普通高中数学新课程标准(实验)

高中数学新课程标准

1．课程框架

高中数学课程分必修和选修。必修课程由5个模块组成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成；每个模块2学分(36学时)，每个专题1学分（18学时），每2个专题可组成1个模块。课程结构如图所示。

注：上图中代表模块（36学时），代表专题（18学时）。

2．必修课程

必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括5个模块。

数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）。

数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。

数学3：算法初步、统计、概率。

数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换。

数学5：解三角形、数列、不等式。

3．选修课程

对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修课程由系列1，系列2，系列3，系列4等组成。

◆系列1：由2个模块组成。

选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；

选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。

◆系列2：由3个模块组成。

选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；

选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入；

选修2-3：计数原理、统计案例、概率。

◆系列3：由6个专题组成。

选修3-1：数学史选讲；

选修3-2：信息安全与密码；

选修3-3：球面上的几何；

选修3-4：对称与群；

选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类；

选修3-6：三等分角与数域扩充。

◆系列4：由10个专题组成。

选修4-1：几何证明选讲。

选修4-2：矩阵与变换。

选修4-3：数列与差分。

选修4-4：坐标系与参数方程。

选修4-5：不等式选讲。

选修4-6：初等数论初步。

选修4-7：优选法与试验设计初步。

选修4-8：统筹法与图论初步。

选修4-9：风险与决策。

选修4-10：开关电路与布尔代数

4．关于课程设置的说明

◆课程设置的原则与意图

必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。

选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学修养奠定基础。其中，

系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，系列2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列1，系列2内容是选修系列课程中的基础性内容。

系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。其中的专题将随着课程的发展逐步予以扩充，学生可根据自己的兴趣、志向进行选择。根据系列3内容的特点，系列3不作为高校选拔考试的内容，对这部分内容学习的评价适宜采用定量与定性相结合的方式，由学校进行评价，评价结果可作为高校录取的参考。

◆设置了数学探究、数学建模、数学文化内容

高中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中，并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动。高中数学课程要求把数学文化内容与各模块的内容有机结合。具体的要求可以参考数学探究、数学建模、数学文化的要求. ◆模块的逻辑顺序

必修课程是选修课程中系列1，系列2课程的基础。选修课程中系列3、系列4基本上不依赖其他系列的课程，可以与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。必修课程中，数学1是数学2，数学3，数学4和数学5的基础。

◆系列3、系列4课程的开设

学校应在保证必修课程，选修系列1、系列2开设的基础上，根据自身的情况，开设系列3和系列4中的某些专题，以满足学生的基本选择需求。学校应根据自身的情况逐步丰富和完善，并积极开发、利用校外课程资源（包括远程教育资源）。对于课程的开设，教师也应该根据自身条件制定个人发展计划。

（二）对学生选课的建议

学生的兴趣、志向与自身条件不同，不同高校、不同专业对学生数学方面的要求也不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也不一定相同。随着时代的发展，无论是在自然科学、技术科学等方面，还是在人文科学、社会科学等方面，都需要一些具有较高数学素养的学生，这对于社会、科学技术的发展都具有重要的作用。据此，学生可以选择不同的课程组合，选择以后还可以根据自身的情况和条件进行适当的调整。以下提供课程组合的几种基本建议。

1．学生完成10个学分的必修课程，在数学上达到高中毕业的要求。

2．在完成10个必修学分的基础上，希望在人文、社会科学等方面发展的学生，可以有两种选择。一种是，在系列1中学习选修1-1和选修1-2，获得4学分；在系列3中任选2个专题，获得2学分，共获得16学分。另一种是，如果学生对数学有兴趣，并且希望获得较高数学素养，除了按上面的要求获得16学分，同时在系列4中获得4学分，总共获得20学分。3．希望在理工（包括部分经济类）等方面发展的学生，在完成10个必修学分的基础上，可以有两种选择。一种是，在系列2中学习选修2-1，选修2-2和选修2-3，获得6学分；在系列3中任选2个专题，获得2学分；在系列4中任选2个专题，获得2学分，共获得20学分。另一种是，如果学生对数学有兴趣，希望获得较高数学素养，除了按上面的要求获得20学分，同时在系列4中选修4个专题，获得4学分，总共获得24学分。

课程的组合具有一定的灵活性，不同的组合可以相互转换。学生做出选择之后，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整，经过测试获得相应的学分即可转换。

二、课程的基本理念

1．构建共同基础，提供发展平台

高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。2．提供多样课程，适应个性选择

高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。

高中数学课程应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。学生可以在教师的指导下进行自主选择，必要时还可以进行适当地转换、调整。同时，高中数学课程也应给学校和教师留有一定的选择空间，他们可以根据学生的基本需求和自身的条件，制定课程发展计划，不断地丰富和完善供学生选择的课程。

3．倡导积极主动、勇于探索的学习方式

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的―再创造‖过程。同时，高中数学课程设立―数学探究‖、―数学建模‖等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。

