2015年天津市高考数学试卷答案与解析

2015年天津市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015?天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩?U B=（）

A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}

考

点：

交、并、补集的混合运算．

专

题：

集合．

分

析：

求出集合B的补集，然后求解交集即可．

解答：解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，?U B={2，5}，又集合A={2，3，5}，

则集合A∩?U B={2，5}．

故选：B．

点本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．

评：

2．（5分）（2015?天津）设变量x，y 满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）

A．7B．8C．9D．14

考

点：

简单线性规划．

专

题：

不等式的解法及应用．

分

析：

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z=3x+y得y=﹣3x+z，

平移直线y=﹣3x+z，

由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．

由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．

即目标函数z=3x+y的最大值为9．

故选：C．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

3．（5分）（2015?天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）

A．2B．3C．4D．5

考

点：

循环结构．

专

题：

图表型；算法和程序框图．

分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．

解

答：

解：模拟执行程序框图，可得

S=10，i=0

i=1，S=9

不满足条件S≤1，i=2，S=7

不满足条件S≤1，i=3，S=4

不满足条件S≤1，i=4，S=0

满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．

点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．

4．（5分）（2015?天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考

点：

充要条件．

专

简易逻辑．

题：

分

求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．析：

解

解：∵|x﹣2|＜1，

答：

∴1＜x＜3，

∵“1＜x＜2”

∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不

必要条件．

故选：A

本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．

点

评：

5．（5分）（2015?天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）

A．﹣=1B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣=1

考

点：

双曲线的简单性质．

专

题：

计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得

，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．

解

答：

解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，

∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，

∴，

∴b=a，

∵焦点为F（2，0），

∴a2+b2=4，

∴a=1，b=，

∴双曲线的方程为x2﹣=1．

故选：D．

点评：本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．

6．（5分）（2015?天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）

A．B．3C．D．

考

点：

与圆有关的比例线段．

专

题：

选作题；推理和证明．

分

析：

由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．

解

答：

解：由相交弦定理可得CM?MD=AM?MB，

∴2×4=AM?2AM，

∴AM=2，

∴MN=NB=2，

又CN?NE=AN?NB，

∴3×NE=4×2，

∴NE=．

故选：A．

本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．

点

评：

7．（5分）（2015?天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）

A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a

考

对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．

点：

专

函数的性质及应用．

题：

分

根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．析：

解解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，

答：∴f（﹣x）=f（x），

m=0，

∵f（x）=2|x|﹣1=，

∴f（x）在（0，+∞）单调递增，

∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，

∴c＜a＜b，

故选：B

点评：本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．

8．（5分）（2015?天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）

A．2B．3C．4D．5

考

点：

根的存在性及根的个数判断．

专

题：

开放型；函数的性质及应用．

分析：求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解

答：

解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x），

∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），

由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，

设h（x）=f（x）+f（2﹣x），

若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，

若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，

若0≤x≤2，则﹣2≤x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．

即h（x）=，

作出函数h（x）的图象如图：

当y=3时，两个函数有2个交点，

故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，故选：A．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）（2015?天津）i 是虚数单位，计算的结果为﹣i ．

考

点：

复数代数形式的乘除运算．

专

题：

数系的扩充和复数．

分

析：

直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．

解答：解：i是虚数单位，

===﹣i．故答案为：﹣i．

点

评：

本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．

10．（5分）（2015?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．

考

点：

由三视图求面积、体积．

专

题：

计算题；空间位置关系与距离．

分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．

解答：解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，

且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；

∴该几何体的体积为

V几何体=2×π?12×1+π?12?2

=π．

故答案为：π．

点

评：

本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．

11．（5分）（2015?天津）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a 的值为 3 ．

考

点：

导数的乘法与除法法则．

专

题：

导数的综合应用．

分

析：

由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．

解答：解：因为f（x）=a x lnx，所以f′（x）=f（x）=lna?a x lnx+a x，又f′（1）=3，所以a=3；

点

评：

本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．

12．（5分）（2015?天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为 4 时，log2a?log2（2b）取得最大值．

考

点：

复合函数的单调性．

专

题：

函数的性质及应用．

分析：由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a?log2（2b）取得最大值，从而得出结论．

解答：解：由题意可得当log2a?log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．

再利用基本不等式可得log2a?log2（2b）

≤===4，

当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a?log2（2b）取得最大值，

点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．

13．（5分）（2015?天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC 上，且=，=，则?的值为．

考

点：

平面向量数量积的运算．

专

题：

平面向量及应用．

分

析：

根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．

解答：解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，

∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，

∵=，=，

∴?=（+）?（+）=（+）?（+）=?+?+?+?

=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，

故答案为：

点评：本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．

14．（5分）（2015?天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．

考

点：

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

专

题：

开放型；三角函数的图像与性质．

分析：由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f （x ）=sin （ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由

ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．

解

答：

解：∵f（x ）=sinωx+cosωx=sin （ωx+），

∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0

∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，

∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，

∴可解得：k=0，

又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，

∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：

ω=．

故答案为：．

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（13分）（2015?天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．

（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．

（i）用所给编号列出所有可能的结果；

（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．

考

点：

古典概型及其概率计算公式．

专

题：

概率与统计．

分析：（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；

（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，

27×=3，9×=1，18×=2，

∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；

（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：

（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），

（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），

（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6），

共15种；

（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，

则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），

（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6）共9个基本事件，∴事件A发生的概率P==

点

本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．

评：

16．（13分）（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

考余弦定理的应用；正弦定理的应用．

点：

专

题：

解三角形．

分析：（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；

（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．

解答：解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，

可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；

（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣

sin2Asin ==．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，咋地了一余弦定理的应用，考查计算能力．

17．（13分）（2015?天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；