2012年北京市春季普通高中数学会考试题(含答案)

2012年北京市春季普通高中会考

数学试卷

第一部分 选择题(每小题3分,共60分)

在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合{}0,1,2M =,{}1,4B =,那么集合A B 等于( )

(A ){}1 (B ){}4 (C ){}2,3 (D ){}1,2,3,4 2.在等比数列{}n a 中,已知122,4a a ==,那么5a 等于( )

(A)6 (B)8 (C)10 (D)16 3.已知向量(3,1),(2,5)==-a b ,那么2+a b 等于( )

A.(-1,11)

B. (4,7)

C.(1,6) D (5,-4) 4.函数2log (+1)y x =的定义域是( )

(A) ()0,+∞ (B) (1,+)-∞ (C) 1,+∞()

(D)[

)1,-+∞ 5.如果直线30x y -=与直线10mx y +-=平行,那么m 的值为( )

(A) 3- (B) 13-

(C) 1

3

(D) 3 6.函数=sin y x ω的图象可以看做是把函数=sin y x 的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的1

2

倍而得到,那么ω的值为( ) (A) 4 (B) 2 (C) 1

2

(D) 3

7.在函数3y x =,2x y =,2log y x =,y =

中,奇函数的是( )

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(A) 3y x = (B) 2x y = (C) 2log y x = (D) y =

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8.11sin

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6π的值为( ) (A) - (B) 12- (C) 12 (D) 9.不等式2

3+20x x -<的解集是( )

A. {}

2x x > B. {}>1x x C.{}12x x << D. {}

1,2x x x <>或 10.实数lg 4+2lg5的值为( ) (A) 2 (B) 5 (C) 10 (D) 20

11.某城市有大型、中型与小型超市共1500个,它们的个数之比为1:5:9.为调查超市每日的零售额情况,需通过分层抽样抽取30个超市进行调查,那么抽取的小型超市个数为( )

(A) 5 (B) 9 (C) 18 (D) 20

12.已知平面α∥平面β,直线m ?平面α,那么直线m 与平面β 的关系是( )

A.直线m 在平面β内

B.直线m 与平面β相交但不垂直

C.直线m 与平面β垂直

D.直线m 与平面β平行

13.在ABC ?中,a =2b =,1c =,那么A 的值是( ) A .2π B .3π C .4π D .6

π

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14.一个几何体的三视图如右图所示,该几何体的表面积是( )

A .3π

B .8π

C . 12π

D .14π

15.当>0x 时,1

22x x

+

的最小值是( ) A . 1 B . 2 C

. D . 4

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16.从数字1,2,3,4,5中随机抽取两个数字(不允许重复),那么这两个数字的和是奇数的概率为( ) A . 4

5

B .

35 C . 25

D . 15 17.当,x y 满足条件1

0260y x y x y ≥??

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-≤??+-≤?

时,目标函数z x y =+的最小值是( )

(A) 2 (B) 2.5 (C) 3.5 (D)4

18.已知函数2,0,

(),0.

x x f x x x ?=?

-

如果0()2f x =,那么实数0x 的值为( )

(A) 4 (B) 0 (C) 1或4 (D) 1或-2

19.为改善环境,某城市对污水处理系统进行改造。三年后,城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨,那么污水排放量平均每年降低的百分率是( )

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(A) 50% (B) 40% (C) 30% (D) 20% 20.在△ABC 中, )BC BA AC AC +?=2||(,那么△ABC 的形状一定是( )

A. 等边三角形

B. 等腰三角形

C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形

第二部分 非选择题(共40分)

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一、填空题(共4个小题,每小题3分,共12分)

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21.已知向量(2,3),

(1,m ==a b ,且

⊥a b ,那么实数m 的值为 .

22.右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况

的茎叶图.那么甲、乙两人得分的标准差S 甲

S 乙(填<,>,=)

23.某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的a 的最大值

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为 .

24.数学选修课中,同学们进行节能住房设计,在分析气候和民俗后,设计出房屋的剖面图(如下图所示).屋顶所在直线的方程分别是1=

+32y x 和1

=+56

y x -,为保证采光,竖直窗户的高度设计为 1m 那么点A 的横坐标是 .

二、解答题:(共4小题,共28分) 25.(本小题满分7分)

在三棱锥P-ABC 中,侧棱PA ⊥底面ABC,AB ⊥BC,E,F 分别是BC,PC 的中点. (I)证明:EF ∥平面PAB; (II)证明:EF ⊥BC .

26.(本小题满分7分)

已知向量=(2sin ,2sin )x x a ,=(cos ,sin )x x -b ,函数()=+1f x ?a b . (I)如果1

()=

2

f x ,求sin 4x 的值; (II)如果(0,)2

x π

∈,求()f x 的取值范围.

27.(本小题满分7分)

已知图1是一个边长为1的正三角形,三边中点的连线将它分成四个小三角形,去掉中间的一个小三角形,得到图2,再对图2中剩下的三个小三角形重复前述操作,得到图3,重复这种操作可以得到一系列图形.记第n 个图形中所有剩下的.....小三角形的面积之和为n a ,所以去掉的.....三角形的周长之和为n b . (I) 试求4a ,4b ; (II) 试求n a ,n b .

