人教版八年级上册分式方程练习及解析
第八讲 分式方程
考点综述：
中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法，会检验分式方程的根，分
式方程的应用也是中考考查的重点和热点。
典型例题：
例1：解方程：
（1）（2007连云港）
11322x x x
-=--- （2）（2007德州）解方程：120112x x x x
-+=+- （3）（2007宁波）解方程21124x x x -=-- 解：（1）方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----．
解这个方程，得2x =．
检验：当2x =时，20x -=，所以2x =是增根，原方程无解
（2）两边同乘以(1)(12)x x +-，
得(1)(12)2(1)0x x x x --++=；
整理，得510x -=；
解得 15
x =
． 经检验，15x =是原方程的根． （3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得
x(x+2)-(x 2-4)=1，
化简，得2x=－3
x=－3/2，
经检验，x=－3/2是原方程的根．
例2：（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2
天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队
单独完成此项工程所需天数的45
，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，
则乙施工队单独完成此项工程需45
x 天， 根据题意，得 10x ＋1245x ＝1
2
解这个方程，得x ＝25
经检验，x ＝25是所列方程的根
当x ＝25时，45
x ＝20 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天．
实战演练：
1.（2008安徽）分式方程112
x x =+的解是（ ） A . x=1 B . x =－1 C . x=2 D . x =－2
2.（2008荆州）方程21011x x x
-+=--的解是（ ） A .2 B .0 C .1 D .3
3.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米
的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？
某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ）
A ．12012045x x
-=+ B ．
12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213
x m x +=--无解． 5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已
知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为
_________________________________．
6.（2008泰州）方程
22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程：
（1）（2008赤峰）2112323x x x -=-+
（2）（2008南京）22011x x x -=+-
8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小
时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时
间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
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9.（2008镇江）汶川大地震发生以后，全国人民众志成城．首长到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面是首长与厂长的一段对话：
首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成12000顶帐篷的生产任务．
厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生产量比原来多一半．
首长：这样能提前几天完成任务？
厂长：请首长放心！保证提前4天完成任务！
根据两人对话，问该厂原来每天生产多少顶帐篷？
10.（2008山西）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？济南市市中区纬一路468号（省实验高中及育英中学西路口东南角）3
4
应用探究：
1.（2008佳木斯）关于x 的分式方程
15m x =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+
B ．5m >-时，方程的解是正数
C ．5m <-时，方程的解为负数
D ．无法确定
2.（2008烟台）请选择一组,a b 的值，写出一个关于x 的形如
2a b x =-的分式方程，使它的解是0x =，这样的分式方程可以是______________.
3.（2008达州）符号“a b c d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bc c d
=-，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值.
2
111
111
x x =--
4.（2008江西）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起
跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，
甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速
度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？
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5.（2008宁德）5月12日14时28分，四川汶川发生了8.0级大地震，震后两小时，武警
某师参谋长王毅奉命率部队乘车火速向汶川县城开进．13日凌晨1时15分，车行至古尔沟，巨大的山体塌方将道路完全堵塞，部队无法继续前进，王毅毅然决定带领先遣分队徒步向汶
川挺进，到达理县时为救援当地受灾群众而耽误了1小时，随后，先遣分队将步行速度提高
9
1，于13日23时15分赶到汶川县城． ⑴设先遣分队从古尔沟到理县的步行平均速度为每小时x 千米，请根据题意填写下表：
⑵根据题意及表中所得的信息列方程，并求出先遣分队徒步从理县到汶川的平均速度是每小
时多少千米？
6.（2008枣庄）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，
需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的
投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
6
第八讲 分式方程
参考答案
实战演练：
1.A
2.D
3.B
4.－6
5.3
30340-=+x x 6.0
7.（1）方程两边同乘(23)(23)x x -+，得
2(23)(23)(23)(23)x x x x x +--=-+
化简，得412x =-
解得3x =-
检验：3x =-时(23)(23)0x x -+≠，3-是原分式方程的解．
（2）方程两边同乘(1)(1)x x -+，得
2(1)0x x --=．
解这个方程，得
2x =．
检验：当2x =时，(1)(1)0x x -+≠．
所以2x =是原方程的解．
8. 解：设 A 型机器人每小时搬运化工原料x 千克，则B 型机器人每小时搬运（x -20）千
克，依题意得： 100080020
x x =-. 解这个方程得： 100x =.
经检验90x =是方程的解，所以x -20=80.
