人教版八年级数学上册 期末试卷综合测试卷(word含答案)
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人教版八年级数学上册期末试卷综合测试卷(word含答案)
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.如图,已知△ABC中,AB=AC=20cm,BC=16cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使
△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?【答案】(1)①△BPD≌△CQP,理由见解析;②V7.5
Q
(厘米/秒);(2)点P、Q
在AB边上相遇,即经过了80
3
秒,点P与点Q第一次在AB边上相遇.
【解析】
【分析】
(1)①先求出t=1时BP=BQ=6,再求出PC=10=BD,再根据∠B=∠C证得
△BPD≌△CQP;
②根据V P≠V Q,使△BPD与△CQP全等,所以CQ=BD=10,再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度;
(2)根据V Q>V P,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程,设运动x
秒,即可列出方程15
6220
2
x x,解方程即可得到结果.
【详解】
(1)①因为t=1(秒),
所以BP=CQ=6(厘米)
∵AB=20,D为AB中点,
∴BD=10(厘米)
又∵PC=BC﹣BP=16﹣6=10(厘米)∴PC=BD
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△BPD与△CQP中,
BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△BPD ≌△CQP (SAS ),
②因为V P ≠V Q ,
所以BP ≠CQ ,
又因为∠B =∠C ,
要使△BPD 与△CQP 全等,只能BP =CP =8,即△BPD ≌△CPQ ,
故CQ =BD =10.
所以点P 、Q 的运动时间84663
BP t (秒), 此时107.54
3Q CQ V t (厘米/秒).
(2)因为V Q >V P ,只能是点Q 追上点P ,即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程
设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇,依题意得
1562202x x , 解得x=803
(秒) 此时P 运动了8061603
(厘米) 又因为△ABC 的周长为56厘米,160=56×2+48, 所以点P 、Q 在AB 边上相遇,即经过了
803秒,点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇. 【点睛】
此题考查三角形全等的证明,三角形与动点相结合的解题方法,再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.
2.如图1,在正方形ABCD 中,P 是对角线BD 上的一点,点E 在AD 的延长线上,且PA=PE ,PE 交CD 于F
(1)证明:PC=PE ;
(2)求∠CPE 的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD 改为菱形ABCD ,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE ,试探究线段AP 与线段CE 的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)90°(3)AP=CE
【解析】
【分析】
(1)、根据正方形得出AB=BC ,∠ABP=∠CBP=45°,结合PB=PB 得出△ABP ≌△CBP ,从而得出结论;(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP ,∠DAP=∠DCP ,根据PA=PE 得出∠DAP=∠E ,即∠DCP=∠E ,易得答案;(3)、首先证明△ABP 和△CBP 全等,然后得出PA=PC ,
∠BAP=∠BCP ,然后得出∠DCP=∠E ,从而得出∠CPF=∠EDF=60°,然后得出△EPC 是等边三角形,从而得出AP=CE.
【详解】
(1)、在正方形ABCD 中,AB=BC ,∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP 和△CBP 中,又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP (SAS ), ∴PA=PC ,∵PA=PE ,∴PC=PE ;
(2)、由(1)知,△ABP ≌△CBP ,∴∠BAP=∠BCP ,∴∠DAP=∠DCP ,
∵PA=PE , ∴∠DAP=∠E , ∴∠DCP=∠E , ∵∠CFP=∠EFD (对顶角相等),
∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E , 即∠CPF=∠EDF=90°;
(3)、AP =CE
理由是:在菱形ABCD 中,AB=BC ,∠ABP=∠CBP ,
在△ABP 和△CBP 中, 又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP (SAS ),
∴PA=PC ,∠BAP=∠DCP ,
∵PA=PE ,∴PC=PE ,∴∠DAP=∠DCP , ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E , ∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD (对顶角相等), ∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ,
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°, ∴△EPC 是等边三角形,∴PC=CE ,∴AP=CE
考点:三角形全等的证明
3.如图,ABC ∆是等腰直角三角形,090BAC ∠=,点D 是直线BC 上的一个动点(点D 与点B C 、不重合),以AD 为腰作等腰直角ADE ∆,连接CE .