2021-2022年高二数学下学期第4周周练试题

2021-2022年高二数学下学期第4周周练试题

一、填空题

1.【xx 高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .

2.【xx 高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,为的导函数,若 ,则a 的值为 ．

3．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a n ，a 2n )处的切线与x 轴交点的横坐标为a n ＋1，n ∈N *

，若a 1＝16，则a 3＋a 5＝________，数列{a n }的通项公式为________．

4．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．

5．等比数列{}a n 中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝__________.

6.【xx 高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.

7．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)＜f (3x )，则实数x 的取值范围是________．

8．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________．

9．已知直线y ＝mx (m ∈R )与函数f (x )＝

⎝ ⎛

2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x

，x ≤0，

12

x 2

＋1，x ＞0的图象恰有三个不同的公共

点，则实数m 的取值范围是________．

10．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，则a 的取值范围是________．

二、解答题

11.【xx高考四川，文21】已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.

(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.

12.【xx高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数

（I）求的单调区间;

（II）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;

数学答案

一、填空题

1.【答案】1

【解析】试题分析：∵，∴，即切线斜率，

又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2,7），∴，解得1.

考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数； 2.【答案】3【解析】因为 ,所以.

【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.

3．解析 k ＝f ′(a n )＝2a n ，切线方程为y －a 2n ＝2a n (x －a n )，令y ＝0，

得－a 2n ＝2a n (a n ＋1－a n )，即

a n ＋1a n ＝12.所以{a n }是首项为16，公比为1

2

的等比数列， 所以a n ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫

12n －1＝25－n ，a 3＋a 5＝5.

答案 5 25－n

4．解析 设P (t ，t 2

－ln t )，由y ′＝2x －1x ，得k ＝2t －1

t

＝1(t ＞0)，解得t ＝1.所以过点

P (1,1)的切线方程为y ＝x ，它与y ＝x －2的距离d ＝2

2

＝2即为所求．答案

2

5．解析 函数f (x ) 的展开式含x 项的系数为a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212，而f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝212＝4 096.答案 4 096 6.【答案】

【解析】()()(1)x x y f x xe f x x e '==⇒=+，令，此时

函数在其极值点处的切线方程为 【考点定位】：导数的几何意义.

7．解析 由f (x )＝ln x ＋2x

，得f ′(x )＝1

x

＋2x ln 2＞0，x ∈(0，＋∞)，

所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x 2＋2)＜f (3x )，得0＜x 2＋2＜3x ， 所以x ∈(1,2)．答案 (1,2)

8．解析 由题意，x ＝1是f ′(x )＝12x 2－2ax －2b 的一个零点，所以12－

2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6(a ＞0，b ＞0)，因此ab ≤⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622

＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．答案 9

9．解析 如图，可求得直线y ＝2x 与y ＝12x 2

＋1(x ＞0)的图象相切时恰有

两个不同的公共点，当m ＞2时，直线y ＝mx 与y ＝f (x )的图象恰有三个不

同的公共点．

答案(2，＋∞)

10．解析f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]．

当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；

当1－a2＜0时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－a2－1，x2＝a＋a2－1.由题意，知2＜a－a2－1＜3，①或2＜a＋a2－1＜3，②

①无解，②的解为5

4＜a＜

5

3

，因此a的取值范围为

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

5

4

，

5

3

.答案

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

5

4

，

5

3

二、解答题

11.【解析】(Ⅰ)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞) g(x)＝f '(x)＝2(x－1－lnx －a)

所以g'(x)＝2－

当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减

当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增

(Ⅱ)由f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx

令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx

则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0 于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0

令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)

由u'(x)＝1－≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增

故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1 即a0∈(0，1)

当a＝a0时，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0

再由(Ⅰ)知，f '(x)在区间(1，＋∞)上单调递增

当x∈(1，x0)时，f '(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0

当x∈(x0，＋∞)时，f '(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0

又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0