数学知识要点初一(下学期)

数学知识要点初一（下学期）

相交线与平行线

这部分内容大多数学校在初一上学期已经讲过了。当然，即使上学期学过了，大多学校会在开学时重新进行一下复习巩固。

从相交线和平行线这部分内容开始，就真正开始了初中几何的学习。刚开始很多学生会不习惯几何严密的逻辑证明过程，往往还保留着小学或是初一上学期解决几何问题时，只注重结果的思想。证明题的过程书写不规范是最大的一个问题。所以这部分内容学习的一个重点就是要慢慢培养学生规范的书写，千万不能只满足于题目会做或者会证明这个层次上。

从题型的角度来说，这部分内容主要有2个最为重点的题型：第一类题型就是结合相交线和平行线的性质去考察角度的计算问题，这是中考选择题中几乎每年都会考察的一类题型，需要重点的关注。解这类题一方面要学会灵活的应用相交线和平行线的一些性质，另一方面要掌握一些常见的几何模型，例如“M”角模型等等，这样可以快速准确的解题。

另一类题型就是和平行线相关的证明问题。学习这类题型要注意2点：一是刚才已经说过的对于书写过程的规范性的训练；二是做这类题型的主要目的，是训练学生对于平行线判定方法和平行线性质的深入理解和灵活应用，大家要注意，中考不会单独考察平行线的证明问题，一定会结合三角形或是四边形综合考察，其中涉及到的就是

平行线的判定和性质，所以在刚开始学习这类题目时，就要把握住这个大原则，千万不能就题论题。

平面直角坐标系

从学习平面直角坐标系开始，就进入到初中代数很重要的一个大的领域—函数这部分了。初中代数分为三大块：数与式、方程与不等式、函数。前两部分内容，学生在小学阶段都接触过相关的一些内容，所以学起来不会太陌生，上手比较快。但是对于函数的相关知识，学生很少接触过，所以刚开始学会速度慢一些，有时会感觉不太顺手，这些都是很正常的现象，学生和家长也不必过于担心。这其实也是一个好机会，因为大家都没太接触过，基本处于同一条起跑线，只要认真去学，其实是一次重新塑造自己的机会。函数这一大块又可以分为2大部分，一是平面直角坐标系，二是4大类具体的函数（一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数）。中考的重点在第二块内容，但是平面直角坐标系的内容，是学习整个函数的基础，它是我们研究具体函数的工具，再从长远一点说，它是学生高中学习平面解析几何和空间坐标系的基础，所以是很重要的，这一点大家一定要重视。

下面谈一下具体学这部分应该注意的问题。这一部分主要有3个必须要掌握的内容：1.平面直角坐标系的一系列基本概念，比如坐标轴、象限、点的坐标等等。内容不难，但希望刚开始学习时一定打下一个好的基础，学扎实了。2.坐标的对称。这个内容中有一个难点，就是某个点关于另一个点的对称点的求法，是需要学生下一点功夫研究一下的。3.坐标的平移。这部分希望在学习时真正理解平移的内涵，

灵活运用。比如说如果点不变，坐标轴平移了，怎么办？像这些问题都是需要灵活处理的。

除了这三部分课本规定的必学内容外，还有2个需要额外学习的，一是特殊直线的表示方法，二是距离。可能一些有经验的老师就会在课上直接给大家补充，如果不补充大家可以找一些课外辅导资料自己学习一下。因为这两部分虽然稍微难一些，但是对于深入理解平面直角坐标系的内容和为后续的一次函数打下基础都是很有好处的，所以希望大家学习一下。特殊直线的表示主要掌握6条特殊直线的表示：x轴、y轴、平行于x轴的直线、平行于y轴的直线、第一和第三象限的角平分线、第二和第四象限的角平分线。距离这部分掌握“点到特殊直线的距离”和“两点之间的距离”这两个内容即可。

三角形的边与角

三角形在初中几何中是由4大块组成：三角形的边与角、全等三角形、直角三角形（含勾股定理和三角函数）、相似三角形。初一下学期“三角形”这部分主要讲解三角形的一些基本概念和三角形的边与角。提醒大家注意的是，三角形可以说是整个初中几何的主线，中考80%以上的几何问题都是会涉及三角形的相关内容的，所以大家一定要引起足够的重视。