答：Ａ、Ｂ两种机器人每小时分别搬运化工原料100千克和80千克．
9.解：设该厂原来每天生产x 顶帐篷，根据题意得：
1200012000432
x x
-=． 解方程得：1000x =．
经检验：1000x =是原方程的根，且符合题意．
答：该厂原来每天生产1000顶帐篷．
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10.
应用探究：
1.C
2. 答案不唯一，如2
12x -=-
3.解：∵a b
ad bc c d =- ∴21
11111
x x =--可化为
2
1
111x x -=--
2
1
111x x +=--,
2+1=x-1,
x=4
经检验x=4是21
111x x -=--的解.
∴求得x=4
4. 解一：设乙同学的速度为x 米/秒，则甲同学的速度为1.2x 米/秒， 根据题意，得60
60
6501.2x x ??++= ???，
解得 2.5x =．
经检验， 2.5x =是方程的解，且符合题意．
∴甲同学所用的时间为：60
6261.2x +=（秒）， 乙同学所用的时间为：60
24x =（秒）
2624>，∴乙同学获胜．
8 解二：设甲同学所用的时间为x 秒，乙同学所用的时间为y 秒， 根据题意，得5060601.26x y x y +=???=??-?
， 解得2624.x y =??=?
， 经检验，26x =，24y =是方程组的解，且符合题意．
x y >，∴乙同学获胜．
5. 解：⑴表中依次填入：x 30，x ??? ??+911，x ??
? ??+91160． ⑵依题意，列出方程得
219116030=??
? ??++x x . 解得：4=x .
经检验，4=x 是所列方程的根．
9
409114=??? ??+?． 答：部队徒步从古尔沟到理县平均速度是每小时4千米，理县到汶川的途中平均速度分别是每小时9
40千米 6. 解：设规定日期为x 天．由题意，得
163=++x x x ． 解之，得 x =6．经检验，x =6是原方程的根.
显然，方案（2）不符合要求；
方案（1）：1.2×6=7.2（万元）；
方案（3）：1.2×3+0.5×6=6.6（万元）．
因为7.2＞6.6，
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款.
初二数学分式方程练习题(含答案)
分式方程精华练习题 1.在下列方程中，关于x 的分式方程的个数（a 为常数）有（ ） ①0432212=+-x x ②.4=a x ③.;4=x a ④. ;13 9 2=+-x x ⑤;621=+x ⑥211=-+-a x a x . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 关于x 的分式方程 15 m x =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定 3.方程x x x -=++-1315112 的根是（ ）A.x =1 B.x =-1 C.x =83 D.x =2 4.,04412=+-x x 那么x 2的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 D.-1 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A. 112 11-++=-x x x 去分母得，1)2)(1(1-+-=+x x x ； B. 1255 52=-+-x x x ，去分母得，525-=+x x ； C.242222-=-+-+-x x x x x x ，去分母得，)2(2)2(2 +=+--x x x x ； D. ,1 1 32-=+x x 去分母得，23)1(+=-x x ； 6. .赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A.21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21140140++x x =14 D.21 10 10++x x =1 7.若关于x 的方程 01 11=----x x x m ，有增根，则m 的值是（ ）A.3 B.2 C.1 D.-1 8.若方程 ,) 4)(3(1243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为（ ） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1 9.如果,0,1≠≠= b b a x 那么=+-b a b a （ ）A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.1 1+-x x 10.使分式442-x 与6 52 6322+++-+x x x x 的值相等的x 等于（ ） A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 满足方程： 22 11-=-x x 的x 的值是________. 12. 当x =________时，分式x x ++51的值等于21. 13.分式方程 02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为 . 16.已知,54=y x 则=-+2 22 2y x y x .17.=a 时，关于x 的方程53221+-=-+a a x x 的解为零. 18.飞机从A 到B 的速度是,1v ，返回的速度是2v ，往返一次的平均速度是 . 19.当=m 时，关于x 的方程 3 1 3292 -=++-x x x m 有增根. 20. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程 . 三、解答题（共5大题，共60分） 21. .解下列方程 (1) x x x --=+-34231 (2) 21 23442+-=-++-x x x x x （3）21124 x x x -=--． 22. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？ 24.小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多 5 3 倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？
初二分式方程练习题
初二分式方程练习题 编者按：查字典数学网小编为大家收集了初二分式方程练习题，供大家参考，希望对大家有所帮助! 【知识要点】 1、分式的定义： _________________________________ 。 2、分式的___________________ 时有意义; _____________ 时值为零。(注意分式与分数的关系) 3、分式的基本性质： ; 用字母表示为： (其中 )。(注意分式基本性质的应用，如改变分子、分母、分式本身的符号，化分子、分母的系数为整数等等)。 4、分式的约分：。(思考：公因式的确定方法)。 5、最简分式： ____________________________________ 。 6、分式的通分：。 7、最简公分母：。 8、分式加减法法那么： _____ 。(加减法的结果应化成 ) 9、分式乘除法那么：。 10、分式混合运算的顺序：。 11、分式方程的定义：。 12、解分式方程的基本思想： ____ ;如何实现：。
