高考数学解题技巧大揭秘 专题十八 排列组合二项式定理与概率

专题十八 排列、组合、二项式定理与概率

1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．

A ．60种

B ．63种

C ．65种

D ．66种

答案： D [对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个

数为奇数，4个数均为奇数，因此共有C 44＋C 24C 25＋C 4

5＝66种．]

2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能全是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )．

A ．232

B ．252

C ．472

D ．484

答案：C [若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C 14×C 1

4

×C 14＝64种，若2张同色，则有C 23×C 12×C 24×C 1

4＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C 14×C 23×C 14×C 14＝192种，剩余2张同色，则有C 14×C 13×C 24＝72种，所以共有64

＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.]

3．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )．

A.16

B.13

C.23

D.4

5

答案：C [设出AC 的长度，先利用矩形面积小于32 c m 2求出AC 长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解．设AC ＝x c m ，CB ＝(12－x )c m ，0＜x ＜12，所以矩形面积小于32 c m 2即为x (12－x )＜32?0＜x ＜4或8＜x ＜12，故所求概率为812＝23

.]

4．?

???x 2＋1

x 6的展开式中x 3的系数为________(用数字作答)． 解析 由????x 2＋1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6

(x 2)6－r ·????1x r

＝C r 6x

12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为C 36

＝6×5×4

1×2×3

＝20.

答案 20

排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，难度中等或稍易．考查古典概型时，常以排列组合为工具，考查概率的计算．

由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，因此备考时：①要读懂题意，明确解题的突破口，选择合理简洁的标准处理事件；②要牢记排列数、组合数、二项展开式公式；③排列组合是进行概率计算的工具，在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具.

必备知识

排列、组合

(1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m

n ＝n ！(n －m )！，A n n ＝n ！，0！＝1(n ∈N *，m ∈N *，m ≤n )．

(2)组合数公式及性质

C m

n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，

C m n ＝

n ！m ！(n －m )！

，C 0m ＝1，C m n ＝C n －m n ，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1

n

. 二项式定理

(1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －

1b ＋…＋C r n a n －

r b r ＋…＋C n －

1n ab n －

1＋C n n b n (n ∈N *)． 通项(展开式的第r ＋1项)：T r ＋1＝C r n a n －

r b r

，其中C r n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数．

(2)二项式系数的性质

①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －

1n ，C 2n ＝C n －

2n ，…，C r n ＝C n －

r n

. ②二项式系数的和等于2n ，即

C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n

＝2n . ③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n

＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4

n ＋…＝2

n －

1. (3)赋值法解二项式定理有关问题，如

3n ＝(1＋2)n ＝C 0n ＋C 1n ·21＋C 2n ·22＋…＋C n n ·

2n 等． 古典概型

(1)P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数

基本事件总数

(2)求古典概型概率的方法和步骤

①反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意． ②判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件．

③利用列举法或排列组合知识计算基本事件的个数n 及事件A 中包含的基本事件的个数m .

④计算事件中A 的概率P (A )＝m

n

.

必备方法

1．解排列、组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步． 2．解排列、组合问题的常用策略：

a ．相邻问题捆绑法；b.不相邻问题插空法；c.多排问题单排法；d.定序问题倍缩法；e.多元问题分类法；f.有序分配问题分步法；g.交叉问题集合法；h.至少或至多问题间接法；i.选排问题先取后排法；j.局部与整体问题排除法；k.复杂问题转化法．

3．二项式中项的系数和差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，如(1＋x )n

展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只要令x ＝1即得，而(1－x )n 的展开式中各项系数的绝对值的和，直接令x ＝－1，这样就不难类比得到(1＋ax )n 展开式中各项系数绝对值的和为(1＋|a |)n .

排列与组合的应用

以实际生产、生活为背景的排列、组合问题是近几年的常考内容，解题时要先将问题转化为排列组合问题后再求解．题目多为中低档题，为后面学习概率做基础．

【例1】? 某城市举行奥运火炬接力传递活动，传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两 人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)

[审题视点] [听课记录]

[审题视点] 按照第一棒是否为甲、乙分两类求解． 解析 按照第一棒是否为甲，乙，可分为两类：

①第一棒是丙，则第六棒的安排有C 12种，中间4棒剩余4人全排列，故不同的安排方法

有C 11·C 12·A 44＝48种；

②第一棒是甲，乙中一人，则第一棒的安排有C12种，最后一棒则只能安排甲，乙中不跑第一棒的一人，中间4棒剩余4人全排列，矿不同的安排方法有C12·C11·A44＝48种．根据分类计数原理，可得不同的方案共有48＋48＝96种．

答案96

对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即一般策略为先组合后排列．分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．

【突破训练1】由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()．

A．72 B．96 C．108 D．144

答案：C[从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C13种方法，将其余两个偶数全排列，有A22种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A33种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A22·A23种方法，故满足题意的偶数个数有C13·A22(A33＋A22·A23)＝108.]

