线性系统理论(能控性判据)

采用反证法。反设Wc [t0 , t1 ] 为奇异，即反设状态空间中至少存在一个非零 状态
T x x ，使成立： 0 Wc [0, t1 ]x0 0 0
基此，可进而导出：
T T At 0 x0 Wc [0, t1 ]x0 t01 x0 e BB T e A t x0 dt
T
t01 [ BT e A t x0 ]T [ BT e A t x0 ]dt
结论 4.5
对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系 统完全能控的充分必要条件是对状态矩阵线性非奇异变换导出的 约当规范形中矩阵B中不包含零行向量。（4.50）
结论 4.6
对n维线性时不变系统，若A为约当阵，特征值有重根系统完全能 控的充分必要条件是： 对应特征值相同的各约当小块最后一行对应的B阵各行向量线性 无关。（4.57）
1 ( RC) 2 1 ( RC) 2
n2
其中，R和C可取任意有限值。通过计算得到
1 RC Qc B AB 1 RC
Cduc dt Cdx1 u x1 R dt u x1 1 x RC ic
容易判定， rank Qc =1<2=n。据秩判据知，系统不完全能控。


再据凯莱-哈密尔顿定理知，An，An+1，…均可表示为I，A，A2， An-1的线性组
T i 合。基此，上式进一步扩展为 A B 0, i 0,1,2,
于是，对任意t1>0，可得
1 1 0 T I At A2t 2 A3t 3 B T e At B, t 0, t1 2! 3!
将上式对t求导直至(n-1)次，再在导出结果中令t=0，得
T B 0, T AB 0, T A2 B 0,, T An 1B 0
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
B AB A B A B Qc 0 进而，表上述关系式组为 基此，并由α≠0，可知Qc行线性相关，即rank Qc <n，与题设矛盾，所以系统
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
内容简介
第一部分
格拉姆矩阵判据
第二部分
秩判据
PBH判据（PBH秩判据、特征向量判据）
第三部分
第四部分
约当规范形判据
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
格拉姆矩阵判据
考虑连续时间线性时不变系统，状态方程为
Ax Bu x(0) x0 x
T 2 n 1 T


完全能控。充分性得证。 必要性 已知系统完全能控，欲证rank Qc =n
反证法。设rank Qc <n，即Qc行线性相关。这意味着状态空间中至少存在一
个非零状态α，使成立： T Qc T B AB A2 B An1B 0
T i 可导出 A B 0, i 0,1,n 1
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
于是，基于上式可导出
0
T
这意味着，格拉姆矩阵Wc [t0 , t1 ] 奇异，即系统不完全能控。与已知矛盾，反 设不成立，必有rank Qc =n。必要性得证。证明完成。

t1
0
e At BBT e A t dt TWc 0, t1
出，对连续时间线性时不变系统系统，有
系统完全能控 Wc[0，t1]非奇异 系统完全能达 这就表明，对连续时间线性时不变系统，能控性
等价于能达性。因此，本节给出的相对于能控性的判
据均可适用于能达性。
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
秩判据
结论 4.2
对n 维连续时间线性时不变系统（4.7），系统完全能控的充 分必要条件为能控性判别矩阵
（例 4.10 略讲）
感谢关注
THANK YOU FOR YOUR ATTENTION
结论 4.10
多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且
rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：
n r rankQ rank [ B , AB , A B] n nr 1
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
结论 4.11
多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p， 且rankB=r,将Qμ表为
T
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
例 4.5
u(t) C x1 R
据所示电路，定出状态方程为
R
x2
C
1 1 RC x x 2 0
1 0 x 1 RC u, 1 1 x 2 RC RC
即rankQ c=n
Qc [B, AB, A2 B, An1 B]
满秩，
证 充分性
已知rankQc ，欲证系统完全能控。
采用反证法，设系统不完全能控，则据格拉姆矩阵判据知，格拉姆矩阵为非奇异。 这意味着状态空间中至少存在一个非零状态α，类似结论4.1中必要性证明过程可得
T e At B 0, t [0, t1 ]
t 0
（4.7）
其中，x为n维状态，y为q维输出，A(t)和B(t)为n×n和n×p常值矩阵 结论 4.1
连续时间线性时不变系统（4.7）为完全能控的充分必要条件是，
存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵

