一元二次方程应用题(含答案)
一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别 式知识点 集团档案编码:[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
一元二次方程根的判别式知识点及应用 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理:在一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中,Δ=b24ac 若△>0则方程有两个不相等的实数根 若△=0则方程有两个相等的实数根 若△<0则方程没有实数根 2、这个定理的逆命题也成立,即有如下的逆定理: 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,Δ=b24ac 若方程有两个不相等的实数根,则△>0 若方程有两个相等的实数根,则△=0 若方程没有实数根,则△<0 特别提示:(1)注意根的判别式定理与逆定理的使用区别:一般当已知△值的符号时,使用定理;当已知方程根的情况时,使用逆定理。 一、不解方程,判断一元二次方程根的情况。 二、例1、判断下列方程根的情况 三、2x2+x━1=0;x2—2x—3=0;x2—6x+9=0;2x2+x+1=0 二、?已知一元二次方程根的情况,求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程(m—4)x2—(2m—1)x+m=0有两个实数根? 三、?证明方程根的性质。 例3、求证:无论m为任何实数,关于x的方程x2+(m2+3)x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 四、?判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例4、当m为何值时,关于x的二次三项式mx2-2(m+2)x+(m+5)能在实数范围 内因式分解。 五、?判定二次三项式为完全平方式。 例5、若x2-2(k+1)x+k2+5是完全平方式,求k的值。 例6、当m为何值时,代数式(5m-1)x2-(5m+2)x+3m—2是
一元二次方程应用题经典题 型汇总含答案
z一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%) (1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答 需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.
三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得 90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗? 解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1. 所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5. 答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.
(完整版)中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典 型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?
解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 解这个方程,得a1=25,a2=31. 因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350-10a=350-10×25=100(件). 答需要进货100件,每件商品应定价25元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、储蓄问题 例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0. 解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,
一元二次方程应用题(含答案)整理版
一元二次方程应用题 1、某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行、列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价关系式 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元. 4.现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒? 解:设边长x 则(19-2x)(15-2x)=77 4x^2-68x+208=0 x^2-17x+52=0
一元二次方程的根的判别式练习题
一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x -k=0根的判别式是 ;当k 时,方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x -k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根,则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2-2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时,关于x 的方程3x 2-2(3m+1)x+3m 2-1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax -4)-x 2+6=0没有实数根,那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m -1)x -2=0的根的判别式的值等于4,则m= 。 8、设方程(x -a)(x -b)-cx=0的两根是α、β,试求方程(x -α)(x -β)+cx=0的根。 9、不解方程,判断下列关于x 的方程根的情况: (1)(a+1)x 2-2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2-2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时,方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证:关于x 的方程(m 2+1)x 2-2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2-1)x 2+2(m+1)x+1=0,试问:m 为何实数值时,方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2-2x -m=0无实根(m 为实数),证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2-1)(x 2+1)=0 也无实根。 14、已知:a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时,方程2(m+1)x 2+4mx+2m -1=0。 (1)有两个不相等的实数根; (2)有两个实数根; (3)有两个相等的实数根; (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k -1)x 2-4x -6=0无实根时,k 应取何值? 17、已知:关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根,y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2-b)y+4=0的两实根,求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+ p x+q=0的两个实根,且23x x x x 222121=++,25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根,且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1, 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++,求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2-(3m -5)x -6m 2=0的两个实数根,且23x x 21=,求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根,且α3-α2β-αβ2+ β3=0,求证:p=0,q<0 22、已知方程(x -1)(x -2)=m 2(m 为已知实数,且m ≠0),不解方程证明: (1)这个方程有两个不相等的实数根;
一元二次方程应用题——分类
增长率问题:1、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 5、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价:1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。当每吨售价为260元时,月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元。(3)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大。”你认为对吗?请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游,推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游,共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游? 图 1
一元二次方程应用题精选含答案
一元二次方程应用题精选 一、数字问题 1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 2、一个两位数,十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数. 二、销售利润问题 3、某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增 加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.求: (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多,请你帮助设计方案. 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家 电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? 5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
三、平均变化率问题增长率 (1)原产量+增产量=实际产量. (2)单位时间增产量=原产量×增长率. (3)实际产量=原产量×(1+增长率). 6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少? 7. 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几? 四、形积问题 8、有一块长方形的铝皮,长24cm、宽18cm,在四角都截去相同的小正方形,折起来做成一个没盖的盒子,使底面积是原来面积的一半,求盒子的高. 9、如图,在一块长为32m,宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2,求小路宽的宽度.
