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《数字信号处理》复习思考题、习题（一）

一、选择题

1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 。 A.离散值；连续值 B.离散值；离散值 C.连续值；离散值 D.连续值；连续值 2．一个理想采样系统，采样频率s =10，采样后经低通G(j )还原，

?????≥Ω<Ω=Ωπ

π5 05 51)(j G ；设输入信号：t t x π6cos )(=，则它的输出信号y(t)为： 。 A ．t t y π6cos )(=； B. t t y π4cos )(=；

C ．t t t y ππ4cos 6cos )(+=； D. 无法确定。

3．一个理想采样系统，采样频率s =8，采样后经低通G(j )还原，

G j ()ΩΩΩ=<≥???14404 ππ

；现有两输入信号：x t t 12()cos =π，x t t 27()cos =π，则它们相应的输出信号y 1(t)和y 2(t)： 。

A ．y 1(t)和y 2(t)都有失真； B. y 1(t)有失真，y 2(t)无失真；

C ．y 1(t)和y 2(t)都无失真； D. y 1(t)无失真，y 2(t)有失真。

4．凡是满足叠加原理的系统称为线性系统，亦即： 。

A. 系统的输出信号是输入信号的线性叠加

B. 若输入信号可以分解为若干子信号的线性叠加，则系统的输出信号

是这些子信号的系统输出信号的线性叠加。

C. 若输入信号是若干子信号的复合，则系统的输出信号是这些子信号

的系统输出信号的复合。

D. 系统可以分解成若干个子系统，则系统的输出信号是这些子系统的

输出信号的线性叠加。

5．时不变系统的运算关系T[·]在整个运算过程中不随时间变化，亦

即 。

A. 无论输入信号如何，系统的输出信号不随时间变化

B. 无论信号何时输入，系统的输出信号都是完全一样的

C. 若输入信号延时一段时间输入，系统的输出信号除了有相应一段时

间延时外完全相同。

D. 系统的运算关系T[·]与时间无关

6．一离散系统，当其输入为x(n)时，输出为y(n)=7x 2(n-1)，则该系统

是： 。

A ．因果、非线性系统 B. 因果、线性系统

C ．非因果、线性系统 D. 非因果、非线性系统

7．一离散系统，当其输入为x(n)时，输出为y(n)=3x(n-2)+3x(n+2)，则

该系统是：

A ．因果、非线性系统 B. 因果、线性系统

C ．非因果、线性系统 D. 非因果、非线性系统

8．一离散序列x(n)，若其Z 变换X(z)存在，而且X(z)的收敛域为：

R z x -<≤∞ ，则x(n)为： 。

A ．因果序列 B. 右边序列

C ．左边序列 D. 双边序列

9．已知x(n)的Z 变换为X(z)，则x(n+n 0)的Z 变换为： 。

A ．)(0z X n B. )(0z X z n C. )(0n z X D. )(0

z X z n - 10．离散序列x(n)为实、偶序列，则其频域序列X(k)为： 。

A ．实、偶序列 B. 虚、偶序列

C ．实、奇序列 D. 虚、奇序列

11．序列的付氏变换是 的周期函数，周期为 。

A. 时间；T

B. 频率；π

C. 时间；2T

D. 角频率；2π

12．若x （n ）是一个因果序列，R x-是一个正实数，则x （n ）的Z 变换X

（z ）的收敛域为 。

A. ∞≤<-z R x

B. ∞<<-z R x

C. -<≤x R z 0

D. -<

13．DFT 的物理意义是：一个 的离散序列x （n ）的离散付

氏变换X （k ）为x （n ）的付氏变换)(ωj e X 在区间[0，2π]上的 。

A. 收敛；等间隔采样

B. N 点有限长；N 点等间隔采样

C. N 点有限长；取值 C.无限长；N 点等间隔采样

14．以N 为周期的周期序列的离散付氏级数是 。

A.连续的，非周期的

B.连续的，以N 为周期的

C.离散的，非周期的

D.离散的，以N 为周期的

15．一个稳定的线性时不变因果系统的系统函数H （z ）的收敛域

为 。

A.1 , <∞≤

B. 1 r,0>≤

C. 1 , >∞≤

D. 1 r,0<≤≤r z

16．两个有限长序列x 1（n ）和x 2（n ），长度分别为N 1和N 2，若x 1（n ）与

x 2（n ）

循环卷积后的结果序列为x （n ），则x （n ）的长度为： 。 A. N=N 1+N 2-1 B. N=max[N 1，N 2] C. N=N 1 D. N=N 2

