高考数学二轮专题针对训练 直线与圆 理
直线与圆
一、选择题
1．已知直线x ＋a 2
y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( ) A ．0或3或－1 B ．0或3 C ．3或－1 D ．0或－1 解析：选
D.由直线x ＋a 2
y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，得3a ＝a 2
(a －2)，即a (a 2
－2a －3)＝0，解得a ＝0或a ＝3或a ＝－1，经验证，当a ＝0或a ＝－1时，两直线互相平行．
2．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )
A ．－3
2
B.54 C ．－65
D.56 解析：选
D.由题意知?????
3－11＋2·k ＝－1
2＝k · －1
2 ＋b ，
解得k ＝－32，b ＝5
4，
∴直线方程为y ＝－32x ＋5
4，
其在x 轴上的截距为－54×(－23)＝5
6
.
3．圆x 2
＋y 2
－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能
解析：选C.∵圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2
＝9，∴圆心为(1，－2)，半径r ＝3，又圆心在直线2tx －y －2－2t ＝0上，∴圆与直线相交，故选C.
4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )
A.13 B ．－13
C ．－32
D.23 解析：选
B.由直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P 、Q ，可设P (x 1,1)，Q (7，y 1)，再由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，可解得：x 1＝－5，y 1＝－3.即直线l 上有两点P (－5,1)，Q (7，－3)，代入斜率公式可解得直线l 的斜率为k ＝1＋3－5－7＝－1
3
.故选
B.
5．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x
＋4y
取最小值时，过点P (x ，y )引圆C ：(x －12)2＋(y ＋14)2＝1
2
的切线，则此切线长等于( )
A.12
B.32
C.62
D.
32
解析：选C.由于点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，得x ，y 满足x ＋2y ＝3，又2x
＋4y
＝2x
＋22y
≥22x ＋2y
＝42，取得最小值时x ＝2y ，此时点P 的坐标为(32，3
4
)．由于点P 到圆心
C (12
，－14
)的距离为d ＝
32－12 2＋ 34＋14 2＝2，而圆C 的半径为r ＝2
2
，那么切线长为d 2
－r 2
＝
2－12＝6
2
，故选C. 二、填空题
6．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2
＝0.那么当圆面积最大时，圆心为__________．
解析：将方程配方，得(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2
＝－34
k 2＋1.
∴r 2
＝1－34k 2>0，r max ＝1，此时k ＝0.∴圆心为(0，－1)．
答案：(0，－1)
7．直线2x ＋3y －6＝0关于点M (1，－1)对称的直线方程是__________．
解析：依题意，所求直线与直线2x ＋3y －6＝0平行，且点M (1，－1)到两直线的距离相等，故可设其方程为2x ＋3y ＋m ＝0，则|2－3－6|13＝|2－3＋m |
13，解得m ＝8，故所求直线方程
为2x ＋3y ＋8＝0.
答案：2x ＋3y ＋8＝0
8．(2011年高考湖北卷)过点()－1，－2的直线l 被圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0截得的弦
长为2，则直线l 的斜率为__________．
解析：由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k ()x ＋1，又圆的方程可化为()x －12
＋()y －12
＝1，圆心为()1，1，半径为1，
∴圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|
1＋k 2
＝ 1－?
??
??222
， 解得k ＝1或17
7.
答案：1或17
7
三、解答题
9．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．
(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；
(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，
∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2
－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得a ＝2，b ＝2.
(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a
1－a ，
故l 1和l 2的方程可分别表示为：
(a －1)x ＋y ＋4 a －1 a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a
1－a ＝0，
又原点到l 1与l 2的距离相等． ∴4|
a －1a |＝|a 1－a |，∴a ＝2或a ＝2
3
， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3
，b ＝2.
10．(2011年高考福建卷)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .
(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2
＝4y 是否相切？说明理由．
解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )． 因为MP ⊥l ，所以0－m
2－0×1＝－1，
解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．
从而圆的半径r ＝|MP |＝ 2－0 2
＋ 0－2 2
＝22， 故所求圆的方程为(x －2)2
＋y 2
＝8.
法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2
＋y 2
＝r 2
.依题意，所求圆与直线l ：
x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则
?