4．注重提高学生的数学思维能力

高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。

5．发展学生的数学应用意识

20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，同时，也为数学发展开拓了广阔的前景。我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，因此，高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强。近几年来，我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野。

高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展―数学建模‖的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。

6．与时俱进地认识―双基‖

我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，新世纪的高中数

学课程应发扬这种传统。与此同时，随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的―双基‖。例如，为了适应信息时代发展的需要，高中数学课程应增加算法的内容，把最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能；同时，应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服―双基异化‖的倾向。7．强调本质，注意适度形式化

形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

8．体现数学的文化价值

数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对―数学文化‖的学习要求，设立―数学史选讲‖等专题。

9．注重信息技术与数学课程的整合

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合（如，把算法融入到数学课程的各个相关部分），整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。

10．建立合理、科学的评价体系

现代社会对人的发展的要求引起评价体系的深刻变化，高中数学课程应建立合理、科学的评价体系，包括评价理念、评价内容、评价形式和评价体制等方面。评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注他们数学学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化。在数学教育中，评价应建立多元化的目标，关注学生个性与潜能的发展。例如，过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神。对于数学探究、数学建模等学习活动，要建立相应的过程评价内容和方法。

―孙晓天教授访谈

1．问：新课程推进以来，很多教师都发现，中小学数学实验教材的数学味儿不浓了，不那么“数学”了，很多标题，比如小学教材中的“畅游花果山”、中学教材中的“我怎么胖了”等等，咋一看都不像数学教材了，为什么要把教材写成这样？

孙晓天：这是一个好问题，我已经被多次问到了，正好借你给我提供的机会谈谈个人的一些看法。先不说数学教材，先说说数学教育大家弗兰登塔尔，说他是“大家”，是因为国际数学教育领域的最高奖－弗兰登塔尔奖就是以他的名字命名的。他曾经写了一本名为《播种与除草》的书，如果不知道弗兰登塔尔是何许人也，读者一定会认为这是一本农学方面的著作。其实，这是一本分析数学教育基本理论的著作。我想用这个例子说明，一本书也好，一套教材也好，标题虽重要，关键在内容，进入内容之后再回头看标题，才能辨出味道。还说《播种与除草》，书里研究了皮亚杰的“认知结构理论”，和布卢姆的“教育目标分类学”等教育学说，对于这些学说的哪些部分可以在数学教育园地里“播种”，哪些部分要从数学教育园地里“除草”弗兰登塔尔做了相当深入的分析，读过书后再看标题，觉得真是再生动贴切不过。所以，诸如“我为什么胖了”有没有数学味儿，要通过具体内容判断。

围绕这个问题我想多说几句。教材是课程的载体，数学教材应该什么样子往往与课程的类型有关，其面貌大体上可由课程类型决定。而课程有学科课程与经验课程之分。

学科课程依托的是数学作为一个学科的科学体系。所以学科课程的教材通常是由从定义出发的逻辑链条构建而成，一般要分科，且结构清晰，文字简炼，叙述清楚，要点鲜明，教师用起来比较顺手。特别是，使用这样的教材比较容易实现教师在备课过程中预先设计的课堂教学目标，短短一节数学课总能按计划完成一个、两个，甚至多个具体任务。另一方面。这种教材的面貌一般会比较抽象，题材离学生熟悉的生活比较远，留给学生思考与想象的空间不大，教师虽然好教，可能对学生有挑战性，未必好学。长期以来我国的中小学数学教材比较接近这个样式。这个样式也经常成为人们衡量新教材的参照系。

经验课程依托的是学生的经验。所以经验课程的教材通常是从具体的情景出发，这些情景有的是学生生活中熟知的真情实景，有的可能是学生喜欢的童话、传说、科幻故事中的现成题材，

有的就是学生自己已有的数学知识积累。从情景出发的教材通常把新的数学内容隐含在情景后面，把原本在学科课程里条理清晰的不同学科方向和盘托出。在这样的教材里，几何、代数和统计往往相互交织在一起出现。用这样的教材教学，往往是情景中蕴涵着什么内容，就讲什么内容，教学过程也是在几何、代数和统计相互交织的情况下进行的。这样的教材一般都题材丰富，读起来引人入胜。由于教学的空间主要依赖于学生对情景问题的理解和分析，离不开学生自己的新发现，所以教起来的难度实在是大，灌输式的教学方法基本无效，就连启发式往往也不起作用。迄今为止，我国还没有纯粹的经验课程教材出现，广大教师、甚至许多从事数学教育研究的专业人员对这种类型的教材也很生疏。我曾经系统的研究过一套美国教育百科全书出版社98年出版的名为《情景数学》的教材，这是一套为美国10－14岁（介于我国小学高年纪和初中低年级之间）学生编写的、彻头彻尾的经验课程教材。整个教材的标题系统没有一点数学的味道，都是诸如“上上下下”、“影子的故事”、“干和湿”等等，从标题几乎看不出这是一套数学教材，如果不深入进去，也无法判断这些标题下面讲的是什么数学内容，只有看完读懂了才为其中设计的精巧而折服。这套教材从头至尾是用一串串的问题组成的，通过一个接一个的提出问题。一步一步引导学生走入由代数、几何、统计构成的数学世界。我通过网上查询，知道了在美国用这套教材的学校还真不少。可惜没有机会亲眼看看他们是怎么用这套教材开展课堂教学的。虽然没有身临其境，可以想象出使用这套教材的教学进度一定很慢，课堂秩序一定有点乱，学生思维可能很活跃，但数学的基本功可能很一般，想在一节课里实现一个具体目标，大概基本做不到。