17．用DFT 对一个32点的离散信号进行谱分析，其谱分辨率决定于谱采

样的点数N ，即 ，分辨率越高。

A. N 越大

B. N 越小

C. N=32

D. N=64

18．一有限长序列x(n)的DFT 为X(k)，则x(n)可表达为： 。

A ．101

N X k W N nk k N [()]*-*=-∑ B. 10

1

N X k W N nk k N [()]-*=-∑ C ．101

N X k W N nk k N [()]**=-∑ D. 10

1N X k W N nk k N [()]*=-∑ 19．频域采样定理告诉我们：如果有限长序列x （n ）的点数为M ，频域采

样点数为N ，则只有当 时，才可由频域采样序列X （k ）无失

真地恢复x （n ）。

A. N=M

B. N

C. N ≥M

D. N ≤M

20．当用循环卷积计算两个有限长序列的线性卷积时，若两个序列的长度

分别是N 和M ，则循环卷积等于线性卷积的条件是：循环卷积长

度 。

A.L ≥N+M-1

B.L

C.L=N

D.L=M

21．一离散序列x(n)，其定义域为-5n<，若其Z 变换存在，则其Z

变换X(z)的收敛域为： 。

A ．R z x -<≤∞ B. R z x -<<∞

C．0<<∞

<<

z D. R z R

x x

-+

22．已知x(n)的Z变换为X(z)，则x(-n)的Z变换为：。

A．X(z-1) B. X*(z*) C. X*(z-1) D. X(-z) 23．离散序列x(n)满足x(n)=x(N-n)；则其频域序列X(k)有：。

A．X(k)=-X(k) B. X(k)=X*(k)

C．X(k)=X*(-k) D. X(k)=X(N-k)

24．在基2DIT—FFT运算中通过不断地将长序列的DFT分解成短序列的DFT，最后达到2点DFT来降低运算量。若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT运算，需要分解次，方能完成运算。

A.32

B.6

C.16

D. 8

25．在基2 DIT—FFT运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为。

A. 8

B. 16

C. 1

D. 4

26．在时域抽取FFT运算中，要对输入信号x(n)的排列顺序进行“扰乱”。在16点FFT中，原来x(9)的位置扰乱后信号为：。

A． x(7) B. x(9) C. x(1) D. x(15)

二、概念填空题

1．系统的因果性是指系统n时刻输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关。线性时不变系统具有因果性

的充分必要条件是：h （n ）=0，n<0。

2．为对某模拟信号作谱分析，以10kHz 的速率对其进行采样，采样点的

间隔为T=410110000

11-?===s f T s ，若计算1024个采样点的DFT 来进行信号的谱分析，则该信号的观察时宽T P =1024.010110244=??==-NT T P s ，信号频谱分辨率（谱样点之间的间隔）101024