二项式定理的应用

求二项式定理展开式的通项、特定项、二项式或项的系数，常以选择、填空题形式考查，二项式定理的应用有时也在数列压轴题中出现，主要是利用二项式定理及不等式放缩法证明不等式．

【例2】设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.

[审题视点]

[听课记录]

[审题视点] 由T r＋1＝C r21x21－r(－1)r求解．

解析T r＋1＝C r21x21－r (－1)r，∴a10＝C1121(－1)11，a11＝C1021(－1)10，

∴a10＋a11＝－C1121＋C1021＝－C1021＋C1021＝0.

答案0

1.利用二项展开式的通项分析求解时，注意二项式系数与项的系数的区别．

2．二项式定理的应用不仅要注重它的“正用”，而且重视它的“逆用”；还要注意特殊值法的使用．

【突破训练2】 若????x ＋2

x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )．

A ．360

B ．180

C ．90

D ．45 答案： B [依题意知：n ＝10， ∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r ????2x 2r ＝C r 102r ·x 5－52

r ， 令5－52

r ＝0得：r ＝2，∴常数项为：C 21022

＝180.]

古典概型

对于古典概型的考查常将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，是高考考查的重点．

【例3】盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．

(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率． [审题视点] [听课记录]

[审题视点] (1)间接法求概率；(2)用组合知识求概率． 解 (1)P ＝1－C 37

C 39＝712

.

(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事

件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14

C 39＝542

.

有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基

本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏．

【突破训练3】 有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据： 编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 直径

1.51

1.49

1.49

1.51

1.49

1.51

1.47

1.46

1.53

1.47

(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从一等品零件中随机抽取2个．

(ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ⅱ)求这2个零件直径相等的概率．

解 (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P (A )＝

610＝35

. (2)(ⅰ)一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2

个，所有可能的结果有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共有15种．

(ⅱ)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种．

所以P (B )＝615＝2

5

.

防范二项式展开式中的两个易错点

易错点1：二项式(a ＋b )n 展开式的通项中，因a 与b 的顺序颠倒而容易出错

【示例1】?

????x －23x 2n

展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x 的一次项系数

为________．

解析 据题意有：C 2n 22－()

－C 1n

2＝162，即2n (n －1)＋2n ＝162.∴n ＝9. 则T r ＋1＝C r 9(

x )9－r

?

????－23x 2r ＝C r 9(－2)r

x 9－r 2－2r

3.

由9－r 2－2r

3＝1，∴r ＝3.

∴T 4＝(－1)3·23·C 39x ＝－672x . 答案 －672 老师叮咛：若x 与

23

x

的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错．一般地，二项式(a ＋b )n

与(b ＋a )n 的通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．

【试一试1】 已知(1＋3x )n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于120，则展开式中二项式系数最大的项为________．

解析 由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n ＝121，则12

n (n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15，所以，展开式中二项式系数最大的项是T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8

.

答案 T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8

易错点2：二项式展开中项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错

【示例2】如果?

????3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( )．

A ．7

B ．－7

C ．21

D ．－21

解析 当x ＝1时，? ????3×1－1312n ＝2n

＝128，∴n ＝7，

即?

????

3x －13x 27，根据二项式通项公式得 T r ＋1＝C r 7(3x )7－r (－1)r ????x －23r ＝C r 7

37－r (－1)r x 7－53r . ∴7－53r ＝－3，r ＝6时对应1

x

3，即

T 6＋1＝C 6737－6

(－1)61x 3＝7×3×1x 3＝21x 3.故1x 3项系数为21. 答案 C

老师叮咛：展开式中\f(1,x 3)项的二项式系数是C 67＝7，1x 3项的系数为21，因此在解此类问题时，须注意二项式系数与项的系数的区别和联系.

【试一试2】 ????x ＋a x ????2x －1

x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )． A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40

答案： D [因为展开式各项系数和为2，所以取x ＝1得： (1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.

二项式即为：????x ＋1x ?

???2x －1

x 5，它的展开式的常数项为： x C 35(2x )

2

????－1x 3＋1x C 25(2x )3???

?－1x 2＝4C 25

＝40.]