除了学科型和经验型的课程外，大多数课程介于两者之间。有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题，有的把丰富的情景问题沿数学学科的主线镶嵌与展开，我称这样的课程为“学科为主的经验课程”或“经验为主的学科课程”，“学科”与“经验”哪个在前，依据各自的份量而定。我认为我国数学新课程实验教材基本应当属于这样的类型。由于这种教材与我们习惯上对数学教材的认识有较大出入，咋一接触可能就觉得难以接受。从课程的角度，前面提到的“我为什么胖了”等等还是符合课程要求的，教材编写者之所以在这里插入经验的成分，是试图揭示数学就在学生周边的生活中，是努力引起学生学习兴趣的新尝试。至于教材本身做的质量怎么样做的好不好要当别论了。我想，即便做的不那么好，这个方向当提倡，这样的尝试当鼓励。就我个人而言，我真的希望我们的教材中多一些经验，多一些情景，少一点枯燥，淡化一些体系，因为，对中小学生来讲，数学结构的精巧和体系的美他们尚难体味，喜欢和好奇应该是学生学习数学的基本动力，而包含经验的课程恰与这一点契合。我们目前在数学教材方面遇到的问题不是经验多了，情景多了滥了，而是在这方面研究不足、缺少积累、情景单薄、运用的也不

够贴切，浅尝辄止。特别是有的时候标题虽然十分引人，内容处理却未必那么入胜，多少让人失望。这些都说明，方向虽然没问题，可我们对什么是经验类课程理解的还不够，对如何构建“学科为主的经验课程”或“经验为主的学科课程”无论是研究、理解和准备等方面都不足。这是今后无论课程设计者、研究者、教材编者和广大教师都要共同思考、积极探索的大问题。

说的不少了，我想就这个问题最后明确一下我的观点：

学科课程有利于学生比较迅速的得到结果、介入前沿，对有数学潜质、天赋的学生来说，确实可能通过它感受到数学内在的美和感受数学的力量，有助于蕴育数学精英。无论到什么时候，这种课程我们都是需要的。但学科课程结构清晰的体系，有时候和数学发现、发展的过程不搭界。学生学了不少数学，可除了考试不知道怎么用，也不知道往哪儿用，多少与这种课程类型本身有关系。所以这种课程需要的批量不会、也不应该太大。

“学科为主的经验课程”或“经验为主的学科课程”是学科课程与经验课程的良性嫁接，恰好使他们互为补充，应该是我国数学课程的主流。广大教师长期以来积累的经验和实施新课程以来所作的探索在这种类型的数学课程中都有发挥的空间，都可能在传承中凸显新意。对于绝大多数未必以数学或科学为职业目标的学生来说，在保持学科主线的背景下，让教材里多几分经验，多几分情景，时而有不同学科交织在一起出现，时而又交织在一起解决现实中遇到的大、中、小问题，将对他们未来从事什么事业都有用。我们应该鼓励教材编写者多做点这方面的尝试，教师要为如何教好这样内容多做一些思考，努力摸索出经验，这虽然会给教师增加一些负担，可在教学生涯里同样也会留下创新的印记。

2．不少几何图形的性质在现在的教材里都是用折纸或者其他借助生活经验和动手的方式导入和解释了，减弱了证明的份量，使数学新课程的数学味道降低了很多，数学的难度、深度也随之下降，这会不会造成学生整体的数学水准，特别是基础知识与基本技能的下降？

孙晓天：你说得是几何，其实问的是新课程会不会影响“双基”这么一个敏感问题。“双基”的概念太模糊，很少有人能把它说清楚。我想我们还是说“数学的基本功”吧。说得简单一点，数学的基本功包括一个字－“算”！当然这个“算”不仅仅是指数值计算，还包括式的推导和演绎推理。在“算”的方面功夫扎实的学生通常在各方面都不错，这也能从另一个角度说明“算”

的确是数学学习的基本功。通过“算”产生过不少有名的数学家，哪怕是中小学生通过“算”也可以做出一些不错的结果来。不会“算”，在科学上不会有什么成就，在如何“算”、如何教学生“算”的问题上，我国的数学教育积累了不少经验，广大教师在实际教学工作中也摸索出不少方法，这些都应肯定，都没有疑义。问题是前面所说的“算”不是数学基本功的全部。学数学还需要有眼光，有想法，要有从现实问题中发现数学问题的能力，有找到解决问题方法的思路，不然，我们“算”什么呢？都是“算”现成的问题，发现的能力就无论如何也没办法形成了。而现实问题中的数学信息很多时候是以图形、图表、数据的形式存在的，所以，把握图形，收集数据、整理信息，就成了“算”所必须的前期准备。把上面这些和“算”结合在一起，数学的基本功就比较完整了。我们过去抓“算”没有错，但留给学生思考的空间小，比较忽视提问题、想点子，也不大关注数学和现实生活之间的联系，这就是缺陷了。新课程就在试图弥补这一缺陷。

