《量子力学与统计力学》各章习题

2 《量子力学与统计力学》各章习题

习题一

1.1、一颗质量为20克的子弹以仰角30o初速率500米/秒从60米的高度处射出。求在重力作

用下该子弹着地前的轨道以及射出50秒后对射出点的位矢、速度、动量、角动量、动能和机械能。（不考虑空气阻力，重力加速度取10米/秒2，地面为零重力势能面）。

1.2、在极坐标平面中任取两点P 1和P 2，但它们和极点三者不共线。试分别画出在P 1和P 2处

的极坐标单位矢。

1.3、在球坐标系中任取一点P ，试画出P 点的球坐标单位矢。

1.4、对于做斜上抛运动的子弹，以抛出点为坐标系原点建立直角坐标系。试分别选取两组不

同的广义坐标，并用之表示子弹在任一时刻的直角坐标。

1.5、氢原子由一个质子和一个电子组成。试说明一个孤立氢原子体系是基本形式的Lagrange

方程适用的体系。

1.6、证明: Lagrange 方程的基本形式（1.59）式可写为如下的Nielsen 形式：

αα

αQ q T q T =??-??2 ,s ,,2,1 =α 1.7、设一个s 自由度的体系的广义坐标为αq ),,2,1(s =α。试证明存在一个任意可微函数

),,,,(21t q q q F s ，由它与该体系的Lagrange 函数构成的如下函数

dt

t q q q dF s ),,,,(L L 21 +=' 满足Langrange 方程（1.67）式。

1.8、设一个s 自由度的体系的广义坐标为αq ),,2,1(s =α，满足Langrange 方程（1.67）

式的Lagrange 函数为),,,,,,,,(L 2121t q q q q q q s s 。设存在另一组广义坐标αξ，),,2,1(s =α，且有变换方程

),,,,(21t q q s ξξξαα =，s ,,2,1 =α

此变换叫做点变换。证明： 若通过上述点变换将),,,,,,,,(L 2121t q q q q q q s s 变换为

),,,,,,,,(L L 2121t s s ξξξ

ξξξ =，则有 s dt d , ,2 ,1 ,0L )L ( ==??-??αξξα

α 这就是说，Lagrange 方程的形式与所选用的广义坐标无关。

1.9、一个质量为m 的物体在地球(质量为M )引力场中做周期运动。以地心为极点在轨道平面

上建立极坐标系),(?r ，并选极坐标为广义坐标。

1）、写出该物体的Lagrange 函数，广义动量，所受的广义力，并由Lagrange 方程导出

该物体的径向和横向运动方程；

2）、写出该物体的Hamilton 函数， 并由Hamilton 正则方程导出该物体的径向和横向运动方程。

1.10、一个体系由n 个粒子组成，粒子质量分别为i m ),,2,1(n i =。此体系在外势场中运

3

动，第i 个粒子在此外势场中的势能为)(i i r V ，第i 个粒子的动量为i p

, 这n 个粒子间的相互作用能为),,(1n r r V 。

1）、写出该体系的Lagrange 函数和Hamilton 函数;

2）、写出原子序数为Z 的原子中的电子体系的Lagrange 函数和Hamilton 函数。

1.11、写出一个自由粒子在球坐标系中的广义动量及Hamilton 函数。

1.12、若函数φ及ψ均为正则变量αq 、αp ),,2,1(s =α及时间t 的函数，即 ，

);,,,;,,,(, );,,,;,,,(21212121t q q q p p p t q q q p p p s s s s ψψφφ== 它们的泊松括号],[ψφ定义为 ∑=???

? ??????-????=s q p p q ，1][αααααψφψφψφ

证明：

1）、

][，H t

dt d φφφ+??=； 2）、Hamilton 正则方程可有如下形式 s 1,2,..., ],[ ],[===ααααα，H q q ，H p p

其中，H 是体系的Hamilton 量。

3）、s 1,2,...,, ,],[==βαδαββαp q 。

1.13、试写出一个单原子分子的能量曲面方程，并计算能量曲面所包围的相体积。

1.14、一个双原子分子的运动通常包括分子质心的平动、两个原子绕质心的转动和原子间的

相对振动。试写出一个刚性双原子分子(即不考虑原子间的相对振动)的能量曲面方程，并计算能量曲面所包围的相体积。

1.15、一容器内装有一种单原子分子组成的理想气体，设容器体积为V ，分子总数为N ，分子

质量为m 。

1)、写出此单原子分子气体的哈密顿量H 。

2)、计算此系统能量的曲面E H =所包围的相体积的大小。 1.16、已知一个质量为m 的质点在力F 的作用下在一个固定的光滑水平面上运动。若在此水 平面上建立直角坐标系，则y x e y K e x K F 21--=，其中，1K 和2K 均为常量。试计算 该粒子能量为ε时能量曲面所包围的相体积。

1.17、试利用Kronecker 符号、Levi-Civita 符号的定义、行列式运算规则和Einstein 求和约定

验证或证明：

1)、k j i k j i k j i ijk 333222111 δδδδδδδδδε=； 2)、kr

kq kp jr jq jp ir

iq ip pqr ijk δδδδδδδδδεε =；

3)、jm

jl im il im jl jm il lmk ijk δδδδδδδδεε =-=； 4)、il ljk ijk δεε2=； 5)、6=ijk ijk εε

4 1.18、试利用Einstein 求和约定证明: 1)、B A A B B A A B B A )( )() ( )()(??+??+???+???=?? 2)、)()()(B A A B B A ???-???=???。 1.19、一个质量为m 荷电q 的粒子在相互垂直的匀强电场E 和匀强磁场B 中运动。试选直角

坐标为广义坐标, 坐标原点为电势零点, 分别写出在对称规范和Landau 规范下该粒子的Lagrange 函数和Hamilton 函数，并分析Hamilton 函数表达式的能量组成形式。

1.20、试由Maxwell 方程组（1.159），并利用式（1.150）推导式（1.179）。

复习总结要求一

1a 、用一句话概述本章内容。

1b 、用一段话扼要叙述本章内容。

1c 、以两粒子体系为例，推导基本形式的Lagrange 方程、保守系的Lagrange 方程和Hamilton

正则方程。

1d 、以习题1.19中的体系为例，仿照§ 1.7，从基本形式的Lagrange 方程出发推导Lagrange

方程。

1e 、系统地总结本章的基本概念、基本公式、重要结论和结果以及基本技能。