随机过程考试真题

1

（1

（2

2

3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180

求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

（1

时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。

5

求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

6

7、考虑一个从底层启动上升的电梯。

（1

（2

（3

8、一质点在1，2，3点上作随机游动。

它都以概率

1有随机过程{ξ(t)，-∞

2（15分）随机过程ξ(t)=A cos(ωt+Φ)，-∞

3某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；

（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

4设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为p ij（p ij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移开率矩阵为：

试对经过长时间后的销售状况进行分析。

5

设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t

),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

6

7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨

0，无雨天气为状态1

8

ω0是常数，Θ为均匀分布在[0,2π]上的随机变量，

Θ相互独立，R ξ(τ)和S ξ(

ω) （1

（2

9已知随机过程ξ(t )的相关函数为：

ξ(t )是否均方连续？是否均方可微？

1、

（1

（2

【理论基础】

（1

（2

（3

（4

其为标准正态分布。【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

（1

（2

2

对任意

独立。

求随机过程

【解答】此题解法同1题。

3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180

求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

【解答】此题可参见课本习题3.10

题。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

（1

时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。 【解答】可参考教材例4.3题及4.16题 （1）两步转移概率矩阵

故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。

（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组

解上述方程组得平稳分布为

5

求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 【解答】此题比较综合，可参加例4.13题和4.16题 画出状态转移图如下：

（1

（2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。

A

解上述方程组得平稳分布为

则各状态的平均返回时间分别为

B

解上述方程组得平稳分布为

则各状态的平均返回时间分别为

6

【解答】

7、考虑一个从底层启动上升的电梯。

（1

（2

（3

【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。

,且全

(1)

(2)

(3)

望。

8、一质点在1，2，3点上作随机游动。

它都以概率

【解答】参见教材习题5.2题

所以

解上述一阶线性微分方程得：

由初始条件

故其平稳分布

1、有随机过程{ξ(t )，-∞

1.

2、随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ )，-∞

<+∞，其中A, ω,Φ 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ω 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。 试分析ξ(t)的平稳性和各态历经性。 2、解：

所以具有平稳性。

故均值具有各态历经性。

故相关函数不具有各态历经性。

3、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；

（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

3、解：设顾客到来过程为{N(t), t>=0}，依题意N(t)是参数为λ的Poisson过程。

（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：

（2）

在未来半小时仍无顾客到来可表

4、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为p ij （p ij 表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态j 的概率），一步转移开率矩阵为：

试对经过长时间后的销售状况进行分析。

4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且p ii >0，从而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为π={π1，π2，π3}，求解方程组：

π=πP, π1+π2+π3=1

即：

得：

由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。

5、试对以下列矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。

（1

（2

5、

6、一个服务系统，顾客按强度为λ的Poisson 过程到达，系统内只有一个服务员，并且服务时间服从参数为μ的负指数分布，如果服务系统内没有顾客，则顾客到达就开始服务，否则他就排队。但是，如果系统内有两个顾客在排队，他就离开而不返回。令ξ

(t)表示服务系统中的顾客数目。 （1）写出状态空间； （2）求Q 矩阵

7

ω0是常数，Θ为均匀分布在[0,2π]上的随机变量，Θ相互独立，R ξ(τ)和S ξ(ω)

（1

（2

7、7:(1)

故为平稳过程 （2）

8、已知随机过程ξ(t )的相关函数为：

ξ(t )是否均方连续？是否均方可微？8、解答：τ=0时，相关函数是连续的，故随机过程在任意时刻均方连续。

由于二阶导数在τ=0存在，故过程是均方可微的。