2012年北京市春季普通高中会考

数学试卷

第一部分 选择题（每小题3分，共60分）

在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知集合{}0,1,2M =，{}1,4B =，那么集合A B 等于（ ）

（A ）{}1 （B ）{}4 （C ）{}2,3 （D ）{}1,2,3,4 2．在等比数列{}n a 中，已知122,4a a ==，那么5a 等于( )

(A)6 (B)8 (C)10 (D)16 3．已知向量(3,1),(2,5)==-a b ，那么2+a b 等于（ ）

A.（－1,11）

B. （4,7）

C.（1,6） D （5,－4） 4．函数2log (+1)y x =的定义域是（ ）

(A) ()0,+∞ (B) (1,+)-∞ (C) 1,+∞（）

(D)[

)1,-+∞ 5．如果直线30x y -=与直线10mx y +-=平行，那么m 的值为（ ）

(A) 3- (B) 13-

(C) 1

3

(D) 3 6．函数=sin y x ω的图象可以看做是把函数=sin y x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的1

2

倍而得到，那么ω的值为（ ） (A) 4 (B) 2 (C) 1

2

(D) 3

7．在函数3y x =，2x y =，2log y x =，y =

中，奇函数的是（ ）

(A) 3y x = (B) 2x y = (C) 2log y x = (D) y =

8．11sin

6π的值为（ ） (A) - (B) 12- (C) 12 (D) 9．不等式2

3+20x x -<的解集是（ ）

A. {}

2x x > B. {}>1x x C.{}12x x << D. {}

1,2x x x <>或 10．实数lg 4+2lg5的值为（ ） (A) 2 (B) 5 (C) 10 (D) 20

11．某城市有大型、中型与小型超市共1500个，它们的个数之比为1：5：9．为调查超市每日的零售额情况，需通过分层抽样抽取30个超市进行调查，那么抽取的小型超市个数为（ ）

(A) 5 (B) 9 (C) 18 (D) 20

12．已知平面α∥平面β，直线m ?平面α，那么直线m 与平面β 的关系是( )

A.直线m 在平面β内

B.直线m 与平面β相交但不垂直

C.直线m 与平面β垂直

D.直线m 与平面β平行

13．在ABC ?中，a =2b =，1c =，那么A 的值是（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6

π

14．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的表面积是（ ）

A ．3π

B ．8π

C ． 12π

D ．14π

15．当>0x 时，1

22x x

+

的最小值是（ ） A ． 1 B ． 2 C

． D ． 4

16．从数字1,2,3,4,5中随机抽取两个数字（不允许重复），那么这两个数字的和是奇数的概率为（ ） A ． 4

5

B ．

35 C ． 25

D ． 15 17．当,x y 满足条件1

0260y x y x y ≥??

-≤??+-≤?

时，目标函数z x y =+的最小值是（ ）

(A) 2 (B) 2.5 (C) 3.5 (D)4

18．已知函数2,0,

(),0.

x x f x x x ?=?

-

如果0()2f x =，那么实数0x 的值为（ ）

(A) 4 (B) 0 (C) 1或4 (D) 1或－2

19．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造。三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（ ）

(A) 50% (B) 40% (C) 30% (D) 20% 20.在△ABC 中， )BC BA AC AC +?=2||（，那么△ABC 的形状一定是（ ）

A. 等边三角形

B. 等腰三角形

C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形

第二部分 非选择题（共40分）

一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）

21．已知向量(2,3),

(1,m ==a b ，且

⊥a b ，那么实数m 的值为 ．

22．右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况

的茎叶图．那么甲、乙两人得分的标准差S 甲

S 乙（填<,>,=）

23．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的a 的最大值

为 ．

24．数学选修课中，同学们进行节能住房设计，在分析气候和民俗后，设计出房屋的剖面图（如下图所示）．屋顶所在直线的方程分别是1=

+32y x 和1

=+56

y x -，为保证采光，竖直窗户的高度设计为 1m 那么点A 的横坐标是 ．

二、解答题：（共4小题，共28分） 25．(本小题满分7分)

在三棱锥P-ABC 中，侧棱PA ⊥底面ABC,AB ⊥BC,E,F 分别是BC,PC 的中点． (I)证明：EF ∥平面PAB; (II)证明：EF ⊥BC ．

26．(本小题满分7分)

已知向量=(2sin ,2sin )x x a ，=(cos ,sin )x x -b ，函数()=+1f x ?a b ． (I)如果1

()=

2

f x ，求sin 4x 的值； (II)如果(0,)2

x π

∈，求()f x 的取值范围．

27．(本小题满分7分)

已知图1是一个边长为1的正三角形，三边中点的连线将它分成四个小三角形，去掉中间的一个小三角形，得到图2，再对图2中剩下的三个小三角形重复前述操作，得到图3，重复这种操作可以得到一系列图形．记第n 个图形中所有剩下的．．．．．小三角形的面积之和为n a ，所以去掉的．．．．．三角形的周长之和为n b ． (I) 试求4a ，4b ； (II) 试求n a ，n b ．

