(华东师大版)数学初二下册 数据的整理与初步处理——知识讲解

数据的整理与初步处理——知识讲解

【学习目标】

1、掌握平均数、加权平均数的意义和求法，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．

2、了解中位数和众数的意义，掌握中位数的求法，并会找一组数据的众数.

3、了解方差的意义及求法，体会用样本方差估计总体方差的思想，能用方差解决一些实际问题.

4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用. 【要点梳理】

要点一、平均数和加权平均数 1.平均数

一般地，如果有个数据，那么，就是这组数据的算术平均数，简称平均数，用“”表示.即. 要点诠释：

（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.

（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任意一个数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数

若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=

（其中++…+=n ，k ≤n ）

在一组数据中，数据重复出现的次数f 叫做这个数据的权.按照上述方法求出的平均数，叫做加权平均数.

数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. 要点诠释：

（1）越大，表示的个数越多，“权”就越重. “权”越重，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和.

（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 要点二、中位数和众数 1.中位数

一般地，当一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数. 要点诠释：

（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数

一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 要点诠释：

（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也可能没有.

n 123n x x x x 、、、…()1231

n x x x x n

⋅⋅⋅++++x ()1231

n x x x x x n

=

⋅⋅⋅++++1x 1f 2x 2f 3x 3f k x k f x x 1122k k

12k

x f x f x f f f +f +++++……1f 2f k f k f k x

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、众数、中位数都是反映数据集中趋势的统计量，能从不同的角度提供信息.

区别：平均数是概括一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小.中位数是概括一组数据的另一种指标，如果将一组数据按由小到大的顺序排列，那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据.众数告诉我们，这个值出现的次数最多，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数.

总之，要根据具体问题来选择刻画一组数据的集中程度的统计量，选择的统计量要能够更客观地反映实际背景. 要点四、方差

设一组数据是，它们的平均数是，我们用

来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差.

求方差的步骤概括为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”. 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，越不稳定. 要点诠释：

（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.

（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.

（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.

要点五、用样本估计总体

在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点诠释：

（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.

（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 【典型例题】

类型一、平均数、众数和中位数

1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（ ） A ．99.60，99.70 B ．99.60，99.60 C ．99.60，98.80 D ．99.70，99.60 【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可． 【答案】B ；

【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．故选B ．

12,,n x x x …，x ()[]

222212)(...)(1

x x x x x x n

S n -++-+-=

k 2

k

【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 举一反三：

【高清课堂 数据的分析 例8】

【变式1】若数据3.2，3.4，3.2，，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________． 【答案】3.2；3.5； 解：由题意

，所以众数是3.2，平均数是3.5. 【变式2】某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ） A ．6.2小时 B ．6.4小时 C ．6.5小时 D ．7小时 【答案】B ；

解：根据题意得：

（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50 =（50+90+140+40）÷50 =320÷50 =6.4（小时）．

故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时． 类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题

2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；

(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由． 【思路点拨】（1）运用求平均数公式

即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果. 【答案与解析】

解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，

乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，

x 3.4

3.5, 3.62

x x +==()1231

n x x x x n

⋅⋅⋅++++