数值天气预报习题

大气数值模式及模拟

（数值天气预报）

习题

第一章大气数值模式概论

1．试述原始方程组、全球模式、区域模式和非静力模式之间的区别。

2．试述天气模式、气候模式的主要区别？

3．区域气候模式、大气环流模式、中尺度模式、陆面模式、边界层模式各有什么特点？

第二章 大气运动方程组

1. 试证明球坐标系中单位矢量i 的个别变化率为

(sin cos )cos di u j k dt r ???

=- 2.试说明局地直角坐标系（即z 坐标系）中的运动方程与球坐标系中的运动方程有何异同？

3．用球坐标导出下面两个方程：

(s i n c o s )

c o s

d i u j k dt r ???=- t a n d j u v i k dt r r

?=-- 4.由热力学方程v dT d C p Q dt dt

α+=推导出如下方程： p dT C Q dt αω-= ()dp dt

ω= 式中v dT C dt

为单位质量理想空气内能的变化率，v C 为空气的定容比热，d p dt

α为可逆过程中单位质量非粘性气体在单位时间里膨胀所作的功。Q 为外界对单位质量空气的加热率。

第三章 数值计算方案

1. 什么是差分格式的收敛性和稳定性？二者之间有何关系？

2. 试证明一阶偏微商u x ??的三点差商近似式：

3(,)(,)213(,)4(,)(2,)22u u x x t u x t x x u x t u x x t u x x t x ?+?-??=??????

-++?-+???-?????

的截断误差为

2()O x ?。 3. 用中央差分将涡度方程

()()()l l u u u v l t x y x y

?Ω?Ω+?Ω+??++=-+????? 写成有限差形式。设(,)l l x y =，并取水平坐标步长为s δ，时间步长为t δ。

4. 分别对x 轴上的i+1和i+3格点，以d 和2d 为步长，写出一阶微商dF dx

的前差、后差和中央差的差分近似式，以及二阶微商22

d F dx 的二阶中央差分近似式。

第四章初始条件和边界条件

1. 赤道附近地转偏向力很小，地转关系不适用。请给出一个新的协调风场与气压场的静力初始化关系。

2. 简要地叙述动力初始化的基本思想，主要步骤。如何加速动力初始化过程？

3. 请说明海绵边界条件为何能吸收向外传播的波动能量。

4. 概括地叙述套网格预报的几种主要方法，套网格预报方法的优点，它们还存在什么问题？

第五章 斜压原始方程模式

1.试导出σ坐标系中的气压梯度力所做功的功率。

2.若不考虑地形作用0s

Φ=,试证明大气的绝对角动量cos (cos )M r u r ??=+Ω守恒：

*2cos 0p Mr d d d t ?λ?σ?=????

3．函数

[]01(,,,)cos ()l H x y t a uy a m x ct ny g

ζζ=-+-+ 这里01,,,r g u a a 和为常数，p 22=,,x y

m n P L L ππζ==，导出它满足准地转

斜压大气模式的预报方程 2212211(,)(,)H H

t m t

g H g H H H m H l

x l ζζζβζζζ?????+???????????=-?+-??????????? 这里常数l y

β?=?，2221()/a m R T v v gl ??=-?? 在此条件下有

2

1

222

1()(1)

m c u m m n r r β=-+-+ 4. 已知静力方程φ

απσ?=-?求证：

φσ

φαπσσ?=-?

第六章 斜压涡度方程谱模式

1. 在南、北极之间以??=0

5等距地取37个格点，试用ECMWF 所使用的递推关系式编制一个计算连带勒让德函数()m

n j P μ的程序（sin j j μ?=，

j =0,1,…,37; m=0,1,…,20;n=0,1,…,20）。

2. 试证明标准化得勒让德多项式

22()(31)

2P μμ=- 是在区间【-1，1】上关于权函数()1x ω=的正交多项式。

3. 试证明标准化得勒让德多项式的首项系数为

2()(1)

n

n

n n d P x x dx =-

第七章模式物理过程参数化

1. 边界层参数化中，何为显式方法？何为隐式方法？举例说明。

2. 试总结给出对边界层采用多层参数化时，各物理量的次网格尺度输送通量密度的主要表达式。

第八章资料同化基础

1. 请论述四维同化的必要性，扼要地介绍四维同化的几种主要方法。

2. 做一个Bratseth迭代最优插值以确定要得到满意的趋于OI的近似需要多少次迭代。

第九章大气数值模式及其模拟

1.试分析并对比说明

"