现在再说几何，数学新课程对几何是这样处理的：首先是直观和经验，接着是抽象，最后是演绎。例如，用折纸的办法归纳出几何图形的一些特征性质，这带有发现的意义；再用演绎推理的方法证明这些性质，练的就是“算”的基本功了。在这里直观和推理两者都很重要，而且两者之间互为支撑，有互逆的性质。说比较容易，如何在教材层面衔接的自然，使教者和学者都认识到这两种形式之间的联系与区别及其一致性，就不那么容易了。把某种直线形或圆的同一个性质，在经验、直观和证明的过程中反复出现这件事呈现的自然，分出层次，使学生理解既要折纸又要论证，是在通过两种功夫实现同一个目的，的确是我们在教材编写和教学实践中面临的一个难题。在教学过程中常看到：折纸就像是在做手工，证明就像依样画葫芦，两者都不解渴，都形不成基本功，因此产生数学基础弱化了的想法也就不足为怪。现在不同版本实验教材在这方面都做出一些尝试，尚在实验之中，“硬骨头”还没有啃下来。

问题归问题，真正需要考量的是新课程对几何课程的设计有没有问题，因为这关系到我们推进新课程的信心。说到这儿，明确一下我的观点：新一轮数学课程改革对几何的重视程度是在加强，丝毫没有减弱。在国家的数学课程标准里，采取直观几何和推理几何并重的方针，其中直观部分的触角已经伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容差不多还是完整呈现。如果说有所弱化，就是具体要求降低了，这种降低主要体现在两个方面，一个是对推理几何的难度要求有所限制；另外是大大的弱化了圆（包括圆与直线之间的关系）这块内容，希望把相关内容挪到高中去。这个思路，兼顾了数学基本功应当包括的各个方面，我认为是对头的。从你提到的问题看，

至少目前这个思路的落实情况不够理想。这其中牵涉到教材应该怎么编、素材应该怎么选、教师应该怎么教等等一系列问题，又是一篇大文章，以后有机会可以再细谈。

3．在公众的眼里一般都认为数学很难、很抽象，那么大众数学的提法现实么？在我们国家能行得通么？

孙晓天：你的问题是越来越尖锐了。大众数学首先是一个国际化的提法，不是我们中国人发明的。1984年的国际数学教育大会（ICME5）的主题就是,意思是“为了每一个人的数学”，这大概是我国大众数学的源头。在我们的脑海里，数学似乎需要一点天赋，的确不是每一个人都能学好的，为什么还要提for all呢？这就要提到些背景了。那时在西方尤其是在美国，如果数学学的不好或数学学分修的少，上大学的可能性和选择专业及学校的空间就会大大缩小，从而今后谋职的竞争力就连带大受影响，数学在某种程度上成了职业的筛子。特别是有人把美国的少数族裔升学难、就业难与数学联系在了一起，不for all的话数学就失去了教育的公平性，这可就不是小问题了。所以，“Mathematics for all”这一理念的提出，首先考虑的是人的社会生活和职业的需要，强调的是数学和人的生存质量之间的关系，所以数学教育应该for all，一个都不能少。后来我国的学者结合中国的数学教育现实、社会现状，根据中国数学教育发展的需要，开展了具有一定规模的，比较深入、系统的研究，提出了在中国实行区别于精英数学的大众数学的概念。这一研究，也成了今天数学新课程的起点。数学新课程主张，数学教育不仅要为学生接受进一步的教育做准备，更重要的是要与每一个学生的生活和职业相关联，要从数学的角度为学生提供成为一个好公民的价值观基础。这样看来，一方面大众数学的提法是有根据有道理的；另一方面，你提到的这个问题确实可能存在：如果我们的数学课程是每一个人都能应付的数学课程，势必导致整水平降低，无人冒尖，潜在的专家级人物缺少了成长的沃土，怎么办？！

对这个问题，我倒没那么担心。我的观点是，如果把数学教育比作一间房屋，大众数学就像这间房屋的地板，是“地板上”的数学。每个人都要先学会在地板上站立，站稳、站牢。每一个都要掌握让自己“站得住”的数学。而地板到天花板之间还有一大块空间。不妨把天花板比作精英数学，只有在地板上站的结实、加之有愿望、有潜力、有天赋、有条件的，才有可能跳起来触摸到天花板。人人都摸天花板办不到，有人想摸并且能模到，就一定要为他留出足够的空间和可能性。如果这样思考，大众数学与精英数学之间的关系就和谐了：大众数学实际是精英数学的沃土，大众在满足生存需要的基础上都是未来数学家、科学家的庞大后备军。所以，数学越大众，学数学的人越多，才越有可能有尖子冒出来，在“地板”上站功最好的那拨儿，才有可能一跃而

