最新微分几何测试题集锦(含答案)
微分几何测试题集锦
(含答案)
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16
《微分几何》测试题（一）
一．填空题：（每小题2分，共20分）
⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。
⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切
方向的曲线为平面曲线
⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由
,αβ确定的平面
是曲线在P 点的___密切平面__________。
⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()
r t 点的法平面方
程是__________________________。
⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对
应的点处其挠率
(1)τ=_ -2_____。
⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _
⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲
率与挠率的比是___常数_________________。
⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是
_____________________。
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）
11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是
___C___。
A 、 直线
B 、平面曲线
C 、球面曲线
D 、圆柱螺
线
12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列
式子___A___不正确。
A 、2r r k r '''?='
B 、3r r k r '''
?=' C 、k r = D 、()
()2r r r r r τ''''''='''?
13、对于曲面的第一基本形式
2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。
A 、0>
B 、0<
C 、0≤
D 、0≥
三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）
21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求
⑴ 在点0,1,2π??
???的切线和法平面。
⑵ 曲率和挠率。
22、对于圆柱面{}:cos ,sin ,r u ρθρθ∑=，试求
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16
⑴ ∑的第一、第二基本形式；
⑵ ∑在任意点处沿任意方向的法曲率；
⑶ ∑在任意点的高斯曲率和平均曲率；
⑷ 试证∑的坐标曲线是曲率线。
《微分几何》测试题（二）
一．单项选择题（2×10=20分）
1．若向量函数)(t r r =的终点在通过原点的一条直线上，则
( )
A ． )(t r '是定长的； B. )(t r '是定向的；
C ． 1)(='t r ； D. 2)('=t r .
2．对于向量函数)(t r ，若)(t r ⊥)(t r '，则( )
A ．)(t r 是定长向量； B.)(t r '定长向量；
C ．)(t r 是定向向量； D.)(t r '是定向向量.
3．设b a ,均为非零向量，且0=ab ，则（ ）
Ａ.b a ,线性相关； Ｂ.b a ,线性无关；
Ｃ.a 可以由b 线性表示； D.b 可以a 由线性表
示.
4．挠率,0=τ曲率2=k 的曲线是( )
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16
A ． 半径为4的圆； B.半径为4
1
的圆；
C ．半径为2的圆； D.半径为21的圆. 5．空间曲线的形状由( )决定
A ． 由曲率和挠率； B. 仅由曲率；
C ． 仅由挠率； D. 由参数的选取.
6．曲率是常数的曲线( )
A ． 一定是直线； B. 一定是圆；
C ． 一定是球面上的曲线； .答案A,B,C 都
不对.
7．设S 是球面， 则( )
A ． S 上每一点是双曲点； B. S 上每一点是抛物
点；
C ． S 上的圆的β指向球心； D. S 上的测地线的β
指向球心.
8．若曲面S 在每一点的高斯曲率为4
1，则它可以与半径为
( )
的球面贴合
A ． 21
； B. 2； C. 41； D. 4.
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16
9．圆柱螺线}{bt asint,acost,=r 在任一点的切线与z 轴的夹角
α( )
A ． 为； 90 B. 0； C. 与t 有关； D. 与
b 有关.
10．设非直线的曲线C 是曲面S: )(v u,r r =上的测地线，则有
( )
A. C 在每一点β∥n ;
B. C 在每一点β⊥n ;
C. C 在每一点γ∥n ;
D. C 在每一点n ⊥γ .
一． 判断题（2×10=20分）
1．向量函数r r =()t 满足()()()()0,='?t t dt,t r r r ，则必有一常向量
a ，满足a ⊥r ()t .
2．如果曲线 C: r r =()t 的所有向径共面，则r '()t 必与某一固
定向量垂直.
3．曲线的形状只由曲率和挠率决定.
( )
4．直纹面上的直母线一定是曲率线.
（ ）
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 5．若曲面S 与一个半径为R 的球面沿一个半径为()R r 0r ≤<的
圆C 相切，则C 是S 上的测地线.
6．如果两个曲面S 1与S 2之间的一个对应关系， 使得它们在
对应点有相同的高斯曲率，则S 1与S 2 等距等价.
7．设曲面S ：r =r ()v u,, 如果F :M E :L =,则v —线是曲率线.
（ ）
8．设曲面S ：r =r ()v u,，如果G :F :E N :M :L =，则曲面上的
所有曲线都是曲率线.
9． 曲面上任意两点的连线中，测地线段最短.
（ ）
10．球面上的曲率线是大圆.
（ ）
二． 计算题（10×4=40分）
1．求曲线C ：r ={}32ct ,bt at,｝上在0=t 处的密切面方程.
2．已知曲线C ：r =()s r （s 是弧长参数）的曲率和挠率分别是
κ和τ,且τ是不为零的常数，求曲线C ：
r =ds )s ()s (?-γβτ
1的曲率和挠率. 3．求曲面 2xy z =上的渐近线.