学生对于三角形是比较熟悉的，刚上手学应该比较快。三角形的边与角这部分对于学生而言主要有3个相对新的也是比较重要的内容：一是三角形三边之间的关系，当然绝不是只知道“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这么简单，里面会有很多变式，比

如第三边的范围，最长边、最短边与周长的关系等等，这些变式是考试要重点考察的。这些内容学校老师一般会补充一些，春季班我们也会给同学们讲解相关的内容；二是三角形的外角定理。三角形的外角定理本身不难，但是学生刚开始学不习惯用外角定理，总是利用三角形内角和以及平角的关系去求外角，这样就会降低解题速度。即使用了这个定理，也不够灵活，特别是在一些相对复杂的题目中就运用不熟练，这些需要经过一些题目的训练来逐渐掌握这个定理；三是三角形的三线段，即中线、角平分线、高。这3种线段在三角形中的扮演着举足轻重的角色。如果没有这3种线段，三角形本身就好比“光杆司令”一个，丧失了其活力。也就是因为有了这3种线段，三角形才能变幻出各种各样的题目。刚开始学重点是掌握这3种线段的一些基本性质即可，为后面的学习打下基础。

同时，希望大家能把等腰三角形作为一个专题拿出来系统研究一下。因为在很多三角形的题目中，往往是以等腰三角形为背景出的。等腰三角中有很多可以挖掘的东西，比如基础一点的内容，像两底角相等，再深入一点的，像“三线合一”性质等等，希望大家能够全面的总结一下，为后面遇到等腰三角形的问题铺平道路。

课本中在这一部分还讲到了多边形。一般来时，中考对于多边形的考察每年就是一道选择题或是一道填空题。这道题目围绕两个命题方向，一是多边形的基本知识，比如内角和公式等等。另一命题趋势是由于是多边形，边数不定，所以非常容易出找规律的问题，即把边数过渡到n条，问一些像有多少条对角线等等这一类的问题。所以

在刚开始学多边形时，就从这两个角度出发，一是掌握多边形的一些基本概念，另一个就是总结一些多边形规律性的东西，做一些找规律的题目，应该说就没有大的问题了。

二元一次方程组

方程是初中代数非常重要的内容。初一上学期同学们学习了一元一次方程。有了这个基础，再去学习二元一次方程组应该是比较轻松的。其实很多同学已经会解一般类型的二元一次方程组了。

面对这样一种情况，无论是否已经学过二元一次方程组的解法，需要强调的是，对于代入消元和加减消元这两种方法还是要进行大量的练习，很多学生存在眼高手低的问题，“一看就会解，一解就出错”，说明训练还不够。在保证基本类型能够准确熟练的完成这个前提下，还要学习两个内容：一是二元一次方程组的应用题。一元一次方程的应用题就让很多同学比较犯愁，这也是初一上学期最大的难点，现在又来了二元一次方程组的应用题，怎么办？我的观点是首先还是要克服解应用题的恐慌思想，树立信心。其次去研究不同类型的应用题的思路和解法，最终达到触类旁通的目的。当然应用题涉及的问题比较多，以后找个机会和大家详细交流一下，今天大概的说一下。除了应用题外，希望能够去学习一下一些特殊方程组的解法，比如倒数型的，系数互换型的等等，这些在寒假班也讲了一些，希望能够拿出来复习一下。

最后说一点，除了这些课本上的内容外，还希望大家能够学习一些不定方程的知识。不定方程不是一个重点内容，中考也不会单独

考察。但是往往在学习其它内容或是解某些题目时是会用到不定方程的内容，所以建议还是学一下。也不用掌握太多的东西，就是能够会解一些简单的不定方程即可，其它内容不用深究。

不等式与不等式组

不等式与不等式组是初一下学期的一个重点内容。学习这一部分可以把解不等式作为一个学习的主线。解不等式主要集中于两大类型：不含参量的不等式和含参量的不等式问题。不含参量的一元一次不等式可以类比于解一元一次方程去学习，只是在最后一步系数化为1时要注意，如果系数为负数，要注意变号。这是刚开始学解不等式最容易出错的地方。对于含参量的不等式，一定要学会“分类讨论”的思想，即对参量进行分类讨论后，转化成一般类型的不等式的解法。“分类讨论的思想”是初中代数中非常重要的一个内容，在后面学习的很多内容中比如一元二次方程等等，都会涉及这个问题，所以一定要重视。在掌握了不等式的解法后，不等式组的求解就相对简单了。