???
?
4＋m 2
＝r 2
，|2－0＋m |
2＝r ，解得??
?
m ＝2，
r ＝2 2.
所以所求圆的方程为(x －2)2
＋y 2
＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m ， 由???
?
?
y ＝－x －m ，x 2
＝4y ，
得x 2
＋4x ＋4m ＝0.
Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．
当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； 当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．
综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 11．已知圆M 的方程为x 2
＋(y －2)2
＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，
B.
(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；
(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；
(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 解：(1)设P (2m ，m )，由题可知MP ＝2， 所以(2m )2＋(m －2)2
＝4，解之得m ＝0或m ＝45.
故所求点P 的坐标为P (0,0)或P (85，4
5)．
(2)由题意易知k 存在，
设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)， 由题知圆心M 到直线CD 的距离为22
， 所以
22＝|－2k －1|1＋k
2，解得，k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0. (3)证明：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m
2＋1)，
因为PA 是圆M 的切线，
所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为(x －m )2
＋(y －m
2－1)2＝m 2
＋(m
2
－1)2
.
化简得：x 2
＋y 2
－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，
故????
?
x 2＋y 2
－2y ＝0，2x ＋y －2＝0，
解得???
?
?
x ＝0y ＝2
或????
?
x ＝4
5
，
y ＝2
5.
所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0,2)或(45，2
5)．
、
直线与圆(专题训练
直线与圆 1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则 k ＝( ) A ．0 B. 3 C.3 3 或0 D.3或0 解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k | 1＋k 2 ＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D. 2．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋ 2 2 D ．2＋2 2 解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2| 2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1. 3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 依题意，注意到|AB|＝2＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l 的距离等于 2 2 ，即有 1 k2＋1 ＝ 2 2 ，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝2”的充分 不必要条件． 4．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 解析：选C 由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0. 6．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( ) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 4 1，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在 的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（市区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（市区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么 此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和 17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（市）如图，⊙O 为△ABC 的切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练
冲刺高考 复习必备 2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 倾斜角与斜率 例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ） A. 0150 B. 0120 C. 060 D. 030 【答案】 A 【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为3 3 - =k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则3 3 tan -=α，∴?=150α． 故选：A ． 【易错点】基础求解问题注意不要算错 【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2 π ，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练 例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或9 2=a 【解析】5 97,35a k a k CB AB += -= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即 59735a a += -，解得2=a 或9 2 =a ． 题型二 直线方程 例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）． A. 2x y += B. 1x y += C. 1x =或1y = D. 2x y +=或x y =