起去摘取那女王皇冠上的明珠。看来，基础是大众数学，然后才有精英数学。当然在大众数学与精英数学的和谐共进方面，我们仍然是任重道远。现在似乎大众数学的空间已经拓展开了，精英数学的空间尚待拓展，只须在机制上稍做调整，其实不难。

总之，无论数学也好，物理也好，推而广之，无论国家的政策也好，法规也好，都应该是为大众的，都应该首先考虑大众而不是小众的利益和基本需要。我们不能指望每个适龄青年都升入高中、大学，但我们希望那些从初中、高中毕业回家务工、务农、哪怕是作放牛娃的孩子，他们在学校的数学也没有白学！这一点应当是数学教育目标的底线。

你的问题都是好问题，每个问题都值得写一本书，但这样的书最好不是由理论家去写，而是由广大教师通过自己的亲身实践，用自己的体会去写。我希望广大数学教师对实施数学新课程中遇到的问题，多想想为什么，多思考该怎么办，多关注学生的反应和取得的进步，可能有些问题的答案也就明了了。

我说的这些纯粹是个人的看法，目的是与大家交流，仅供参考吧。

一：开展数学课堂实效研究有何现实意义？

研究―实效性‖意义:对课堂教学实效本质的再认识，提升教学水平和教学能力。促进学生和谐、全面、可持续发展

二：课堂实效具体指什么？它包括哪些方面？

课堂教学的实效主要指课堂教学整体的效果。它包括1.教学目标内容是否符合学生和教学内容的实际符合学生的认知规律?2是否充分有效地利用了教学资源？ 3.设计教学环节是否进行了有效地自主、探究、合作学习？4.课堂教学中是否通过有效地评价与调控，因材施教，帮助学生体验成功，建立自信？5课堂教学是否关注基础知识、基本技能的落实，为学生的发展注入了后劲？问题三：课堂实效与教学质量、课堂效率之间有怎样的关系？

追求高质量的教学质量、讲求高质量的课堂效率是落实课堂教学实效性的基本保证。高质量的课堂教学即要关注教师教的质量，又要关注学生学的质量，二者缺一不可。教师要有―课堂成本意识‖，不能以加班加点、题海战术、机械训练的方法牺牲学生身体健康为代价。

问题四：落实了“数学化”课堂是否就是实效好的课堂？

小学数学教学的实效性应该体现在让学生真正经历―数学化‖的过程；但是不能说只要经历了―数学化‖就是落实了课堂教学的实效性。经历―数学化‖是落实课堂教学实效性的重要方面，但不是唯一的途径。落实实效性好的课堂必须关注学生的全面发展，必须落实课程目标，而不只是关注学生的数学智慧。我们要通过课堂教学让学生理解数学内涵，学会用数学眼光观察生活，发现生活中数学信息，用数学符号描述现象，进行数学建模。学生在这个过程中不是单纯地获取知识，而是探究数学知识的同时感受体验数学思想和方法，获得富有生命活力的优质的数学教育。

问题五：课堂实效是否可以根据三维教学目标分成相应的三维实效？

知识技能、过程方法与情感态度价值观的三维目标是一个密切联系的有机整体。课堂教学的实效性首先取决于课堂教学目标制定的有效性，其中情感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。教学中，一要，根据学生实际与时俱进地选择好教学内容，扎实地为学生打基础。二要，关注学生的学习过程和学习结果。三要，呵护孩子的学习热情，尽办法调动学生地积极性、主动性，保护好孩子的自尊心、自信心，让学生体验数学的价值，建立正确的价值观。

问题六：课堂教学中，教师对生成性资源的把握非常重要，请您谈谈如何预设基础性生成资源？如何把握稍纵即逝的偶发性资源？

生成资源来自哪里？一是教师精心预设，二是课堂学习中自然生成。一方面教师要善于根据学生的实际问题和教学内容提出具有挑战性且有价值的问题资源，另一方面教师要精心预设、真诚宽容地态度接纳生成，为学生问题的生成创造良好的环境氛围。尊重不同学生的选择，允许学生从自我个性多角度观察，发现问题。有些生成需要教师细心的去捕捉。作为教师必须清楚地看到不是所有课堂出现的问题都对学生的学习有价值，不是所有的问题都要在课堂里解决。一节课只有40分钟，哪些生成的新问题需要放大？哪些问题引发再思考、再讨论？对与课堂无关的生成可以淡化，可以用商量的口吻，轻轻地告诉学生你的问题下课后再研究好不好可是，非常遗憾，往往一些偶发性的资源从教师的手边悄悄地流走，失去了很好的数学教育的时机，我想举个例子一年级学生在做７＋６＋３时，一位学生没有按顺序做先把７＋３＝１０再10＋６＝１６老师没有在意只说了一句你的结果也是１６啊，这是不是一个不期而遇的美丽，却在不经意中从老师的手边溜走了！老师没有及时评价，使这样一个闪光的思维一瞬即逝。