一元二次方程判别式及韦达定理
一元二次方程判别式及韦达定理 一、选择题 1.(2013湖北黄冈)已知一元二次方程x 2-6x +c =0有一个根为2,则另一根为( ) A .2 B .3 C .4 D .8 2.(2013四川泸州)若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是( ) A .1k >- B .1k <且0k ≠ C . 1k ≥-且0k ≠ D . 1k >-且0k ≠ 3. (2013四川泸州,)设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根,则 2112 x x x x +的值为( ) A .5 B .-5 C .1 D .-1 4. (2013福建福州,)下列一元二次方程有两个相等实数根的是( ) A .x 2+3=0 B .x 2+2x =0 C .(x +1)2=0 D .(x +3)(x -1)=0 5.(2013山东滨州,)对于任意实数k ,关于x 的方程程x 2-2(k +1)x -k 2+2k -1=0的根的情况为 A .有两个相等的实数根 B .没有实数根 C .有两个不相等的实数根 D .无法确定 6.(2013广东广州)若0205<+k ,则关于x 的一元二次方程042=-+k x x 的根的情况是( ) A .没有实数根 B .有两个相等的实数根 C .有两个不相等的实数根 D .无法判断 7.(2013山东日照)已知一元二次方程032=--x x 的较小根为1x ,则下面对1x 的估计准确的是 A .121-<<-x B .231-<<-x C .321< 一元二次方程应用题典型题型归纳 (一)传播与握手问题 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一 个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有 个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有 个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组 共互赠了182件,这个小组共有多少名同学? 6.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,这个小组共有 多少人? 7.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? (二)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率? 5.恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. (三)商品销售问题 售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品,进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系:P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件? 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产 品全部售出,已知生产ⅹ只熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R、P与x的关系式分别为R=500+30X,P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元? (2)若可获得的最大利润为1950元,问日产量应为多少? 3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500 千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元。 为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现,如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元? 一元二次方程根的判别式专题训练 1. (2010 广西钦州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根,则k = . 2. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根,则实数a 的取值范围是____________. 3. (2010 江苏省苏州市) 若一元二次方程()2 220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、,则a b +=_________. 4. (2010 江苏省苏州市) 下列四个说法中,正确的是( ) A .一元二次方程22 452 x x ++=有实数根; B. 一元二次方程23 452 x x ++=有实数根; C. 一元二次方程25 453x x ++= 有实数根; D. 一元二次方程()2451x x a a ++=≥有实数根. 5. (2010 湖南省益阳市) 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,则ac b 42 -满足的条件是 A.ac b 42 -=0 B.ac b 42->0 C.ac b 42-<0 D.ac b 42-≥0 6. (2010 山东省烟台市) 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1,x2,则(x1-1)(x2-1)= . 7. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根, 求m 的值及方程的根. 8. 当k 是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k –1)x+72=0有两个不相等的正整数根? 9. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数,求m 的整数值, 并求出两方程的整数根. 10. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中,三边分别为a 、b 、c ,其中5a =,若关于x 1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元. 第四课时 解一元二次方程(根的判别式) 学习目标: 1、熟练使用公式法解一元二次方程。 2、会用ac b 42 -的值来判断一元二次方程。 授课内容: 1、用公式法法解下列方程: (1)0222=--x x (2)0122=+-x x (3)0222=+-x x . 2、观察上述方程的根,方程(1)两个实数根________,方程(2)两实数根________, 方程(3)_______________。那么方程根出现不同情况是由什么来判断的呢? 3,结论:一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的情况可由ac b 42-来判定: 当__________时,方程有两个不相等的实数根; 当__________时,方程有两个相等的实数根; 当__________时,,方程没有实数根。 我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式 说明:(1)可以不解方程求ac b 42 -的值来判别方程的根的情况。 (2)上述结论反过来也成立。 