10000≈==N f F s Hz 。 3．系统的稳定性是指：若系统的输入有界，则系统的输出也是有界的。

线性时不变系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为

∑∞

-∞=∞

断地分解成若干个短序列的DFT ，并利用旋转因子的周期性和对称性来减

少DFT 的运算次数。

三、判断说明题

1．一离散系统，当其输入为x(n)时，输出为y(n)=7x 2(n-1)，试判断该系

统是否为线性系统？并简述理由。

答：1、判断：不是

简述：因为系统不满足叠加原理。例如：)1(7)]([22-=n x a n ax T 而

)1(7)]([2-=n ax n x aT ，即：)]([)]([n x aT n ax T ≠，不满足叠加原理。

2．一个N 点DFT ，其中M N 2=，当采用基2 DIT —FFT 计算时，其复数乘法次数最多为N N M N 2log 2

2=?，试判断是否正确？并说明理由。 答：判断：正确

简述：采用DIT —FFT 运算，共分解成N M 2log =级，每级有N/2个蝶形，

每个蝶形需要一次复数乘法，所以共需要N N M N 2log 2

2=?复数运算。 3．设有二个离散序列h （n ）和x （n ），序列长分别为M 和N ，且N>>M ，

试问直接采用循环卷积的方法计算h （n ）*x （n ）能否节省运算量？并说

明理由。

答：判断：不能

简述：用循环卷积计算线性卷积需要对短序列补许多零点，使N ≈M ，这样将增大运算量；应采用分段处理的方法计算，例如采用重叠相加法或重叠

保存法计算，方可节省运算量。

4．只要因果序列x(n)具有收敛的Z 变换，则其“序列的付氏变换”就一

定存在。判断该说法是否正确？并简述原因。

答：判断：不正确

简述：“序列的富氏变换”为单位圆上的Z 变换，因此，不仅要求序列Z

变换存在，而且还要求序列在单位圆上（︱z ︱＝1）的Z 变换存在。

5．只要因果序列x(n)的“序列的富氏变换”存在，则该序列的DFT 就一

定存在。判断该说法是否正确？并简述理由。

答：判断：不正确

简述：序列的富氏变换存在，可能是收敛的无限长序列，而DFT 定义的序

列是有限长的，因此序列的富氏变换存在不能保证其DFT 存在。

6．序列x(n)的DFT 就是该序列的频谱。此提法是否正确？说明理由。

答：判断：不正确

简述：有限长序列的DFT 是该序列在频域（单位圆上）的N 点取样，而不

是全部频谱。

7．一离散序列x(n)，若其Z 变换X(z)存在，而且X(z)的收敛域为：

R z x -<≤∞ ，判断x(n)是否为因果序列？并简述理由。

答：判断：是

简述：由收敛域知该序列Z 变换收敛域在半径为R x-的圆的外部，故序列是

右边序列；又因为收敛域包含∞点，所以该序列是因果序列。

8．.一离散系统，当其输入为x(n)时，输出为y(n)=x(n)+8，试判断该系

统是否为线性系统？并简述理由。

答：判断：不是

简述：因为系统不满足叠加原理。例如：8)()]([+=n ax n ax T 而

8)(]8)([)]([?+=+=a n ax n x a n x aT ，即：)]([)]([n x aT n ax T ≠，不满足叠加原

理。

9．离散序列x(n)为实、偶序列，试判断其频域序列X(k)的虚实性和奇偶

性。

答：判断：X （k ）仍为实、偶序列

简述：由DFT 的共轭对称性可以证明该结论。

四、计算应用题

1．求序列x(n)=n a (0<|a|<1)的Z 变换和收敛域。

解：∑∑∞

=---∞=--+=

01)(n n n n n n z a z a z X 在上式中：a z az az z a n n n 1 11<-=∑--∞=--； a z az z a n n n <-=-∞=-∑ 1110

所以：1121 )

1)(1(1111)(---<<---=-+-=a z a az az a az az az z X 2．设有一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述：

y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)

1) 求这个系统的系统函数H(z)，并指出H(z)的收敛域；

2) 求出这个系统的单位脉冲响应h(n)；

3) 判断这个系统是否为稳定系统。

解：1）对差分方程两边求Z 变换，得：

（1-z -1-z -2）Y （z ）=z -1X （z ） 收敛域为：618.1>z

2）由Z 反变换，对H （z ）方程两边同除z ，有：

618

.0618.1)(++-=z B z A z z H ，容易求出A=0.4472；B=-0.4472 从而可得：)618

.0618.1(4472.0)(+--=z z z z z H ，由Z 反变换得： 3）由线性时不变系统稳定性的充要条件

∑∞

-∞=∞

X*(k)。

证：)(])([)()(1

01010k X W m x W m x W n x N m mk N N m mk N N n nk N **-=-=-*-=*

===-∑∑∑ 4．一欲作频谱分析的模拟信号以10kHz 的速率被取样，且计算了1024个

取样的DFT ，试完成：

(1) 说明该DFT 的物理意义；

(2)求出该DFT 两频率样点之间的频率间隔。

解：（1）DFT 是一个有限长离散信号的信号谱的频域等间隔取样。

（2）z s H N f F 101024

10000≈==

5．求序列x(n)=- a n

u(-n-1)(|a|<1)的Z 变换和收敛域。

解： 收敛域：a z z a <∴<- 11Θ

6．设有一16点序列x(0),x(1),x(2),,x(15)，用Couley —Tukey 算法做基2FFT 运算时需对输入序列进行“码位倒置”，试写出倒序方法和倒序