问题七：请您分别谈谈如何提供课堂上情境创设、合作学习、自主探究的实效性？

谈到课堂教学的实效性大家都不约而同地谈到一个问题--数学学习情境的创设。创设学习情境是为了更有效地引导学生学习数学、研究数学，是为学生的数学学习服务的。而不是为了创造情境而创造情境，创设情境一定是围绕着教学目标，紧贴教学内容，遵循儿童的心理发展和认知规律。在课堂实践中教师们用智慧为学生创设了多种有利于促进学习的学习环境。1创设数学与生活紧密联系的学习环境。2、创设有思维价值的数学活动情境3、创设源于数学知识本身的问题情境4、创设思维认知冲突的问题情境。

合作、自主探究学习首先要给学生独立思考、自主探究的空间。一个人没有自己的独立思考，没有自己的想法拿什么去与别人交流？因此，独立思考是合作学习的重要基础。其次，合作学习要有明确的问题解决的目标，明确小组成员分工，组织好组内、组际之间的交流。对学生的自主探索、合作交流，教师要加强指导。除了培养学生合作的意识外，还要注意对学生合作技能的训练和良好合作习惯的培养。如倾听的习惯、质疑的能力，有条理汇报交流的能力，合作探究的方法策略等。对良好习惯的养成，合作探究技能的培养要持之以恒。当然，自主探究、合作学习都需要空间，教师要为学生的活动搭好台，留有比较充分的时间和空间，以确保自主探究、合作学习的质量，使课堂教学的实效性得以落实。

问题八：提高课堂实效性应遵循哪些原则？有哪些主要策略？应注意什么？

原则：

1、关注个性差异的原则２、实事求是的原则３科学性原则４、可行性原则。

策略：

1、制定切实可行的教学目标

2、创设有效的学习情境

3、多种教学方式融合，精心组织学习活动

4、有效捕捉、利用教学资源

5、多层反馈，有效调控，适当评价。

注意问题

1、教师要全面了解学生，有的放矢地实施教学，直面学生的数学现实，尊重接纳学生差异。

2、教师要深刻领悟教材，掌握教材重点难点，具有学科思想，了解学科历史文化，提升学科素养。

3、有效地组织学习素材，使学习资源优化。

4、提高教师的学科素养、专业技能。

九：谈谈对实效性课堂对教师的思考. 实效型教师该是什么样子。

l深刻领悟教材，具有学科思想，了解学科历史文化；2能有效地组织教学资源，为学生提供有价值的数学问题；3全面了解学生，尊重学生差异，懂得尊重，他懂得怎样尊重别人和怎样获得别人的尊重；4 充满热情，有激情，充满期待；5热情真诚友善宽容，给予学生信任；6有数学专业技能，具有学科素养；

十．关于评价的有效性

１、评价要实事求是 2.评价要真诚 3.评价要赋有个性

课堂上不要一味的表扬，当学生出了问题的时候，要敢于帮助认识错误，并教会他倾听、欣赏、反思、接纳、修正自己并树立信心

把握新课程教材，提高教学有效性

广州市第八十中学冯平平

教学何谓有效？是教师精彩的上课，还是学生考试的高分数？现代观点强调：衡量教学的有效与否，是学生的进步与发展，是学生学习的长期性、可持续性，是教与学有机结合的体现。具体来说，我们的教学应关注学生良好学习品质、良好思维品质的培养，关注学生学习能力的提高，关注学生的情感、态度、科学价值观等个性品质的获得。

怎样实现和提高教学的有效性，是我们探讨的方向，也是新课程提出的目标。教材是实现课程目标，实施有效教学的重要资源，所以我们在教学中对新课程的教材要做到―三个把握‖，从而实现―三个有效‖，最终达到提高教学的质量。

（一）把握教材的空白空间，有效培养学生良好的学习品质

学习品质包括学习的兴趣、学习的方式、方法、学习的习惯，怎样有效培养学生良好的学习品质？在传统的教学中，一些教师（尤其是一些经验丰富的教师）为学生想得很周到，讲得清楚、详细，却使学生养成了过于依赖老师的习惯，处在被动接受的状态，这种把数学学习当成是记忆一些重要的数学结论，而忽视对学生的发展和可持续学习能力的培养的教学已不适应时代的发展。美国教育家布鲁纳曾说过―学习不是被动机械地形成刺激—反应的联结，而是主动形成认知结构的过程‖。事实上，激发学生学习的兴趣，、改进学生的学习方式和学习方法，使学生学会学习，为终身学习和发展打下良好的基础正是高中数学课程的基本理念。新课程教材在编写设计上与旧教材有一个明显不同，新教材为引导学生自主发现、探索留有比较充分的空间。在教学中我们应充分利用这些空白空间，再给予学生发挥的时空，，促进

