中考数学分类专题复习试题：动态型试题-29页文档资料

新课标中考数学分类专题复习试题：动态型试题

动态几何问题是近几年各地中考试题常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。

例1（杭州）在三角形ABC 中, 60,24,16B BA cm BC cm ∠===o . 现有动点P 从点A 出发, 沿射线AB 向点B

方向运动; 动点Q 从点C 出发, 沿射线CB 也向

点B 方向运动. 如果点P 的速度是4cm /秒, 点

Q 的速度是2cm /秒, 它们同时出发, 求:（1）几秒钟以后, PBQ ?的面积是ABC ?的面积的一

半?

（2）这时, ,P Q 两点之间的距离是多少？

分析：本题是动态几何知识问题，此类题型一般利用几何关系关系式列出方程求解。

解：(1) 设t 秒后, PBQ ?的面积是ABC ?的面积的一半,

则2,4CQ t AP t ==, 根据题意, 列出方程

1

1222(162)(244)sin 601624sin 60t t ?--?=???o o , 化简, 得214240t t -+=, 解得122,12t t ==. 所以2秒和12秒均符合题意; (2) 当2t =时, 12,16,BQ BP == 在PBQ ?中,作/QQ BP ⊥于/Q ,

在/Rt QQ B ?和/Rt QQ P ?中

, //6QQ BQ ==,

所以/10,PQ PQ == 当12t =时, 18,24,BQ BP ==

同理可求得11PQ =.

说明：本题考查了用一元二次方程、三角函数等有关知识进行几何

图形的面积计算方法。

练习一

1、（南京）如图，形如量角器的半圆O 的直径DE=12cm ，形如三角板的⊿ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm 。半圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上。设运动时间为t (s)，当t=0s 时，半圆O 在⊿ABC 的左侧，OC=8cm 。

（1）当t 为何值时，⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切？

（2）当⊿ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与

直线DE 围成的区域与⊿ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面

1P

1Q B /

Q

P

Q

A C

积。

2、（梅州）已知，如图(甲)，正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P 是线段MC上的一个动点, P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P 作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.

（1）求四边形CDFP的周长；

（2）试探索P在线段MC上运动时，求AF·BP的值；

（3）延长DC、FP相交于点G,连结OE并延长交直线DC于H(如图乙),是否存在点P,

使△EFO∽△EHG?如果存在,试求此时的BP的长;如果不存在,请说明理由。

3、（福建毕节地区）如图，AB是⊙O的直径，点C

CD切⊙O于D点，弦DE∥CB，Q是AB上一动点，CA=1，CD是⊙O半径的3倍。

(1)求⊙O的半径R。

(2)当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化，若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积。

4、（河北）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，

DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位

长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；

（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

5、如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心、OE的长为半径的圆弧与DC的交点，点P是上的动点，连结OP，并延长交直线BC于点K.

（1）当点P从点E沿运动到点F时，点K运动了多少个单位长度？

（2）过点P作所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别

交于点M、G.

①当K与B重合时，BG∶BM的值是多少？

②在点P运动的过程中，是否存在BG∶BM＝3的情况？你若认为存在，请求出BK的值；你若认为不存在，试说明其中的理由.

一般地，是否存在BG∶BM＝n（n为正整数）的情况？试提出你的猜

想（不要求证明）.

例2（青岛）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝

6米，BC ＝8米，动点P 以2米/秒的速度从点

A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1米

/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设

P 、Q 两点移动t 秒（0

的面积为S 米2。

（1）求面积S 与时间t 的关系式；

（2）在P 、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等？若能，求出此时点P 的位置；若不能，请说明理由。

分析：本题是一个动态几何问题，也是一个数形结合的典型问题，综合性较强。

解：（1）过点P 作(1) 设t 秒后, PBQ ?的面积是ABC ?的面积的一半, 则2,4CQ t AP t ==, 根据题意, 列出方程 11222(162)(244)sin 601624sin 60t t ?--?=???o o , 化简, 得214240t t -+=,

解得122,12t t ==. 所以2秒和12秒均符合题意;

(2) 当2t =时, 12,16,BQ BP == 在PBQ ?中, 作/QQ BP ⊥于/Q , 在/Rt QQ B ?和/Rt QQ P ?中, //63,6QQ BQ ==,

所以/10,413

PQ PQ

==;

当12

t=时,

18,24,

BQ BP

==同理可求得

1187

PQ=.