后的序列顺序。

解：按照“码位倒置”方法，容易求得扰乱后的序列顺序为：

x(0)，x(8)，x(4)，x(12)，x(2)，x(10)，x(6)，x(14)，x(1)，x(9)，

x(5)，x(13)，x(3)，x(11)，x(7)，x(15)

7．设h(n)是某线性时不变系统的单位脉冲响应，试证明对任意输入x(n)，

其输出y(n)为：

解：∵)()]([n h n T =δ ∴由时不变特性，有：)()]([k n h k n T -=-δ

而又因为对任意序列，有：

由线性性，有：

8．试证明：若x(n)是实偶对称的，即x(n)=x(N-n)；则其频域序列X(k)

也是实偶对称的。

解：因为：∑-=-=102)()]([N n nk j N e

n x n x DFT π∑-=-=10]2sin 2)[cos (N n nk N

j nk N n x ππ k=0，1，…，N-1

由于x （n ）是关于N 的实偶序列，而nk N

π2sin 是关于N 的奇序列，所以有：02sin

)(10=∑-=N n nk N

n x π 亦即：∑-==1

02cos

)()]([N n nk N

n x n x DFT π为实序列；

又有：

9．设N 点实序列x （n ）=-x （N-n ），X （k ）=DFT[x （n ）]，试证明X （k ）

是纯虚序列，而且满足X （k ）=-X （N-k ）。 解：因为：∑-=-=102)()]([N n nk j N e

n x n x DFT π∑-=-=10]2sin 2)[cos (N n nk N

j nk N n x ππ k=0，1，…，N-1

由于x （n ）是关于N 的奇序列，而nk N

π2cos 是关于N 的偶序列，所以有：02cos )(10

=∑-=N n nk N n x π， 亦即：∑-=-=1

02sin

)()]([N n nk N n x j n x DFT π为纯虚序列； 又有：)

(])([])([ )()()()(101

0101010

)(k X W n x W n x W n x W W n x W

n x k N X N n nk N nk N N n N n nk N N n nN N nk N N n k N n N **-=*-=*-=--=--=-======-∑∑∑∑∑ 所以：)()(2sin )()()(10k N X k N n N

n x j k N X k X N n --=-=-=∑-=*

π 10．设x （n ）是有限长复序列，X （k ）是它的DFT 。

试证明DFT[x （n ）]=X （-k ）和DFT[x （-n ）]= X （k ）。

解：1）)(])([)()]([1

010k X W n x W n x n x DFT N n nk N N n nk N -===**-=--=*

*∑∑ 2）

)

(])([])([)()]([)

1(0101

0k X W m x W n x W n x n x DFT N m mk N N n nk N N n nk N **--=*-=--=**==-=-=-∑∑∑ 11．研究一个复序列x(n)，x(n)=x r (n)+jx i (n)，其中x r (n)和x i (n)是实序

列，序列x(n)的z 变换X(z)在单位圆的下半部分为零，即当πωπ2≤≤时，

0)(=ωj e X 。x(n)的实部为：

试求)(ωj e X 的实部和虚部。 解：因为)]()([21)(n x n x n x r *+=

所以有：

由题设当πωπ2≤≤时， 0)(=ωj e X ，从而有： 而已知：)2(4

1

)2(41)(21)(--+-=n n n n x r δδδ 所以：)2cos 1(21)(4121)(22ωωωω-=+-=-j j j r e e e X 由此可得：0)](Im[=ωj e X

一、思考题

1．IIR 系统级联型结构的一个主要优点是 。

A.实现简单

B.所需器件最省

C.降低有限字长效应的影响

D.无误差积累

2．全通网络是指 。

A. 对任意时间信号都能通过的系统

B. 对任意相位的信号都能通过的系统

C. 对信号的任意频率分量具有相同的幅度衰减的系统

D.