除了学会求解不等式这一核心问题外，还要掌握两类非常重要的题型：一是求含有参量的不等式中参量的值或范围问题。这类问题的特征是一般会给出我们含参的不等式或者不等式组和它们的解集，让我们求参量的范围或者具体值。解这类问题，还是要先带着参量去解不等式，然后去比较解出来的解集和题目给出的解集，由于两者是一致的，通过比较来确定参量的范围或求出参量的值。在求不等式组的参量范围的问题中，还往往要用到“数形结合”的方法。第二大类是题型是和不等式相关的应用性问题。比如说最值问题，比如说一些

实际的应用题等等。这些问题在寒假班已经给学生讲过一些，春季班还会继续深入的去给同学分析，希望大家给予重视。

数据的收集、整理与描述

数据的收集、整理与描述属于统计的内容。课改以后，为了使数学更加贴近生活、培养学生的多元知识体系以及进一步提高学生对数学的兴趣，概率与统计的内容进入了初中课本，改变了长期以来代数和几何两大部分统治初中课本的情况。但是，这部分内容毕竟很少也很简单，还不能和代数、几何相提并论。每年的中考对于这一大块的考察是非常明确的。就是“1大加2小”，即一道大题6分，考察统计的内容；两道选择题，每题4分，一道考察统计的内容，一道考察概率的内容。一共是14分。

概率与统计分为概率的初步知识和统计两大部分。概率的初步知识会在初三上学期学习。统计这部分以数据为主线，分为数据的收集、整理、描述、分析4大部分。初一下学习前三部分，初二学习数据的分析。

概率与统计本身是数学一个很大的分支。但是要和大家说的是，在初中阶段所学的概率与统计的内容只是一些最基础的知识，内容不多也很简单，同时很贴近生活，学起来相对比较轻松。就初一下这部分而言，大家重点是掌握一些统计的基本概念以及描述数据时所使用的4种常见图形即可。特别是条形图和扇形图，是这几年中考经常在大题中考察的，应给予特别关注。

全等三角形

如果说三角形是初中几何的核心，那么全等三角形就是核心中的核心。因为在初中涉及的三角形4大块内容中（在分析三角形的边与角时，给大家做过介绍），比较有难度的就是全等和相似两大部分。但是现在无论大纲的要求还是中考的要求，对于相似三角形部分在逐渐降低，中考考相似的内容现在也非常少。在这种背景下，全等三角形必然就成为了整个三角形内容体系中的核心。三角形虽然是初二上的内容，但是考虑到它的重要位置以及追赶进度的需要，北京几乎所有的学校都会把全等三角形放到初一下学期来讲。

全等三角形的知识体系本身其实并不多，就是性质和判定。性质就是4个量相等，即对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等。判定就是5条判定定理，即SSS、SAS、ASA、AAS、HL。内容虽然不多，但是由全等三角形变换出来的三角形相关的证明题可谓是五花八门。这些问题最重要的就是在考察学生两大块能力：一是灵活运用全等三角形的性质和判定的能力；二是应对全等三角形和其它几何问题综合考察的能力。

分析清楚了所要考察学生的主要能力后，那么在学习过程中就可以有的放矢。首先，在学习判定时，一定要彻底理解为什么这5条判定定理可以证明三角形全等，不要死记，对于容易出错的地方，比如SSA这样的错误，一定要自己记住一两个例子，这样就不容易犯错。其次，刚开始做相关的题目时，不要认为题目简单就不重视，一定要通过这些简单的题目，再去理解全等三角形的性质和判定。再次，后续学生会做一些难题，可能要添加辅助线，很多同学会很头大，感觉

没有思路，这也确实是几何证明题的一个难点，但是告诉大家，很多辅助线的添加是有一定方法的，比如说见到角平分线，如果在角的两边上见到垂线，则辅助线一般就是再做一条垂线，如果没有见到垂线，则辅助线一般就是截一段和某条已知线段相等的线段。这就是我经常给学生总结的“遇到角分线，看见垂线做垂线，不见垂线做截线”。学生既好记，又能很快的添加出相应的辅助线。像这些内容是要积累的。最后，要做好几何证明题，必须要多做一些题目，特别是那些经典的，非常好的题目，要反复的练，因为很多考试题往往就是从这些题目中改变或是组合而来的。当然，这需要老师做一些工作，给学生筛选出一些好题。春季班时，会拿出2节课给大家讲解全等三角形这一大块内容。

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