说明：本题考查的知识点较多，考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理，一元二次方程及一元二次方程及根的判别式。

练习二

1、（宁德）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，B＝90o，AB＝12cm，

BC＝8cm,DC＝13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动。P、Q两点分别从A、B 同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止。设运动时间为t秒，△PQB的面积为ym2。

（1）求AD的长及t的取值范围；

（2）当1.5≤t≤t

0(t

为（1）中t的最大值)时，求y关于t的函数

关系式；

（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t 的变化而变化的规律。

2、（温州）如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。

⑴求x为何值时，PQ⊥AC；

⑵设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；

⑶当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；

⑷探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x 的取值范围(不要求写出过程)

3、（绵阳）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .

(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .

①求S关于t的函数关系式；

② (附加题) 求S的最大值.

4、（宿迁）已知：如图，△ABC中，∠C

＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t（秒）．

（1）当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；

（2）当点P 、Q 运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ 与△ABC 围成阴影部分面积为S （厘米2），求出S 与时间t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；

（3）点P 、Q 在运动的过程中，阴影部分面

积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没

有，请说明理由．

5、（河南）如图1，Rt △PMN 中，∠P ＝90°，PM ＝PN ，MN ＝8cm ，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上。令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图2），直到C 点与N 点重合为止。设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y 2cm 。求y 与x 之间的函数关系式。

能力训练

1、（重庆）如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A

C

P Q

移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．

(1) 求直线AB 的解析式；

(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？

(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为5

24个平方单位？ 2、（盐城）已知：如图所示，直线l 的解析式为343-=x y ，并且与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B 。 （1） 求A 、B 两点的坐标。 （2） 一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位／每秒的速度向x 轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线l 相切；

（3） 在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P 从B 点出发，沿BA 方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P 在动圆的园面（圆上和圆的内部）上一共运动了多出时间？

3、（江苏）已知二次函数的图象如图所示。

⑴ 求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标；

⑵ 若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q 。当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；

x

B

⑶ 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

⑷ 将△OAC 补成矩形，使上△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）。

4、（徐州）如图，已知直线y = 2x(即直线1l )和直线42

1+-=x y (即直线2l )，2l 与x 轴相交于点A 。点P 从原点O 出发，向x 轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q 从A 点出发，向x 轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位。设运动了t 秒.

(1)求这时点P 、Q 的坐标(用t 表示).

(2)过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与1l 、2l 分别相交于点O 1、O 2(如图

16).

①以O 1为圆心、O 1P 为半径的圆与以O 2为圆心、O 2Q 为半径的圆能否

相切？若能，求出t 值；若不能，说明理由.

②以O 1为圆心、P 为一个顶点的正方形与以O 2为中心、Q 为一个顶点

的正方形能否有无数个公共点？若能，求

出t 值；若不能，说明理由。

5、（湖

州）如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC （O 为原点），AC ∥OB ，OC ⊥BC ，AC ，OB 的长是关于x 的方程x 2

－(k+2)x+5=0的两个根，且S △AOC ：S △BOC =1：5。

（1）填空：0C=________，k=________；

（2）求经过O ，C ，B 三点的抛物线的另一个交点为D ，动点P ，Q 分别从O ，D 同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中

点P 沿OB 由O →B 运动，点Q 沿DC 由D →C 运动，过点Q

作QM ⊥CD 交BC 于点M ，连结PM ，设动点运动时间为

t 秒，请你探索：当t 为何值时，△PMB 是直角三角

形。

6．（宁波）已知抛物线y=-x 2-2kx+3k 2（k>0）交x 轴于A 、B 两点,交y 轴

于点C,以AB 为直径的⊙E 交y 轴于点D 、F(如图),且DF=4,G 是劣弧?AD 上的动点(不与点A 、D 重合),直线CG 交x 轴于点P.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 当直线 CG

是⊙E 的切线时,求tan ∠PCO 的值. (3) 当直线CG 是⊙E 的割线时,作GM ⊥AB,垂足为H,交PF 于点M,交⊙E 于另一点N,设MN=t,GM=u,求u 关于t 的函数关系式.