他们主动地学习和发展。如：在人教版的《数学必修4》探讨三角函数的单调性，教材首先引导学生利用正弦函数在一个周期的图像探讨单调区间，并归纳推广出一般结论：对于余弦函数单调区间的探讨，教材没有画出图像，也没有写出结论，这就要求学生运用研究正弦函数性质的方法来研究余弦函数，探究后得出一般性结论，再进行填空。这是教材第一次出现这种填空，老师不能替代，只能引导学生逐步进行，也许学生没有什么收获；也许因此而完成不了当时的教学任务，但从效果看：由老师讲、学生学的短期效果较好；而由学生自己探究的却具有长期效应，兼顾长短期目标我们既要重视基础教学，又要从发展学生智力着想，采取循序渐进，鼓励引导学生不断改进学习方式，大胆进行思考、探究。教材也正是沿着这一方向进行，思考、探究、填充等逐渐增多，如由的公式怎样得到公式，结论是什么？由、公式又怎样得到，结论又是什么？我们的教材都在不断引导学生探究、推导、归纳，留下许多问号和空白让学生完成。又如学习完《数列》一章后，教材设计了全章知识结构框图的填充，让学生自己回顾小结。这些设计都给人耳目一新，对培养学生良好的学习品质有积极作用，复习的效果也事半功倍。让空白的地方丰富多彩也是学习方式丰富的表现，，许多学生能利用书本大片空白作归纳总结，记录自己的研究发现、学习心得；翻开学生的书本就能猜出学生学习的成效：学困生的书本崭新崭新的，空白的仍然是空白；而优等生的书本里面写满了东西，有的记录每单元的重点、难点；有的记录着错例的剖析或学习体会评注等等。有一个学生在学完了函数的图像与性质后，在旁边空白处写道：只要把看作一个整体，再结合基本函数的性质就能解决求最值、单调区间、对称等问题；有一个学生在《数学必修5》的的B组4题下面的空白处记录着：可以推广到；到现在为止求数列前n项和的方法已有三种：（1）倒序相加法：（2）公式法：（3）裂项相消法。充分把握课本的素材与空间，让学生探索求真，主动参与教学的全过程，有助于

（二）把握教材例、习题的潜在功能，有效培养学生良好的思维品质

（1）利用例、习题的典型性、示范性，训练学生思维的有序性和表述的条理性

思维和语言有密切关系。一个语言表达水平低的人绝不可能具有高度发展的思维，尤其是数学语言，要经常在文字语言、图形语言、符号语言中转换，而又侧重于用图形、符号语言来书写表达。在教学中发现，相当的学生对数学问题无从下手、不会分析思考，在推理过程中前后不连贯，思路混乱，也有的知道怎样做，但不会表达或表达不规范，处在有水倒不出的尴尬局面，严重影响水平的发挥。课本的例题尽管简单，但蕴含着重要的数学思维方法和思想精髓，具有典型性和示范性，有助于我们牢固掌握书本的基础知识和基本技能，进而提高综合能力。例如：《三角恒等变换》有角度变换、函数名称变换和式子结构间的变换，容易使学生摸不着头脑，必须经过系统的引导、训练。《数学必修4》P139例题：已知Sinα= ，，Cos- ,β是第三象限角，求Cos（α-β）的值。

要引导学生分析：要求Cos（α-β）的值，联系C（α-β）公式和本题的已知条件，需要作哪些准备？让学生逐步理清思路。解答从哪里开始书写有利，在书写过程要注意什么？由Sinα求Cosα时，开方取什么符号？总之，在学习例题时，让学生明确怎样分析、怎样联想，为什么要这样写。通过例题的学习，使学生领会分析思考的条理性和书写表达的规范性，练就扎实的基本功，从而达到举一反三、变式引申。

如：P150习题3.1

4：已知α ，β都是锐角，Cosα = , Cos(α+β) = ，求Cosβ的值。

5：已知Sin(300 +α) = , 600 α 1500 求Cosα的值。

只要进行恰当的角度变换，这两个问题实质上与例题一样，因为β=(α+β) –α，α = (300+α) -300 ，也就是已知两角的正、余弦值，求这两角的差的余弦值；但如果不善于作分析，或受定势思维的负迁移，有的学生把Cos(α+β)展开来求Cosβ，其结果都难以成功。学习等差、等比数列时，学生对证明等差或等比数列的问题上不会表述，大部分都只会列举。究其原因：教材只引导学生归纳了定义的文字表达形式，教学上很有必要补充式子符号表达，即：若数列满足），则数列为等差（等比）数列。然后才能较好地完成如的例3和的例4。认识数学知识的本质特征，理清思维程序并恰当表述是良好思维品质的基本要求。

（2）利用例、习题的联系性，有效训练学生思维的深刻性和批判性

数学知识由纷繁复杂的客观世界抽象而来，思维的深刻性和批判性也是学习数学知识的必要条件。很多教师都有一个发现：在学习单个知识时，学生似乎学得不错，但学完了多个知识或一个系统后，却变成简单的题目都不会，这除了综合能力不高外，还与平时不作归类整理、没有把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体有关。二倍角公式的理解就不能只知道2α是α的二倍角，类似的：4α是2α的二倍，α是的二倍，如P146 例5：已知Sin= , , 求4的三角函数值。

