高中数学复习典型题专题训练112---超几何分布

高中数学复习典型题专题训练112

几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量X 的分布列为

X 1 0 P p q

其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．

X 1

P 0.8 0.2

两点分布又称01-布又称为伯努利分布．

⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为

C C ()C m n m

M N M

n N

P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．

我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，

M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．

⑶二项分布

1．独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为

()C (1)k k n k

n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ． 2．二项分布

若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复

知识内容

超几何分布

试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k

n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到

由式

001110

()C C

C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++L L

各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．

二项分布的均值与方差：

若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则

()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．

⑷正态分布

1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，

直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22

()2()x f x μσ--=

，

x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．

式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望

为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：

①正态变量在区间(,)μσμ

σ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．

②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-

+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．

⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()x

F x P x f t dt ξ-∞

==?≤为概率分布

函数，特别的，2

~(01)N ξμσ-，，称2

2()t x x dt φ-=?为标准正态分布函数． ()()x P x μ

ξφσ

-<=．

标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．

分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．

典例分析

【例1】一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，则取到新球的个数的期望值是．

【例2】某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试，每题分数为20分，求他得

分的期望值．

【例3】以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．

【例4】在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．求ξη

，的期望值及方差．

【例5】某人可从一个内有2张100元，3张50元的袋子里任取2张，求他获得钱数的期望值．

【例6】某人有一张100元与4张10元，他从中随机地取出2张给孙儿、孙女，每人一张，求孙儿获得钱数的期望值．

【例7】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中

女生的人数．

⑴求X的分布列；

⑵求X的数学期望与方差；

⑶求“所选3人中女生人数1

X≤”的概率．

【例8】甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行

测试，至少答对2题才算合格．

⑴求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差；

⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

【例9】一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，

得到黑球的概率是2

5

；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是

7

9

．

⑴若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，求得到白球的个数的数学期望；

⑵求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7

10

．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．