠=∠

又∵'90A A ∠=∠=?，'90D D ∠=∠=? ∴''A D ∠=∠ ∴''A EP D PH △～△

又∵''AB CD AB A P CD D P ===，， ∴' 'A P D P = 设''A P D P x ==

∵''41A EP D PH S S =△△：： ∴'2'2A E D P x == ∴2'11

2422

A EP A E A P x x S x ''??=??===△ ∵0x ＞ ∴2x =

∴''2A P D P == ∴'2'4A E D P == ∴EP =

∴1

=2

PH EP =∴1

12

DH D H A P ''==

= ∴415AD AE EP PH DH =+++=+=+ ∴2AB A P '==

∴25)10ABCD S AB AD =?=?=矩形 【考点】矩形性质，折叠

17.【答案】圆圆的解答不正确.正确解答如下：

原式242(2)4

(2)(2)(2)(2)(2)(2)

x x x x x x x x x +-=--+-+-+-

24(24)(4)

(2)(2)

x x x x x -+--=+-

(2)

(2)(2)

x x x x --=

+-

2x

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2

x x =-

+. 【考点】分式的加减运算

18.【答案】（1）补全折线统计图，如图所示.

（2）①50x x =+甲乙.

②22S S =乙甲，理由如下：

因为2

222221

[(2)(2)(3)(1)(4)]5

S x x x x x =--+-+--+--+-乙乙乙乙乙乙

222221

[(4850)(5250)(4750)(4950)(5450)]5

x x x x x =--+--+--+--+--乙乙乙乙乙

222221

[(48)(52)(47)(49)(54)]5

x x x x x =-+-+-+-+-甲甲甲甲甲 2S =甲， 所以22

S S =乙甲.

【考点】平均数和方差

19.【答案】（1）证明：因为点P 在AB 的垂直平分线上， 所以PA PB =， 所以PAB B ∠=∠，

所以2APC PAB B B ∠=∠+∠=∠. （2）根据题意，得BQ BA =， 所以BAQ BQA ∠=∠，

设B x ∠=，

所以3AQC B BAQ x ∠=∠+∠=， 所以2BAQ BQA x ∠=∠=， 在ABQ △中，22180x x x ++=?， 解得,，即36B ∠=?.

【考点】垂直平分线性质，三角形外角，内角的性质，等腰三角形性质，方程思想 20.【答案】（1）根据题意，得480vt =， 所以480

v t

=

， 因为4800＞，

所以当120v ≤时，4t ≥，

所以480

(4)v t t

=

≥ （2）①根据题意，得4.86t ≤≤， 因为4800>， 所以

480480

6 4.8

v ≤≤

， 所以80100v ≤≤

②方方不能在11点30分前到达B 地.理由如下： 若方方要在11点30分前到达B 地，则 3.5t <， 所以480

1203.5

v >

>，所以方方不能在11点30分前到达B 地. 【考点】反比例函数及其应用，不等式性质

21.【答案】根据题意，得1AD BC CD ===，90BCD ∠=?. （1）设01CE x x =（＜＜），则1DE x =-， 因为12S S =，所以21x x =－，

解得x =

（负根舍去），

即1

2

CE -=

（2）因为点H 为BC 边的中点，

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所以1

2

CH =

，所以HD =

因为CG CE ==，点H ，C ，G 在同一直线上，

所以12HG HC CG +===，所以HD HG =

【考点】方程思想，勾股定理

22.【答案】（1）乙求得的结果不正确，理由如下： 根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0）， 所以(1)y x x =-， 当1

2

x =

时，1111(1)2242y =?-=-≠-，

所以乙求得的结果不正确. （2）函数图象的对称轴为12

2

x x x +=

， 当时，函数有最小值M ，

212121212()224x x x x x x M x x ++-????

=--=- ???????

（3）因为12()()y x x x x =--， 所以12m x x =，12(1)(1)n x x =--，

所以22

12121122

(1)(1)()()mn x x x x x x x x =--=-- 22121111

[()][()]2424

x x =--+?--+

因为1201x x ＜＜＜，并结合函数(1)y x x =-的图象，

所以211110()244x --+

≤＜，22111

0()244x --+＜≤

所以1

016

mn ≤＜，

因为12x x ≠，所以1

016

mn ＜＜

【考点】二次函数，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，点在函数

图像上的运用、判断

23.【答案】（1）①证明：连接OB ，OC ，

因为OB OC =，OD BC ⊥，

所以1

1

26022

BOD BOC BAC ∠=∠=?∠=?， 所以1122

OD OB OA ==

②作AF BC ⊥，垂足为点F ， 所以3

2

AF AD AO OD ≤≤+=

，等号当点A ，O ，D 在同一直线上时取到

由①知，2BC BD ==

所以ABC △

的面积113222BC AF =

?≤=即ABC △

（2）设OED ODE α∠=∠=，COD BOD β∠=∠=， 因为ABC △是锐角三角形，

所以2360AOC AOB BOD ∠+∠+∠=?， 即()180m n αβ++=（*） 又因为ABC ACB ∠∠＜， 所以EOD AOC DOC ∠=∠+∠

2m αβ=+

因为180OED ODE EOD ∠+∠+∠=?， 所以2(1)180m αβ++=（**） 由（*），（**），得2(1)m n m +=+， 即20m n -+=

【考点】圆周角定理，等腰三角形性质，含30°角的直角三角形，不等式性质，三角形

内角和定理，代数式变形能力，设元方程思想等综合运用