F F F

=+和'

F F F

=+两种分解方法处

理问题的异同。

2．试绘出WRF模式的计算流程图。

目录

简答题 (16)

1斜压模式和正压模式有何区别？ (16)

优点： (17)

缺点： (18)

名词解释：

1 数值天气预报在给定初始和边界条件下，通过数值方法求解大气运动方程组，即由已知初始时刻的大气状态，通过求解大气运动方程组的解，预报未来时刻大气状态的方程。

2 地图放大系数影像面上的距离与地球上相应的实际距离之比值。

3 模式大气实际大气包含各种时空尺度的气体运动，物理过程复杂多变，为使数值天气预报得以实现，在不失大气主要特征的前提下，将非常复杂的大气理想

化，这种简化后的大气模型所描述的大气称为模式大气。

4 差分格式的稳定性对于任意给定的初始条件和时间步长Δt等，随着积分步数的增长，差分解是否有界。

5 非线性计算不稳定非线性偏微分方程即使满足相应的线性稳定性判据，非线性差分方程可能会稳定地计算一段时间，但是随后计算结果突然迅速增长而产生计算不稳定现象，这种因非线性作用而产生的不稳定成为非线性计算不稳定。

6 柯朗条件CFL 保证线性计算稳定的充分条件，对于固定的网格距Δx，时间步长Δt与波动的传播速度c 成反比。

7 混淆误差差分方法中，原来的连续函数被离散为有限个点的函数值，它能描述的最小波长的波是2Δx 格距的波，非线性相互作用会不断产生波长小于2Δx 格距的波，这是网格系统会错误地将这种波表示成某一种波长大于2Δx格距的波，从而造成波的混淆，这样形成的误差称为混淆误差。

8 静立初始化（静处理）用一些一直的风压场平衡关系，或用运动方程等求的诊断方程来处理初值，使风场向气压场平衡或近似平衡的方法。

9 动力初始化（动处理）通过预报方程本身的特性，调整风压场达到近似的平衡，以致不含有明显虚假的重力惯性波的方法。

10 变分分析方法通过变分原理使初始资料在一定动力约束下调整，达到各种初始场协调一致的方法。

11 静力扣除法 坐标系虽然下边界简单，但是方程组中水平气压梯度力项变得复杂，而且形式上有一项变为两项；同时在坡度较大的地区，水平气压梯度力项比这两项的绝对值要小得多，成为两大项之间的一个小差。为减小山脉地区的计算误差，设法中两大项中扣除满足静力平衡关系的公共部分，使其变为量小项之代数和，从而提高精度。

12 水平侧边界条件分类固定边界条件法向速度为0的边界条件海绵边界条件外推边界条件对称反

对称边界条件

13 过滤模式垂直方向取静力近似可以滤去垂直声波，水平无辐散或地转近似的假定可以滤去重力波和

水平声波；这些滤波后的方程意味着对基本方程的简化，它们构成过滤模式。

14 大气数值模式进行气候数值模拟预测和天气预报的数学方案。或者说，对一定的模式大气，用以描述他的特征和运动规律的闭合方程组及其求解方法成为数值预报模式或大气模式。

15 地图投影误差的种类①距离误差：投影面上长度的放大活缩小倍数随地点或方向而改变②面积误差：投影面上面积的放大或缩小倍数随地点而改变③角度误差或形状误差：投影面上任意两条交线的夹角不等于地球上相应两条交线的夹角，或者说投影面上某一地理区域的形状与地球上相应区域的形状不相似。

16 平滑：用某点周围若干点的值进行加权平均来代替该点的值，经过这样处理的物理量场可以衰减或者滤掉短波分量。

17 响应函数平滑后的振幅与平滑前的振幅之比。

18 混合坐标系在模式大气中某一部分用一种坐标系，另一部分用另一种坐标系，两种坐标系之间通过垂直速度联系起来。

19 单向方案每个时间步长先制作粗网格预报，用它的预报值为细网格提供边界值，再制作细网格的预报。在粗、细网格预报时间步长不一致、或粗、细网格格点不相重合处，一般以内插方式求出细网格的值。