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28.(本小题满分7分)

已知圆C 的方程是22+2+=0x y y m -.

(I) 如果圆C 与直线=0y 没有公共点,求实数m 的取值范围;

(II) 如果圆C 过坐标原点,直线l 过点P(0,) (0≤a ≤2),且与圆C 交于A,B 两点,对于每一个确定的a ,当△ABC 的面积最大时,记直线l 的斜率的平方为u ,试用含a 的代数式表示u ,试求u 的最大值.

参考答案:

1、B

2、C

3、B

4、B

5、A

6、B

7、A

8、B

9、C 10、A 11、C 12、D 13、B 14、B 15、B 16、B 17、A 18、D 19、B 20、C 21、2

3

-

; 22、> ;23、45;24、4.5; 25、(I)证明:∵E,F 分别是BC,PC 的中点,∴EF ∥PB .∵EF ?平面PAB,PB ?平面PAB,∴EF ∥平面PAB; (II)证明:在三棱锥P-ABC 中,∵侧棱PA ⊥底面ABC,PA ⊥BC .∵AB ⊥BC,

且PA ∩AB=A,∴BC ⊥平面PAB .∵PB ?平面PAB,∴BC ⊥PB .由(I )知EF ∥PB,∴EF ⊥BC . 26、(I )解:∵=(2sin ,2sin )x x a ,=(cos ,sin )x x -b ,∴()=+1f x ?a b 2=2sin cos 2sin +1x x x -

=sin 2cos 2x x +.∵1()=2f x ,∴1in 2cos 2=2x x +,∴11+2sin 2cos 2=4x x .∴1sin 4=4

x .

(II)解:由(I )知()=sin 2cos 2f x x x +2+2)22

x x 2cos +cos 2sin )44x x ππ

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(2+)4x π.∵(0,)2x π∈∴5<2+<444x πππ∴

x π

≤.

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∴()f x 的取值范围为(-.

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27、(I )解:457

=

,4=2568

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a b . (II)解:由图易知,后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的3倍,∴第n 个图形中剩下的三角形个数为13n -.又∵后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的

12倍,∴第n 个图形中每个剩下的三角形边长是1

1()2

n -,面积是

11)4n -.∴1

3)4

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n n a -. 设第n 个图形中所有剩下的小三角形周长为n c ,由图可知,=3n n c b -. 因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的

12倍,∴第n 个图形中每个剩下的三角形边长是1

1()2

n -,周长是113()2n -.∴13=3()2n n c -,从而13

=3=3()32

n n n b c ---. 28、(I )解:由22+2+=0x y y m -可得:22+1=1x y m --().∵22

+1=1x y m --()表示圆, ∴1>0m -,即<1m .又∵圆C 与直线=0y 没有公共点,∴1<1m -,即>0m . 综上,实数m 的取值范围是0<<1m .

(II)解:∵圆C 过坐标原点,∴=0m .∴圆C 的方程为22

+1=1x y -(),圆心C (0,1),半径为1. 当=1a 时,直线l 经过圆心C ,△ABC 不存在,故[0,1)(1,2]a ∈. 由题意可设直线l 的方程为=+y kx a ,△ABC 的面积为S .

则S=12|CA|·|CB|·sin ∠ACB=1

2

sin ∠ACB .∴当sin ∠ACB 最大时,S 取得最大值.

要使sin ∠ACB=

2π,只需点C 到直线l 的距离等于22.

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整理得22

=2(1)10k a --≥.解得12

a ≤-1+2a ≥.

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① 当2[0,1[1+,2]a ∈时,sin ∠ACB 最大值是1.此时22=24+1k a a -,即2=24+1u a a -.

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② 当2

(1(1,1+)22

a ∈-

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时,∠ACB (,)2ππ∈. ∵=sin y x 是(,)2

π

π上的减函数,∴当∠ACB 最小时,sin ∠ACB 最大.

过C 作CD ⊥AB 于D ,则∠ACD=1

2

∠ACB .∴当∠ACD 最大时,∠ACB 最小. ∵sin ∠CAD=

|CD|

||

CA =|CD|,且∠CAD (0,)2π∈,∴当|CD |最大时,sin ∠ACD 取得最大值,即∠CAD 最大.

∵|CD|≤|CP|,∴当CP ⊥l 时,|CD|取得最大值|CP|.

∴当△ABC 的面积最大时,直线l 的斜率=0k .∴=0u .

综上所述,22

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24+1,[0,1[1+,2]22=2

0, (1(1,1+22a a a u a ?-∈-

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????∈-??. i )2

[0,1[1+,2]22a ∈

-,2=24+1u a a -2=2(1)1a --,当=2a 或=0a 时,u 取得最大值1.

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ii )2

(1(1,1+)22

a ∈-,=0u .

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由i ),ii )得u 的最大值是1.

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