28．(本小题满分7分)

已知圆C 的方程是22+2+=0x y y m -．

(I) 如果圆C 与直线=0y 没有公共点，求实数m 的取值范围；

(II) 如果圆C 过坐标原点，直线l 过点P(0，) (0≤a ≤2)，且与圆C 交于A,B 两点，对于每一个确定的a ，当△ABC 的面积最大时，记直线l 的斜率的平方为u ，试用含a 的代数式表示u ，试求u 的最大值．

参考答案：

1、B

2、C

3、B

4、B

5、A

6、B

7、A

8、B

9、C 10、A 11、C 12、D 13、B 14、B 15、B 16、B 17、A 18、D 19、B 20、C 21、2

3

-

； 22、＞ ；23、45；24、4.5； 25、(I)证明：∵E,F 分别是BC,PC 的中点，∴EF ∥PB ．∵EF ?平面PAB,PB ?平面PAB,∴EF ∥平面PAB; (II)证明：在三棱锥P-ABC 中，∵侧棱PA ⊥底面ABC,PA ⊥BC ．∵AB ⊥BC,

且PA ∩AB=A,∴BC ⊥平面PAB ．∵PB ?平面PAB,∴BC ⊥PB ．由（I ）知EF ∥PB,∴EF ⊥BC ． 26、（I ）解：∵=(2sin ,2sin )x x a ，=(cos ,sin )x x -b ，∴()=+1f x ?a b 2=2sin cos 2sin +1x x x -

=sin 2cos 2x x +．∵1()=2f x ，∴1in 2cos 2=2x x +，∴11+2sin 2cos 2=4x x ．∴1sin 4=4

x ．

(II)解：由（I ）知()=sin 2cos 2f x x x +2+2)22

x x 2cos +cos 2sin )44x x ππ

(2+)4x π．∵(0,)2x π∈∴5<2+<444x πππ∴

x π

≤．

∴()f x 的取值范围为(-．

27、（I ）解：457

=

,4=2568

a b ． (II)解：由图易知，后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的3倍，∴第n 个图形中剩下的三角形个数为13n -．又∵后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的

12倍，∴第n 个图形中每个剩下的三角形边长是1

1()2

n -，面积是

11)4n -．∴1

3)4

n n a -． 设第n 个图形中所有剩下的小三角形周长为n c ，由图可知，=3n n c b -． 因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的

12倍，∴第n 个图形中每个剩下的三角形边长是1

1()2

n -，周长是113()2n -．∴13=3()2n n c -，从而13

=3=3()32

n n n b c ---． 28、（I ）解：由22+2+=0x y y m -可得：22+1=1x y m --（）．∵22

+1=1x y m --（）表示圆， ∴1>0m -，即<1m ．又∵圆C 与直线=0y 没有公共点，∴1<1m -，即>0m ． 综上，实数m 的取值范围是0<<1m ．

(II)解：∵圆C 过坐标原点，∴=0m ．∴圆C 的方程为22

+1=1x y -（），圆心C （0,1），半径为1． 当=1a 时，直线l 经过圆心C ，△ABC 不存在，故[0,1)(1,2]a ∈． 由题意可设直线l 的方程为=+y kx a ，△ABC 的面积为S ．

则S=12|CA|·|CB|·sin ∠ACB=1

2

sin ∠ACB ．∴当sin ∠ACB 最大时，S 取得最大值．

要使sin ∠ACB=

2π，只需点C 到直线l 的距离等于22．

整理得22

=2(1)10k a --≥．解得12

a ≤-1+2a ≥．

① 当2[0,1[1+,2]a ∈时，sin ∠ACB 最大值是1．此时22=24+1k a a -，即2=24+1u a a -．

② 当2

(1(1,1+)22

a ∈-

时，∠ACB (,)2ππ∈． ∵=sin y x 是(,)2

π

π上的减函数，∴当∠ACB 最小时，sin ∠ACB 最大．

过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ACD=1

2

∠ACB ．∴当∠ACD 最大时，∠ACB 最小． ∵sin ∠CAD=

|CD|

||

CA =|CD|,且∠CAD (0,)2π∈，∴当|CD |最大时，sin ∠ACD 取得最大值，即∠CAD 最大．

∵|CD|≤|CP|,∴当CP ⊥l 时，|CD|取得最大值|CP|．

∴当△ABC 的面积最大时，直线l 的斜率=0k ．∴=0u ．

综上所述，22

24+1,[0,1[1+,2]22=2

0, (1(1,1+22a a a u a ?-∈-

????∈-??． i ）2

[0,1[1+,2]22a ∈

-，2=24+1u a a -2=2(1)1a --,当=2a 或=0a 时，u 取得最大值1．

ii ）2

(1(1,1+)22

a ∈-，=0u ．

由i ），ii ）得u 的最大值是1．