20 双向方案先做粗网格预报，为细网格提供边值；然后用细网格模式做预报，再把粗、细网格相重合点上的粗网格值用细网格值代替，去做粗网格预报。如此反复，直到预报终止时刻结束。

简答题

1斜压模式和正压模式有何区别？

①基本假定上：正压模式假设大气满足静力平衡，有自由面，是自动正压大气模型；斜压模式仅假定大气满足静力平衡，考虑大气斜压性，可以考虑温度平流，垂直运动。

②研究范围上：正压模式只研究大气某一层运动，斜压模式可研究大气的三维运动。

③差分格式上：正压模式仅考虑水平差分格式，斜压模式水平差分、垂直差分都要考虑。

④方程上：正压模式根据浅水方程组，没有考虑非绝热加热、摩擦、水汽方程；斜压模式根据 坐标通量方程组，考虑了非绝热加热、摩擦、水汽方程和温度扩散。

优点：

①对空间微商的计算精确，从而使得用谱方法估计的位相速度比一般差分法估计的要准确。

②对于二次型的非线性项的计算，消除了非线性混淆现象，可避免由此引起的计算不稳定。

③用谱方法展开求解球坐标下的控制方程组，不需要像有限差分法那样，对球面网格中的极点做特殊处理，因而特别适合于全球或半球模式。尤其是三角形阶段的球谐函数展开式，可以得到在整个球面均匀的水平分辨率，这是网格点发难以完全做到的。

④在谱模式中易于应用半隐式时间积分方案，其计算比网格点简单，可节省计算时间。

⑤谱方法能自动并彻底地滤去短波，效果比一般差分法中用平滑算子要好。

⑥由于在全球模式中通常选择球谐函数作为谱展开式的基函数，而球谐函数正好是球面上的拉普拉斯算子

的特征函数。所以在模式中计算 2p（P为正整数）型的水平扩散项非常方便。基于同样的理由，用谱方法解泊松方程或赫姆霍兹非常也特别方便，不需要进行迭代。

缺点：

①运算量和存储量均较大，对于计算机的存储和数据交换要求较高。特别当模式的水平分辨率提高时，谱方法的计算量比格点法增加地更快。

②对分布连续性较差的物理量，容易发生吉布斯现象，需要较大的谱分量才能表示。

③当m≠0时，在高纬度连带勒让德函数P m，n（μ）的值很小，用球谐函数展开地形高度，误差较大。

④制作有限区域或套网格预报，不如差分法灵活方便。

3 三角形截断和菱形截断

三角形截断的特点：

①三角形截断具有各向同性的性质。

②三角形截断能更好地描述平均纬向环流和超长波。

③从计算角度来看，三角形截断要比同样自由度的菱形截断计算量小一些。

菱形截断的特点：

①菱形截断具有各向异性的性质。

②菱形截断使低纬地区东西向的分辨率减少。

③菱形截断使高纬地区中等纬向波数的分辨率增加。

④菱形截断的计算量较大。

选择原则：

选择波数截断方式的原则应当是最充分地利用给定的自由度。也就是说在一定的计算量下获得最精确的计算结果；或者是在一定的精度要求下花费最小的计算量。当然，具体选择哪一种波数截断方式还有赖于我们所研究问题的性质和具有的计算机设备条件。

低分辨率采用菱形截断较好，中高分辨率采用三角形截断较好。对于中长期预报，采用三角形截断具有一定的优势。

4 如何克服非线性计算不稳定的方法

①进行空间或者时间平滑，滤去短波分量。

②在大气方程组中加入水平扩散项ν 2A，A为某一物理量，ν为扩散系数，扩散作用的大小由扩散系数ν来控制。

③构造具有隐式平滑或者某种选择性衰减作用的差分格式。

④构造能量守恒的差分格式，使差分方程尽可能保持连续系统的物理规律和能量关系。

5写出所谓“三步法”或“多步法”的积分公式。

6 试述显式（中央差分）与隐式差分格式各自的优缺点。

中央差分格式：

①数值计算简单

②由于计算解在奇数步和偶数步会出现发散的现象，因此格式不够稳定，需要在时间积分过程中附加时间和空间平滑措施。格式的计算精度高，格式涉及到三个时间层，有计算解。