7、（无锡）如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE

Y G P

E D C Y P H C G A E O D B X

∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F.

（1）求证：△APE ∽△ADQ ；

（2）设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，

并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？

（3）当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须

给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）

8、（黄冈）如图，在直角坐标系中，O 是原点，A 、

B 、

C 三点的坐标分别为A （18，0），B （18，6），C

（8，6），四边形OABC 是梯形，点P 、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 ⑴ 求出直线OC 的解析式及经过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

⑵ 试在⑴中的抛物线上找一点D ，使得以O 、A 、D 为顶点的三角形与△AOC 全等，请直接写出点D 的坐标。

⑶ 设从出发起，运动了t 秒。如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围。

⑷ 设从出发起，运动了t 秒。当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的两部分，如有可能，请求出t A B C

D

P E F Q

答案：

练习一

1、

t=1s t= 4s

重叠部面积为9πcm

t=7s

t=16s

重叠部分面积为（93+6π）cm2 2、（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=90°,

∴AF、BP都是⊙O的切线,

又∵PF是⊙O的切线

∴FE=FA,PE=PB

∴四边形CDFP的周长为：

AD+DC+CB=2×3=6

(2 ) 连结OE,PF是⊙O的切线

∴OE⊥PF.在 Rt△AOF和Rt△EOF中,

∵AO=EO,OF=OF

∴Rt△AOF≌Rt△EOF ∴∠AOF=∠EOF,

同理∠BOP=∠EOP,∴∠EOF+∠EOP=1

2 180°=90°,∠FOP=90°

E

B

C D

A

O

即OF ⊥OP ，∴AF ·BP=EF ·PE=OE 2=1

(3 )存在。∵∠EOF=∠AOF,∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF,

∴当∠EFO=∠EHG=2∠EOF, 即∠EOF=30°时,Rt △EFO ∽Rt △EHG

此时,∠EOF=30°, ∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°∴BP=OB

·0tan60、 3.

4、解（1）如图3，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形。

∴PM ＝DC ＝12 ∵QB ＝16－t ，

∴S ＝12×12×(16－t)＝96－t （2）由图可知：CM ＝PD ＝2t ，CQ ＝t 。以B 、P 、

Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种

情况：

①若PQ ＝BQ 。在Rt △PMQ 中，22212PQ t =+，

由PQ 2＝BQ 2 得 22212(16)t t +=-，解得t ＝7

2； ②若BP ＝BQ 。在Rt △PMB 中，222(162)12BP t =-+。由BP 2＝BQ 2 得： 222(162)12(16)t t -+=- 即23321440t t -+=。

由于Δ＝－704＜0

∴23321440t t -+=无解，∴PB ≠BQ

B M C

D

Q 图3

③若PB ＝PQ 。由PB 2＝PQ 2，得222212(162)12t t +=-+

整理，得23642560t t -+=。解得1216163t t =

=，（不合题意，舍去） 综合上面的讨论可知：当t ＝7

1623t =

秒或秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。

（3）如图4，由△OAP ∽△OBQ ，得12

AP AO BQ OB == ∵AP ＝2t －21，BQ ＝16－t ，∴2(2t －21)＝16－t 。

∴t ＝585。 过点Q 作QE ⊥AD ，垂足为E ， ∵PD ＝2t ，ED ＝QC ＝t ，∴PE ＝t 。

在RT △PEQ 中，tan ∠QPE ＝123029QE PE t == （4）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 。如图5，

过点Q 作QE ⊥ADS ，垂足为E 。

由Rt △BDC ∽Rt △QPE ，得

DC PE BC EQ =，即121612t =。解得t ＝9 所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD 。

5、（1）如图1，连结OE 、OF 并延长分别交直线BC 于N 、Q 。

当点P 从点E 运动到点F 时，点K 从点N 运动到了点Q 。 ∵O 、E 分别为AD 、AB 的中点，∠A=90°，

C

Q

B 图5 C

Q B 图4