例题讲解 例1、不解方程,判别方程根的情况: (1)0132=-+x x (2)0962 =+-x x (3)04322=+-y y (4)x x 5252=+ 变式:求证:不论x 取何值时,关于x 的一元二次方程012 =--kx x 总有两个不相等的实 数根。 例2、k 取什么值时,关于x 的方程022)2(22=-++-k x k x 有两个相等的实数根?有 两个不等的实数根?无实数根? 变式1:已知关于0232 =-+-k x x 有实数根,求k 的取值范围。 例3、已知关于x 的方程220kx +-=有两个不相等的实数根.........,求k 的取值范围。 变式:关于x 的方程..2 (2)2(1)10k x k x k ---++=有实数根,求k 的取值范围。 课堂练习: 1,已知关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=,K 取什么值时 ○ 1、方程有两个不相等的实数根; ○ 2、方程有两个相等的实数根; ○ 3、方程无实数根; 2,试说明关于x 的方程222(1)2(4)0m x mx m +-++=无实数根。 实际问题与一元二次方程(3) 教学目标: 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键; 3、通过一题多解使学生体会列方程的实 质,培养灵活处理问题的能力. 教学重点:列方程解应用题. 教学难点:会用含未知数的代数式表示题目里的中间量(简称关 系式);会根据所设的不同意义的未知数,列出相应的方程。 教学过程: 一、复习引入 1、上一节,我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”,现在,我们要学习解决“面积、体积问题。 2.直角三角形的面积公式是什么??一般三角形的面积公式呢? 3.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么? 4.梯形的面积公式是什么? 5.菱形的面积公式是什么? 6.平行四边形的面积公式是什么? 7.圆的面积公式是什么? 二、探究: 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何 设计四周边衬的宽度? 解法一: 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两 边之比也为9:7 设正中央的矩形两边分别为9xcm ,7xcm 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为: 2331=x ),(2332舍去不合题意-=x 21274379??=?x x 8.143275422339272927≈-=?-=-x 左右边衬的宽度为: 解法二: 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7 设上下边衬的宽为9xcm ,左右边衬宽为7xcm 依题意得 解方程得 (以下同学们自己完成) 三、例题讲解: 用20cm 长的铁丝能否折成面积为30cm 2的矩形,若能够,求它的长 与宽;若不能,请说明理由. 解:设这个矩形的长为x cm,则宽为 cm, 即 x 2-10x+30=0 这里a=1,b=-10,c=30 ∴此方程无解. ∴用20cm 长的铁丝不能折成面积为30cm 2的矩形. 四、学生练习: 1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米? 2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m, 四周外围环绕着宽度相等 4.14 3214222337212721≈-=?-=-x 212743)1421)(1827(??=--x x 4336±=x )220(x -30)220(=-x x 0 203014242)10(<-=??-=-∴-ac b 一元二次方程应用题经典题型汇总 (一)传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后,由每盒200 元下调至128 元,则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主 干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45 场比赛,共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共 互赠了182 件,这个小组共有多少名同学? 6. 一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72 张,这个小组共有多 少人? 7. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过700 台? (二)平均增长率问题 变化前数量×(1x)n=变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤,2003 年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90 元降到了40 元,求平均每 次降价率是。 3. 某种商品,原价50 元,受金融危机影响, 1 月份降价10%,从2 月份开始涨价, 3 月份的售价为64.8 元,求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求 每次降价的百分率? 5. 为了绿化校园,某中学在2007 年植树400 棵,计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵,求该校植树平均每年增长的百分数。 一元二次方程应用题(含答案) 学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明. 一、增长率问题 例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去). 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n. 二、商品定价 例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 解根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0, 列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤是: “审、设、列、解、答”. (1)“审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系.这 一步是解决问题的基础; (2)“设”是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设 什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易; (3)“列”是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系, 再根据这个相等关系列出含有未知数的等式,即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键; (4)“解”就是求出所列方程的解; (5)“答”就是书写答案,应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意, 如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100%等等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验. (一)平均增长率问题 变化前数量×(1 x)n=变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90元降到了40元,求平均 每次降价率是。 