分析：由，两次运用二倍角公式；又如P152 例1：Cosα=2Cos 2 - 1 = 1 – 2Sin2

Cos 2 = , Sin2 =

tan2 =

这实际上是二倍角公式的逆向运用，得到的半角公式（或降幂公式）。有了对例题的深刻理解就能解决一类问题，如求的值；化简等。

通过变式、逆用、一题多解等训练思维的深度，引导学生不满足表面知识，能深入钻研问题，探求各种知识的联系，从而找到解决问题的本质和规律。在新课程的教材中的确十分注意挖掘数学知识的内在联系，如《数学5》学习等差数列时把通项公式与一次函数联系，前n项和公式与二次函数联系，等比数列的通项与指数函数联系；学习一元二次不等式与二次函数和一元二次方程联系，注意相关内容的前后联系，使学生加深对所学知识的系统认识，促进思维的深刻性。

不迷信书本和老师，敢于主动、独立、批判的探讨问题也是当代创新人才的思维品质。在教学上要鼓励学生敢于提问、敢于发表自己的不同观点，《数学4必修》习题3.1第8题，在△ABC中，，求CosC值。我在批改作业时，没有考究教材参考资料提供的答案（实际上只有），结果把正误答案颠倒。发现错误后，我主动向全班同学道歉，并表扬了敢于坚持真理的同学。及时提出新问题：（1）在△ABC中若，，求CosC值。有几个解？（2）在△ABC中，成立吗？留给学生课外思考、讨论。学习了正弦定理后，再回头证明。通过这一问题的深刻探讨，不但使学生牢固掌握知识，更大大提升了学习的自信心和学习的热情，在潜移默化中培养了学生的科学态度和理性精神。在学习《数学必修5》的等比数列前n项和知识时，训练第2题：在等比数列中：已知在求解过程中学生得到了：，进一步发现：成等比数列，这就对应于完成第70页的习题B组第2题，继续引导这一结论推广，完成第76页的复习参考题A组第10题，证明：等比数列的也成等比数列。学生们总结前面的经验也较顺利地完成了证明，心理充满了成功的喜悦。真的没有漏洞吗？鼓励学生探讨其严谨性，有学生举出了反例：数列1，-1，1，-1……是公比q= -1等比数列，但，并不是等比数列；这一发现令人吃惊，因为在课本和其他所有的课外书都没有此说法。从理论上讨论：当显然当n 为偶数且q= -1时，，不可能为等比数列。不人云亦云，敢于用批判的观点去探索是科学的基本态度，在教学过程中，应当充分把握课程资源肩负培养学生理性精神和批判性思维习惯的使命。

（三）把握教材的辅助材料，有效培养学生的个性品质

培养良好的个性品质和数学素养在新课标中明确提出，学生要具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维习惯。新课程的教材更加重视数学的文化价值观的渗透，在许多地方安排了―阅读与思考‖、―探究与发现‖等辅助材

料，如果我们在进行教学的同时采取多种形式利用好这些辅助材料，就能极大地开阔学生视野、训练数学技能，更深刻地挖掘数学的文化内涵，从而有效培养学生的个性品质。如―探究与发现‖的《互为反函数的两个函数图象之间的关系》、《解三角形进一步讨论》等内容可结合课堂教学内容，采取穿插渗透式，作为课堂的拓展与引申，进一步促进学生对所学知识的理解，完善认知结构；而―阅读与思考材料‖ 《函数概念的发展历程》、《三角与天文学》、《对数的发明》等则可以在课外活动中，以讲座形式，由教师或学生讲述，让学生了解数学发展中的重大发现，激发学生不懈追求的志向；同时关注数学的应用意识，引导学生用数学眼光从生活中捕捉数学问题，并主动地运用数学知识解决问题，如―探究与发现‖《购房中的数学》就是有趣且实用的素材，可以采取分组形式，组长负责制，发动学生到售楼中心，银行调查、搜集购房的相关信息，分别就商业贷款、公积金贷款、一次性购房等不同支付方式，写出报告，并以小论文形式论述购房的最佳方案，并进行论文评奖，组织答辩，充分调动学生参与的积极性，让学生充分感受数学的实用性，品尝成功的喜悦。总之，在知识教育的同时，让学生通过数学文化的学习，可以了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程，体会和认识数学的文化价值，促进学生科学观形成，全面提高学生的数学素养。

在新课程改革的大潮中，我们应更新观念，更多地关注学生的发展与未来。把握新课程教材的―度‖，合理灵活使用教材，发挥教材各种潜能，改进教学方法，引导学生改进学习方式，在主动学习中参与教学的探究、思考过程，变―学会‖为―会学‖，努力提高教学的有效性，从而提高教学质量。