【答案】D 【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m +=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ． 【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。故做题时应考虑此情形 【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。不要漏解。 题型三 直线位置关系的判断 例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ） A. 2-或1- B. 2或1- C. 2-或1 D. 2或1 【答案】D 【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为2 3201k k k -+=?= 或2 故选择D 【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k 不存在）；其次垂直时应为：121-=k k （斜率均存在）或21k k ，中一为0，一不存在 若用0:1=++c by ax l ，0:2=++t ny mx l 垂直的充要条件：0=+bn am ，则避免上述问题 【思维点拨】 直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k 不存在的情况）。在做题时应该考虑全面，避免少解 题型四 对称与直线恒过定点问题 例1 点()2,4关于直线230x y +-=的对称点的坐标为_________． 【答案】()2,2- 【解析】设对称点坐标为()00,x y ，则对称点与已知点连线的中点为0024,22x y ++?? ??? ，
高考理科数学常考题型训练考点一直线与圆
第11题 考点一 直线与圆 1、P 为圆221x y +=上任一点，则P 与点(3,4)M 的距离的最小值是（ ） A ．1 B ．4 C ．5 D ．6 2、已知圆22:40C x y mx ++-=上存在两点关于直线30x y -+=对称,则实数m 的值为( ) A.8 B.-4 C.6 D.无法确定 3、若x y 、满足2 2 24200x y x y +--=+，则2 2 x y +的最小值是（ ） A 5 B ．5 C ．30- D ．无法确定 4、直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[2,6] B ．[4,8] C ． D ． 5、在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6、在圆225x y x +=内，过点53,22?? ??? 有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首 项1a ，最大弦长为n a ，若公差11,63d ?? ∈???? ，那么n 的取值集合为（ ） A.4,5,{6,7} B.{4,5,6} C.3,4,{5,6} D.3,4,5{,6,7} 7、过点(1,)1-的圆2224200x y x y +---=的最大弦长与最小弦长的和为( ) A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 8、设直线过点()0,a ，其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为( ) A ．B ．2± C ．± D ．4± 9、已知圆22220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（ ）
中考专题训练直线和圆的位置关系
2014年中考专题训练直线和圆的位置关系 一、选择题（每题4分，共40分） 1．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（） A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm 2．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75° 3．如图所示，⊙O是线段AB上的一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．50°B．40°C．60°D．70° 第1题第2题第3题 4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r 的值为（）A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 5．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定 第5题第6题第7题 6．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4B．C．6D． 7．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作的⊙O切线，切点为B，连结AC交⊙O于D，∠C=38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（） 第8题第9题第10题 9．如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（）A．15°B．20°C．30°D．70° 10．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30° 二、填空题（每题6分，共30分）11．如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若∠CPA=20°，则∠A= °． 第11题第12题第13题 12．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，B是⊙O上一点，BC⊥AP于点C，且OB=BP=6，则BC= ．13．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD=35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C= ° 14．如图，在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是° 第14题第15题 15．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= ° 三、解答题（每题8分，共80分） 16．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数． 17．已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C． （1）求∠BAC的度数； （2）求证：AD=CD． 18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠ B=60°． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线．
(完整版)圆柱和圆锥提高专项训练(一)附答案
圆柱和圆锥精选拓展提高专项训练（一） 一．解答题（共30小题） 1．（2011?龙湖区）一个高为20厘米的圆柱体，如果它的高增加3厘米，则它的表面积增加150.72平方厘米，求原来圆柱体的体积是多少立方厘米？ 2．（2008?高邮市）如图中是一块长方形铁皮（每个方格的边长表示1平方分米），剪下图中的涂色部分可以围成一个圆柱．这个圆柱的侧面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 3．如图是一个油桶，里面装了一些油（图中阴影部分），求油有多少升？ 4．求表面积（单位：厘米）
5．只列式，不计算． （1）做30根圆柱形铁皮通风管，每根底面直径为26厘米，长85厘米，至少需要多少铁皮？（2）明珠灯泡厂原计划30天生产4.2万只，实际提前4天完成任务，实际每天生产多少只？ 6．A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高． 7．（2013?陆良县模拟）一个圆柱体的底面半径与一个圆锥体的底面半径之比为4：1，该圆锥体的底面积为12.56平方米，已知圆柱体的高为3厘米，试求圆柱体的体积是多少？ 8．（2005?华亭县模拟）看图计算：右边是一个圆柱体的表面展开图，根据所给的数据，求原来圆柱体的体积． 9．在方格纸上画出右边圆柱的展开图（每个方格边长1cm）．算出制作这个圆柱所用材料的面积．
