大学物理讲稿-第1章第二节

第1章 质点力学

§1.2 描述质点运动的坐标系

前面讲过,为了定量的描述物体的位置和位置随时间的变化,在参考系上还需要选择一个坐标系.下面介绍三种常用坐标系中的各物理量及其变化的表达式。

一、直角坐标系

位移 在直角坐标系中,位移可表示为

k

z j y i x k z z j y y i x x r ????)(?)(?)(?+?+?=-+-+-=?121212? (1.13) 位移的大小 222z y x r ?+?+?=?? 其方向由三个方向余弦确定.分别为：

r

z r y r x ?????=γ??=β??=αcos cos cos ,, 速度 由速度定义知,速度是位置矢量对时间的一阶导数。即 k dt

dz j dt dy i dt dx dt r d ?????++==υ (1.14) 加速度 由加速度定义有

k dt d j dt d i dt d dt

r d dt d a z y x ??????υ+υ+υ==υ=22 k a j a i a k dt

z d j dt y d i dt x d z y x ??????++=++=222222 (1.15) 二、平面极坐标系

位矢：对于位置矢量限制在一平

面上的情形,除了用平面直角坐标系

外,也可用平面极坐标系来描述.此时

质点的坐标为r 和θ.设θe e r ??和分别代

表径向和横向(同径向垂直指向θ角增加的方向)的单位矢量(如图所

示)(这里的θe e r ??和数量不变,等于1,但它们的方向均随质点所在位置而异,即与坐标有关)。

则质点的位置矢量可表示为

极点 极轴

)]([?)()(t e

t r t r r r θ==?? (1.16) 因为当质点在平面上运动时,随着坐标 的变化, 也随之改变方向,所以也成为时间t 的函数,位矢的极坐标分量成为

???θ=θ=)

()(t t r r 速度：根据速度定义有

dt

d d

e d r e r e r dt d r r r r θ?θ+===υ??)?(&&?? ???θ=υ=υ?θ+=θθ)

()(??横径&&&&r r e r e r r r (1.17) 式中r &是质点径向坐标对时间的变化率,即质点与原点距离的时间变化率.为横向速度,推导从略.

加速度：平面极坐标系中质点的加速度已超出普通物理的范畴,将在理论力学中学到.所以本书不予推导,只给出结论.平面极坐标系中的加速度也分为径向加速度和横向加速度,其分别为

径向加速度 2r θ-=&&&r r a

横向加速度 )(θ=θ+θ=θ&&&&&212r dt

d r r r a (1.18) 由上可以看出,在平面极坐标系中,加速度分量的表达式比较繁杂,不象直角坐标系中那么简单,但这并不等于解算力学中所有问题都要用直角坐标系才显得方便.在理论力学中关于有心力的讨论,平面极坐标系就比直角坐标系方便.

三、自然坐标系

在有些情况下,质点相对参考系的运

动轨迹是已知的,例如,以地面为参考系,火

车(视为质点)的运动轨迹(铁路轨道)是已

知的.这时可以轨迹上任一点M 的切线和

法线构成坐标系来研究平面曲线运动.这

种坐标系称为自然坐标系 ,如图所示.图中τ，n 分别代表切线和法线方向的单位矢量.显然,随着质点位置的改变,τ及n 的方向亦随之而变.因此,τ，n 与i ，j ，k 不同，前者的方向在运动中是可变的,而后者则是固定的.

运动方程 如图在轨道上任选定一点O 作为原点（或称为弧长起算点，原?O P )(t s τ

?n ??

点不一定是p 的初始位置），沿轨道规定一个弧长正方向（轨道上箭头示，不一定是p 运动的方向）。则可用O 至P 的轨道弧长s 来描述p 的位置。当p 随t 变位置时，s 是t 的标量函数。

)(t s s = (1.19)

这就是以自然坐标表示的质点运动学方程.

速度：在自然坐标系中,质点的速率[参见式(1.8)]可以通过对式(1.19)求导得到.于是,自然坐标系中的质点速度

τ=τυ=υ???dt

ds (1.20) 加速度：对式(1.20)求导,得质点在自然坐标系中的加速度

n dt s d dt d dt d dt d a ??????ρ

υ+τ=τυ+τυ=υ=222 (1.21) 这里用到 )??(n ds n d d ρ

=θ=τ? 式中右方第一项大小为质点在某一位置(某一时刻)速率的变化率,方向与切线方向平行,故称切向加速度,以τa 表示,第二项与前项垂直,即与n 同向,即方向为法向,故称法向加速度，用n a 表示。 所以，在自然坐标系中,质点的加速度的表达式为

n a a n dt s d a n ?????+τ=ρ

υ+τ=τ222 （1.22） 加速度的大小及方向与切线方向的夹角为：

???

????=α+=ττa a a a a n n arctan 方向大小2

2 （1.23） 从以上讨论可以看出,切向加速度给出了速度大小随时间的变化率;而法向加速度则反映了速度方向随时间的变化率.

四、角量与线量的关系

从§1.1节五小节容易看出,在dt 时间内,质点发生d θ角位移时,它所通过的路程 ds=r d θ (1.24a)

由质点的速度、切向及法向加速度(统称为线量)的定义得其大小分别为

????

?????ω=υ=β=υ=ω=θ==υτ2

2

r r a r dt d a r dt d r dt ds n (1.24b) 式(1.24a)、(1.24b)说明,质点的路程、速度及切向和法向加速度均与半径r 成正比.知道了角量,很容易算出相应的线量,反之亦然.

例1.2 一气球以速率0υ从地面上升,由于风的影响,随着高度的上升,气球的水平速度按by x =υ增大,其中b 是正的常量, y 是从地面算起的高度, x 轴取水平向右的方向.

(1) 计算气球的运动学方程;

(2) 求气球水平飘移的距离与高度的关系;

(3) 求气球沿轨道运动的切向加速度和轨道的曲率与高度的关系.

解 (1) 取平面直角坐标系oxy,令t=0时气球位于坐标原点(地面).

那么 t y 0υ=

而 t b by dt

dx 0υ== 或 tdt b dx 0υ= 对上式两边取定积分得：2

t b x 2

0υ= 气球的运动学方程为 j t 2

t b 020???υ+υ=i r (2) 由式消去t 得到轨道方程

20

y 2b x υ=

(3) 又因气球的运动速率

20222022022y 2x y b t b υ+=υ+υ=υ+υ=υ 所以气球的切向加速度

20

2202υ+υ=υ=τy b y b dt d a 而由2

2τ-=a a a n 和 20222222υ=υ+υ=+=b dt d dt d a a a y x y

x )()(

可算出 2

02220

υ+υ=y b b a n 再用n a =ρυ2

求得轨道曲率与高度的关系 20

2320222υυ+=υ=ρb y b a n /)( 例1.3 某点运动方程为bt e r ct =θ=, ,式中b 和c 都是常数,试求其速度和加速度.

解 br dt

d r cr c

e dt dr ct r =θ=υ===υθ, 2222c b r r +=υ+υ=

υθ r b c dt

d r dt r d a r )()(22222-=θ-= bcr dt

d dt dr dt d r a 2222=θ+θ=θ 2222222)()(bc b c r a a a r +-=+=θ

由此可以看出,在本问题中速度和加速度的计算用极坐标较方便.