任意信号通过后都不失真的系统 3．利用模拟滤波器设计法设计IIR 数字滤波器的方法是先设计满足相应

指标的模拟滤波器，再按某种方法将模拟滤波器转换成数字滤波器。脉冲

响应不变法是一种时域上的转换方法，即它使 。

A. 模拟滤波器的频谱与数字滤波器频谱相同

B. 模拟滤波器结构与数字滤波器相似

C.

模拟滤波器的频率成分与数字滤波器频率成分成正比

D.模拟滤波器的冲激响应与数字滤波器的脉冲响应在采样点处相等4．双线性变换法的最重要优点是：；主要缺点是。

A.无频率混叠现象；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系

B.无频率混叠现象；二次转换造成较大幅度失真

C.无频率失真；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系

D.无频率失真；二次转换造成较大幅度失真

5．IIR滤波器必须采用型结构，而且其系统函数H（z）的极点位置必须在。

A. 递归；单位圆外

B. 非递归；单位圆外

C. 非递归；单位圆内

D. 递归；单位圆内

6．在通信领域中，若对相位要求不敏感的场合，如语音通信等，选用滤波器较为合适。

A.FIR型

B. IIR型

C.递归型

D.非递归型

7．IIR系统并联型结构与级联型结构相比较，最主要的优点是。

A. 调整零点方便

B. 结构简单，容易实现

C. 无有限字长效应

D. 无误差积累

8．在数字信号处理中，FIR系统的最主要特点是：。

A. 实现结构简单

B. 容易实现线性相位

C. 运算量小

D. 容易实现复杂的频率特性

9．利用模拟滤波器设计法设计IIR数字滤波器的方法是先设计满足相应

指标的模拟滤波器，再按某种方法将模拟滤波器转换成数字滤波器。双线性变换法是一种二次变换方法，即它。

A.通过付氏变换和Z变换二次变换实现

B.通过指标变换和频谱变换二次变换实现

C.通过二次变换，使得变换后S平面与Z平面间为一种单值映射关系

D.通过模拟频率变换和数字频率变换二次变换实现

10．由于脉冲响应不变法可能产生；因此脉冲响应不变法不适合用于设计。

A.频率混叠现象；高通、带阻滤波器

B.频率混叠现象；低通、带通滤波器

C.时域不稳定现象；高通、带阻滤波器

D.时域不稳定现象；低通、带通滤波器

11．一个线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应为奇对称、长度为奇数点，则该滤波器适宜作：。

A. 低通

B. 高通

C. 带通

D. 带阻

12．FIR滤波器主要采用型结构，其系统函数H（z）不存在。

A.非递归；因果性问题

B.递归；因果性问题

C. 非递归；稳定性问题

D. 递归；稳定性问题

13．在通信领域中，若对相位要求高的场合，如图象通信、数据通信等，最好选用滤波器。

A.FIR型

B. IIR型

C.递归型

D.全通型

14．一个线性相位FIR 滤波器的单位脉冲响应为偶对称、长度为偶数点，则该滤波器适宜作： 。

A ．低通 B. 高通 C. 点阻 D. 带阻

15．一个线性相位FIR 滤波器的单位脉冲响应为奇对称、长度为偶数点，则该滤波器适宜作： 。

A ．低通 B. 高通 C. 点阻 D. 带阻

16．在数字信号处理中通常定义的数字频率ω是归一化频率，归一化因子为 。

A ．采样周期 B. 模拟采样角频率

C. 模拟采样频率

D. 任意频率

17．信号数字频谱与模拟频谱间的一个显著区别在于数字频谱具有 。

A ．周期性 B. 更大的精确度

C. 更好的稳定性

D. 更高的分辨率

18．数字信号处理存在有限字长效应，适当增加信号描述字长将 。

A ．增大其影响 B. 消除其影响

C. 减小其影响

D. 对其无影响

二、概念填空题

1．利用付氏级数法设计FIR 数字滤波器时，首先由已给出的)( j d e H 用付氏级数展开的方法求出h d （n ）（理想的单位脉冲响应），然后用R N （n ）（N

点矩形窗或N 点矩形序列）截取该序列就得到设计滤波器的h （n ）（单位