3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期 后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 。 4.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始 涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率。 5.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同, 求每次降价的百分率? 一元二次方程根的判别式 姓名 ◆课前预习 1.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况可用b 2-4ac?来判定,?b 2-4ac?叫做________,通常用符号“△”为表示.(1)b 2-4ac>0?方程_________;(2)b 2-4ac=0?方程_________; (3)b 2-4ac<0?方程_________. 2.使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式. ◆互动课堂 【例1】不解方程,判别下列方程根的情况: (1)x 2-5x+3=0; (2)x 2;(3)3x 2+2=4x ; (4)mx 2+(m+n )x+n=0(m ≠0,m ≠n ). 【例2】若关于x 的方程(m 2-1)x 2-2(m+2)x+1=0有实数根,求m 的取值范围. 【例3】已知关于x 的一元二次方程x 2-(2k+1)x+4(k -12 )=0.(1)求证:无论k 取什么实数 值,这个方程总有实数根;(2)如果等腰△ABC 有一边长a=4,另两条边长b ,c 恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC 的周长. 【例4】已知关于x 的方程x -2(m+1)x+m 2=0.(1)当m 取何值时,方程有两个实数根? (2)为m 选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求这两个根. ◆跟进课堂 1.方程2x 2+3x -4=0的根的判别式△=________. 2.已知关于x 的一元二次方程mx 2-10x+5=0有实数根,则m 的取值范围是______. 3.如果方程x 2-2x -m+3=0有两个相等的实数根,则m 的值为_______,此时方程的根为________. 4.若关于x 的一元二次方程kx 2+2x -1=0没有实数根,则k 的取值范围是______. 5.若关于x 的一元二次方程mx 2-2(3m -1)x+9m -1=0有两个实数根,则实数m?的取值范围是_______. 6.下列一元二次方程中,没有实数根的是( ). A .x 2+2x -1=0 B .x 2 C .x 2 D .-x 2+x+2=0 7.如果方程2x (kx -4)-x 2-6=0有实数根,则k 的最小整数是( ).A .-1 B .0 C .1 D .2 8.下列一元二次方程中,有实数根的方程是( ). A .x 2-x+1=0 B .x 2-2x+3=0 C .x 2+x -1=0 D .x 2+4=0 9.如果关于x 的一元二次方程kx 2-6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是( ). A .k<1 B .k ≠0 C .k<1且k ≠0 D .k>1 10.关于x 的方程x 2+(3m -1)x+2m 2-m=0的根的情况是( ). A .有两个实数根 B .有两个相等的实数根 C .有两个不相等的实数根 D .没有实数根 ◆课外作业 1.在下列方程中,有实数根的是( ) (A )x 2+3x+1=0 (B (C )x 2+2x+3=0 (D )1x x -=11 x - 2.关于x 的一元二次方程x 2+kx -1=0的根的情况是 A 、有两个不相等的同号实数根 B 、有两个不相等的异号实数根 C 、有两个相等的实数根 D 、没有实数根 3.关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x +a 2+3a -4=0有一个实数根是x =0.则a 的值为( ). A 、1或-4 B 、1 C 、-4 D 、-1或4 4.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根,则m 的取值范围是 . 5.若0是关于x 的方程(m -2)x 2+3x+m 2-2m -8=0的解,求实数m 的值,并讨论此方程解的情况. 一元二次方程根的判别式练习题 (一)填空 1.方程x2 + 2x-1 + m=0有两个相等实数根,则m= _______ . 2.____________________ a是有理数,b是时,方程2x2 +(a+ 1) x- (2+ b) =0的根也是有理数. 3.____________________________________________ 当kv 1 时,方程 2 (k+1) x2+ 4kx+2k-1=0有 ______________________________ 数根. 5.若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根,则m的值为_________ . 6.方程4mx2-mx+仁0有两个相等的实数根,则m为 __________ . 7 .方程x2-mx + n=0中,m, n均为有理数,且方程有一个根是 2 8.__________________________ —元二次方程ax2 + bx+ c=0 (a^)中,如果a, b, c是有理数且△ =b2 是一个完全平方数,则方程必有 . 9 .若m是非负整数且一元二次方程(1-m2) x2+2 (1-m) x-仁0有两个实数根,贝卩m的值为_________ . 0 .若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根,则k的取值范围是_______ . 1 .已知方程2x2- (+ n) x+m?n=0有两个不相等的实数根,则m, n的取值范围是________ . 2.________ 若方程a (1-x2)+ 2bx + c (1 + x2) =0的两个实数根相等,则a, b, c 的关系式为__ . 3.二次方程(k2-1) x2-6 (3k-1) x+72=0有两个实数根,则k为___. 4.若一元二次方程(1-3k) x2 + 4x-2=0有实数根,则k的取值范围是 ______ . 5.方程(x2 + 3x) 2+9 (x2+3x) + 44=0解的情况是—解. 6.如果方程x2+px+ q=0有相等的实数根,那么方程x2-p (1 + q) x+q3 +一元二次方程应用题典型题型归纳
一元二次方程根的判别式专题训练
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解一元二次方程(根的判别式)
一元二次方程应用题
一元二次方程应用题经典题型汇总
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专题:一元二次方程根的判别式(含答案)
一元二次方程根的判别式练习题