Wc [0, t1 ] e
0
t1
At
BB e
T AT t
dt
为非奇异。
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
0 x(t1 ) e x0 e At1 e At Bu(t )dt
At1 0
t1
基此，可进而导出：
x0 e At Bu(t )dt
0
t1
x0
2
t1 At T T AT t x0 x0 e Bu(t )dt x0 u (t ) B e x0 dt 0 0 T t1
2
T


从而可进一步得 x0
0 即 x0 0
与题设相矛盾，从而证得 Wc [t0 , t1 ] 非奇异，必要性得证。证 明完成。
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
运用格拉姆矩阵判据的类同推证过程可以证明， 对连续时间线性时不变系统系统，“Wc[0，t1]非奇异” 同样也是“系统完全能达”的充要条件。据此可以导
(例 4.7) 结论 4.4
n 维连续时间线性时不变系统（4.7）完全能控的充分必要条件为：
矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有
特征值λ i，使同时满足α TA= λi α α T=0。
T ，
α TB=0 的左特征向量
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
约当规范形判据
关列，且不妨令为b1 , b2 ,, br ，再将按次搜索方式得到的n个线性无关列重新排
1 列为 b1, Ab b1; b2 , Ab2 ,, A 1b2 ;; br , Abr ,, A 1br ; 1 ,, A
其中 1 2 r n 则 max1, 2 ,, r 且称 1 , 2 ,, r 为系统的能控性指数集。
2 2 2 Q b1, b2 ,, bp Ab A 1b1, A 1b2 ,, A 1bp 1, Ab 2 ,, Abp A b 1, A b2 ,, A bp


并从左至右依次搜索Qμ的n个线性无关列，即若某个列不能表成ຫໍສະໝຸດ Baidu左方各线性独 立列的线性组合就为线性无关，否则为线性相关。考虑到B中有且仅有r个线性无
证 充分性 已知 Wc [t0 , t1 ] 为非奇异，欲证系统完全能控。设x0为状态空间中任
意 非零状态。 构造控制输入
At1
u(t ) B e
T
t1 t0
AT t
Wc [0, t1 ]x0 , t [0, t1 ]
1
x(t1 ) e x e A( t1 t ) Bu(t )dt e x0 e { e
结论 4.7
结论 4.8
n n r 1 p
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
结论4.8证明 结论 4.9
对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输
入维数为p，设rankB=r， n 为矩阵A的最小多项式次数，则能控性
指数满足
n min[n , n r 1] p
T T

t1 0
B e
T AT t
x0 dt
2
表示所示向量的范数，而范数必为非负，于是，只能有 其中，
BT e A t x0 0, t [0, t1 ]
T
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
另一方面，由系统完全能控知，状态空间中所有非零状态均可找到相应的输 入u(t)使成立：
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
PBH判据
结论 4.3
n 维连续时间线性时不变系统（4.7）完全能控的充分必 要条件为： 或
rank[ sI A, B] n s C
rank[i I A, B] n i 1,2,....,n
其中，C为复数域，λi为系统特征值。
At1 At1 t0 t1 At
BB e
1
T
AT t
dt} Wc [0, t1 ]x0
1
e At1 x0 e At1Wc [0, t1 ]Wc [0, t1 ]x0 e At1 x0 e At1 x0 0
说明系统是能控的
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
必要性 已知系统完全能控，欲证 Wc [t0 , t1 ] 为非奇异。
例题4.9
4.2 连续时间线性时不 变系统的能控性判据
能控性指数
Qk [B, AB, Ak 1 B] 当k=n时，Qk为能控性判别矩阵
定义 4.10
对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：
μ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k。
对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则 系统能控性指数μ＝n。 对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维 数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足