北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形 压轴题复习练习题

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形压轴题复习练习题

1、在矩形ABCD中，4

AB=，6

AD=，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN PQ

⊥交射线BC于N点．

（1）若点N在BC边上时，如图1．

①求证：PN QN

=；

②请问PM

PN

是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；

（2）当PBN

?与NCQ

?的面积相等时，求AP的值．

2、折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸．

实践操作

如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B'落在矩形ABCD所在平面内，B C'和AD相交于点E，连接B D'．

解决问题

（1）在图1中，①B D'和AC的位置关系是；②将AEC

?剪下后展开，得到的图形是；（2）若图1中的矩形变为平行四边形时()

AB BC

≠，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）在图2中，若30o

B

∠=，AB=AB AD

'⊥时，BC的长度为．

3、如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A

重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF EG

=；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过

点B，其他条件不变，若AB a

=，BC b

=，请直接写出EF

EG

的值．

4、如图，在矩形ABCD中，6

AB=，4

BC=，动点Q在边AB上，连接CQ，将BQC

?沿CQ 所在的直线对折得到CQN

?，延长QN交直线CD于点M．

（1）求证：MC MQ

=

（2）当1

BQ=时，求DM的长；

（3）过点D作DE CQ

⊥，垂足为点E，直线QN与直线DE交于点F，且

1

3

DF

DE

=，求BQ

的长．

5、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，6

AD=，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程27120

x x

-+=的两个根，且OA OB

>．

（1）求A、B的坐标．

（2）求证：射线AO是BAC

∠的平分线．

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为

顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F 点的坐标，若不存在，请说明理由．

6、如图1，点M 放在正方形ABCD 的对角线AC （不与点A 重合）上滑动，连结DM ，做MN DM ⊥交直线AB 于N ．

（1）求证：DM MN =；

（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2)，且2DC AD =，求:MD MN ； （3）在（2）中，若CD nAD =，当M 滑动到CA 的延长线上时（如图3)，请你直接写出:MD MN 的比值．

7、阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发 现：当0a >，0b >时，

2(0a b a b -=-

2a b ab ∴+，当且仅当a b =时取等号 请利用上述结论解决以下问题： （1）请直接写出答案：当0x >时，1x x +

的最小值为 ．当0x <时，1

x x

+的最大值为 ； （2）若2710

1

x x y x ++=+，(1)x >-，求y 的最小值；

（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ?、COD ?的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．

8、如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE BC ⊥，垂足为点E ，GF CD ⊥，垂足为点F ． （1）证明与推断：

①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：

AG

BE

的值为 : （2）探究与证明：

将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角(045)α?<

）拓展与运用：

正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG

交AD 于点H ．若6AG =，GH =BC = ．

9、（1）如图1，将直角的顶点E 放在正方形ABCD 的对角线AC 上，使角的一边交CD 于点

F ，另一边交CB 或其延长线于点

G ，求证：EF EG =；

（2）如图2，将（1）中的“正方形ABCD ”改成“矩形ABCD ”，其他条件不变．若AB m =，

BC n =，试求

EF

EG

的值； （3）如图3，将直角顶点E 放在矩形ABCD 的对角线交点，EF 、EG 分别交CD 与CB 于点F 、G ，且EC 平分FEG ∠．若2AB =，4BC =，求EG 、EF 的长．

10、在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M，N分别在边AB，CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.

（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；

（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；

（3）请写出线段CP的长的取值范围，并求出当CP的长最大时MN的长.

11、【阅读】如图1，四边形OABC中，OA＝a，OC＝3，BC＝2，

∠AOC＝∠BCO＝90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．

【理解】

若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，3]；

【尝试】

（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；

（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围．

12、如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI 恰好为正方形．

（1）求正方形DFGI的边长；

（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？

（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长．

13、操作探究：

数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：

探究：

（1）若∠1＝70°，∠MKN ＝ °；

（2）改变折痕MN 位置，△MNK 始终是 三角形，请说明理由； 应用：

（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK 的面积时，发现KN 边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN 的面积最小值为，此时∠1的大小可以为 °

（4）小明继续动手操作，发现了△MNK 面积的最大值．请你求出这个最大值．

14、问题背景：如图（1），在四边形ABCD 中．若BC ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，则AC 平分∠BAD ．小明为了证明这个结论，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，请帮助小明完成他的作图．

迁移应用：如图（2），在五边形ABCDE 中，∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ，BD 平分∠CDE ，求证AE +CD ＝DE ．

联系拓展：如图（3），在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，若点D 满足AD ＝

17

16

AB ，BD ＝AB ，点P 是AD 的中点，直接写出的值．

15、如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为，点D的坐标为（用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．