10．选择下面合适的图形围成最大的圆柱．（单位：厘米） （1）你会选择_________图形（填编号） （2）计算它的表面积和体积． 11．一个圆柱形玻璃缸，底面直径20厘米，把一个钢球放入水中，缸内水面上升了2厘米，求这个钢球的体积．（π取3.1） 12．一个圆柱侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面直径是4厘米，高是多少？ 13．将下面的长方形（图1）绕着它的一条边旋转一周，得到一个圆柱体（图2），求旋转所形成的圆柱体的体积．（单位：厘米）
(完整版)高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2π θ∈时，0k ≥； （2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90?增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式：1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离：d = （3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠
垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：222 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）；
高考数学专题直线和圆练习题
专题七：直线与圆 例1：不等式063<-+ay x )0(>a 表示的平面区域是在直线063=-+ay x （ ） 的点的集合。 （A ）左上方 （B ）右上方 （C ）左下方 （D ）右下方 [思路分析] 作出直线063=-+ay x ，又因为06003<-?+?a ，所以原点在区域内侧表示直线的左下方，故选取C 。 [简要评述] 用特殊值法解选择题是常用的方法。 例2：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是 ( ) （A ）2±=k （B ）[)(]2,,2-∞-+∞ （C ）() 2,2- （D ）2-=k 或(-1,1] [思路分析] 数形结合的思想，k x y += 表示一组斜率为1的平行直线，21y x -= 表示y 轴的右半圆。如图可知，选（D ） [简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题 可以进一步拓展，21y x --=，21x y -±=等。 例3：如果实数x 、y 满足()322=+-y x ，那么x y 的最大值是 。 [思路分析] 解法一：设直线l ：kx y =，则x y 表示直线l 的斜率，直线l 与圆 ()322=+-y x 距离为半径即可。 解法二：设圆的参数方程：?????=+=θ θsin 3cos 32y x 则 θ θcos 32sin 3+=x y 据三角知识求解。 解法三：设x y =t ，则???==+-tx y y x 3)2(22 只要解方程组，利用0=?可得解。
解法四：如图，联结圆心C 与切点M ，则由OM ⊥CM ，又Rt △OMC 中，OC=2，CM=3 所以，OM=1，得3==OM MC x y [简要评述] 小题小做，选方法四最为简单，数形结合的数学思想的灵活运用。 例4：已知两点)2,(m A ，)1,3(B ，求直线AB 的斜率与倾斜角。 [思路分析] 注意斜率存在的条件。当3=m 时，k 不存在。α= 2π，当3≠m 时， 31312tan -=--==m m k α；当3>m 时,3 1arctan -=m α，当3 高三数学考前知识点赏析 直线和圆（续） 9、简单的线性规划： （1）二元一次不等式表示的平面区域： ①已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是__________（答：(][)31∞∞－，－，＋） ②已知对k R ∈，直线10y kx --=与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则实数m 的取值范围是 （ ） A (0,1) B (0,5) C [1,)+∞ D [1,5) （2）线性规划问题中的有关概念： （1）实数x 、y 满足不等式组250 350251x y x y x y +-≥??--≤??-+≥? ，则22(1)(1)x y +++的最小值：13 要首先比较 ||||PA PH 与大小或者评估垂足H 落在A 点的上方还是下方。 （2）点（－２，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是_________（答：23t > ）； （3）不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积是_________（答：8）； （4）已知抛物线22(0)x py p =->上一点p 到直线 3x+4y-12=0 最小距离是1, 求抛物线方程。 2112.9x y =- 本题处理2 123125t d t p =--的绝对值符号时，利用了线性规划中区域概念，避开了分情 况说明的麻烦。 10、圆的方程： （1）过(1,2)总能作出两条直线和已知圆2222150x y kx y k ++++-=相切，求k 的取值范围 （2）过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ （3）已知圆04422 2=+-++y x y x 关于直线y=2x+b 成轴对称，则b= （4）设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为 _________ 83(3)(2,k ∈-); C;[0，2]；4;22(1)2x y -+=）；B; A;81125； 11、点与圆的位置关系： ①从圆22 2210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 A ．12 B ．35 C ．0 12、直线与圆的位置关系： （1）直线0ax by b a ++-=与圆2230x y x +--=的位置关系是( ) A ．相交 B 相离 C 相切 D 与a 、b 的取值有关 （2）若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆22 4280x y x y +---=的周长，则12a b +的最小值 10、圆的方程： （1）过(1,2)总能作出两条直线和已知圆2222150x y kx y k ++++-=相切，求k 的取值范围 直线与圆的位置关系、切线》 培优训练 参考答案与试题解析 一.选择题（共12小题） 1. （2013杨浦区二模）00的半径为R,直线I与OO有公共点，如果圆心到直线I的距离为d ,那么d与R的大小关系是（B ） A d >R B d WR C d >R D d v R 考点：直线与圆的位置关系. 专题：探究型. 分析：直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可. 解：???直线I与O0有公共点， 解答： ??直线与圆相切或相交，即d W R. 故选B. 点评： 本题考查的是直线与圆的位置关系，即判断直线和圆的位置关系：设O0的半径为r,圆心O 到直线I的 距离为d ,当d v r时，直线I和OO相交；当d=r时，直线I和00相切；当d > r 时，直线I和O0相离. 2. （2014?嘉定区一模）已知OO的半径长为2cm ,如果直线I上有一点P满足PO=2cm ,那么直线I与00的位 置关系是（D ） A相切B相交C相离或相切D相切或相交 第1页共19页 考点：直线与圆的位置关系? 分析： 情据讨线与相位置关系熠直线l和判断直线和?圖的位置分JOP垂直于直直线l和G OP相垂直直线r；（两直解答：解：当0P垂直于直线I时，即圆心0到直线I的距离d=2=r ,00与I相切； 当OP不垂直于直线I时，即圆心O到直线I的距离d v 2=r , 00与直线I相交. 故直线I与00的位置关系是相切或相交. 故选D. 点评：本题考查直线与圆的位置关系 .解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定. 3. （2013宝应县二模）在平面直角坐标系中，以点（3, - 5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,则圆的半径r的取值范围是（D） A r >4 B 0v r v 6 C 4 < r V D 4 v r v 6 成都市中考20题---圆的综合 都江堰塔子坝中学 卢正谊 成都市中考20题---圆的综合，是成都中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练，尤其是前两问更是我们能否在中考中取得理想成绩的一个重要突破口． 重点例题 例1、（2015?成都）如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?， AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF BC =.⊙O 是BEF ?的外接圆，EBF ∠的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD ，FH . （1）求证：ABC EBF ???； （2）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若1AB =，求HG HB ?的值. 例2、（2010?成都）已知：如图，ABC ?内接于⊙O，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是弧AD 的中点， 连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、 BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是ACQ ?的外心； （2）若3 tan ,84 ABC CF ∠==,求CQ 的长； （3）求证：2 ()FP PQ FP FG +=．（课后思考） 中考圆的命题方向： 随着直线与圆位置关系的弱化，圆与圆、弦切角、切线长定理、相交弦定理、切割线定理以及割线定理等一系列知识的退出，新教材中圆的知识结构发生了重大的改变。在中考卷中，这种变化体现为考核的重心前移，视角更新。 1、重心前移 教材中讲述的比较重要的定理，经过调整，现在仅剩下垂径定理、弧、弦、圆心角关系定理、圆周角和圆心角关系 定理。这些定理都是圆中极其基础的知识，自身并不具有很强的纵深能力，因为内容删减之后仅余这三个“象样”点的知识，于是在中考试卷中逐渐地活跃起来，成为主导圆与其它知识综合的核心载体，典型手法是以选择、填空等客观性试题设计展现。 2、切线的证明不及以前 切线在原教材中作为圆的核心知识，具有很出色的连横纵深能力，前有圆的垂径定理，圆周角度数定理等等知识作为铺垫，后有弦切角、切线长定理、切割线定理等等作延伸。成都市中考中由于20题已具有选拨性质，所以切线证明仍然是重中之重。 3、与相似形综合成为热点 圆的内容大幅度删减，导致圆与相似形综合的问题开始逐渐地活跃起来，并一跃成为主导圆与其它知识综合的热点。. 练习： （2015?常德）已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长。 怎样提高： 1、夯实基础，熟悉定理。 2、多钻研、多分析、多总结基本图形、基本解题思路。 3、常见辅助线。 4、主动、积极性的思维。 小结： 1、中考分值10分左右。 2、（1）、（2）问争取拿全分。 3、（3）问争取能拿分，不纠结。 A D F A B 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 专题二十【圆的有关概念、性质及定理】 1．（2015?株洲）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（） A．22°B．26°C．32°D．68° 【答案】A． 2．（2015?兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（） A．80°B．90°C．100°D．无法确定 【答案】B． 3．（2015?湖北）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100° 【答案】C． 4．（2015?湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（） A．4 B．2C．8 D．4 【答案】C． 5．（2015?衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（） A．3 B．4 C．D． 【答案】D． 6．（2015?丽水）如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数是度． 【答案】20． 7．（2015?宜宾）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF=． 【答案】2 8．（2015?天津）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C 作⊙O的切线，交AB的延长线于点D． （Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小． （Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小． 【答案】（1）∠ADC= 90°； （2）∠FAB= 15°． 9．（2015?湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E 为AC的中点，连结DE． （1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长； （2）求证：ED是⊙O的切线． 【答案】（1）AC=10； （2）略 10．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB 于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 2012年高考真题理科数学解析汇编：直线与圆 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理））设 m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=m x n y ++-与圆 22(1)+(y 1)=1x --相切,则+m n 的取值范围是 （ ） A ．[1 B ．(,1)-∞∞ C ．[2- D ．(,2)-∞-∞ 2 ．（2012年高考（浙江理））设a ∈R,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0 平行”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3 ．（2012年高考（重庆理））对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222 =+y x 的位置关系一定是 （ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直 线过圆心 4 ．（2012年高考（陕西理））已知圆2 2:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则 （ ） A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 5 ．（2012年高考（大纲理））正方形ABCD 的边长为1,点 E 在边AB 上,点 F 在边BC 上,3 7 AE BF ==,动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 （ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 二、填空题 6 ．（2012年高考（天津理））如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的 延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ,与AB 相交于点 F ,=3AF ,=1FB ,3 = 2 EF ,则线段CD 的长为______________. 7 ．（2012年高考（浙江理））定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y =x 2 +a 到直线l :y =x 的距离等于C 2:x 2 +(y +4) 2 =2到直线l :y =x 的距离,则实数a =______________. 8 ．（2012年高考（上海理））若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为 __________(结果用反三角函数值表示). 9 ．（2012年高考（山东理））如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在 D 2016年专项练习题集-直线与圆相交的性质 选择题 1.直线x y 3+4+2=0与圆x y 22+=3的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相切 【分值】5 【答案】B 【易错点】计算错误。 【考查方向】本题主要考查了直线与圆的位关系的判断。 【解题思路】求出圆心到直线的距离，与半径进行比较。 【解析】圆心(0,0)到直线x y 3+4+2=0的距离 0+0+22=55，而20<<5，选B 。 2．若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，则实数m 的值为( ). A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 【分值】5 【答案】C 【易错点】忽略当圆关于直线对称时直线过圆的圆心这个条件。 【考查方向】本题主要考查了直线与圆相交的性质。 【解题思路】将圆心坐标代入直线方程，求出m 。 【解析】若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，故圆心在直线x y m 3++=0上，又圆心坐标为(,)-12，故()m 3?-1+2+=0，解得1m =. 3．若点(,)A m n 在圆O ：228x y +=上，则直线8mx ny +=与圆O 的位置关系是( ). A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定 【分值】5 【答案】B 【易错点】本题容易将直线方程与圆的方程联立，并利用判别式求解，导致计算十分复杂而导致解题失败。 【考查方向】本题主要考查了点与圆的位置关系以及直线与圆相交的性质。 【解题思路】由点(,)A m n 在圆O ：22 8x y +=上，得到关于,m n 的关系式，利用圆心到直线的距离公式求出O 到直线8mx ny +=的距离d ，利用d 与r 的关系大小关系判断直线与圆的位置关系。 【解析】点(,)A m n 在圆O ：228x y +=上，故22 8m n +=，圆心(0,0)O 到直线 8mx ny +=的距离为 d r = ===，故直线4ax by +=与圆O 相切. 选B. 直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0, )2 π θ∈时，0k ≥； （2）2 πθ=时，k 不存在；（3）( ,)2 π θπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0? 增加到90? 时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90? 增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式： 1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式： 1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点 00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = （3）平行线间的距离： 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠ 垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所 有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：2 2 2 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：2 2 0x y Dx Ey F ++++=（22 40D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θ θ =+?? =+?（θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆2 2 2 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d =R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆可判断直线与圆相交． 高中数学直线与圆精选题目（附答案） 一、两直线的位置关系 1．求直线斜率的基本方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2?l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法 (1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1?l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. 1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)； (2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 解①②组成的方程组得??? a ＝2， b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4 b ＝－(－b )．④ 由③④联立，解得??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ，b ＝2. 经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ， b ＝2. 注： 已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 (1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去． (2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－4 3 C ．2 D ．3 解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D. 3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝3 2.故选A. 二、直线方程 1．直线方程的五种形式高三数学考前知识点赏析-直线与圆
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