13、方程的增根： 14、解分式方程的步骤： ________________________________ 。 15、用分式方程解决实际问题的步骤: 【习题巩固】 【一】填空： 1、当x 时，分式有意义;当x 时，分式无意义。 2、分式：当x ______时分式的值为零。 3、的最简公分母是 _________ 。 4、 ; ; 5、 ; 。 6、，那么。 7、一件工作，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，那么甲、乙合作小时完成。 8、假设分式方程的一个解是，那么。 9、当，时，计算。 10、假设分式13-x 的值为整数，那么整数x= 。 11、不改变分式的值，把以下各式的分子、分母中的各项系数都化为整数: ①23 x-32 y 56 x+y = ; ② 0.3a-2b -a+0.7b = 。 12、x=1是方程的一个增根，那么k=_______。 13、假设分式的值为负数，那么x的取值范围是_ _。
八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练(直接打印版)
八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练 一、【行程中的应用性问题】 例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？ 分析： 等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时） 例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度． 分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等． 解：设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得 x x 6828-=x 5.1828 ，解得46x =， 经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =， 即普通快车车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ． 评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义． 例3 A 、B 两地相距87千米，甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度。 分析： 等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时） 例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？ 解： 设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得： 603060
八年级上册数学-分式的概念
1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48 ，即： 3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3 n ， 3 3n n ÷、相等吗？（ 3 3= n n ÷）这里的n
可以是实数吗？（n不能为0） (2) 33 4n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分 式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整 式，分母含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分 式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ?
新人教版八年级数学分式方程
分式方程（1） 【学习目标】 1．了解分式方程的概念, 和产生无解的原因。 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解。 【重点】会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解。 【自主学习】 1、预习内容：自学教材第149页 2、预习检测： 1） 中含有 的方程叫做分式方程。 2）你能再写出几个分式方程吗？ 3）下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 。 ①1213=-+x x ②21412x x -=- ③12312=+x x ④51≥x 【合作探究】 探究点一 类比学习探究分式方程的解法 1、解下列方程： （1）415-=x x （2）1 45-=x x ； 解：去分母(各项乘以公分母 ) 解:去分母(各项乘以最简 公分母________ _) ?-=?415 x x 约分得:()()54?=? 约分得：()()x x ?=-?)1( 去括号： 去括号： 移项： 移项： 合并同类项： 合并同类项： 系数化为1： 归纳：解分式方程的思路是将分式方程转化成 ，基本的方法是 (一般是方程两边同乘 ）。且解分式方程必须 。 例1解方程 x x 332=- 例2解方程2)(1(311+-=--x x x x ?-=?145x x
2、解分式方程 1223x x =+ 2510512-=-x x 22411x x =-- 21133x x x x =+++ 例3、若关于x 的方程 021 1=--+x ax 无解，求a 的值 3、课后作业 1、=a 时，关于x 的方程 53221+-=-+a a x x 的解为零； 2、若关于x 的方程 3232-+=--x m x x 无解，则m 的值为 。 3、若代数式11 2--x 的值为零，则=x 4、若11-x 与1 2+x 互为相反数，则可得方程 ，解得=x 5、解方程： （1）1332+=-a a （2）88122-=--m m m （3） 22510x x x x -=+-
(人教版)八年级数学分式方程测试题及答案
16.3.1 分式方程 同步测试 ◆知能点分类训练 知能点1 分式方程 1．下列方程中分式方程有（ ）个． (1)x 2-x+1x (2)1a 2010 3(4) x x y x y x -=-+-=1 A ．1 B ．2 C ．3 D ．以上都不对 2．下列各方程是关于x 的分式方程的是（ ）． A ．x 2 +2x-3=0 B ．2221 5(0). 5x x x a C a x --=≠=-3 D ．ax 2+bx+c=0 3．观察下列方程： 2111 43882(1) 1.6;(2)1;(3)1;(4).0.30.51132 x x x x x x x x x +--++-=+=-==-- 其中是关于x 的分式方程的有（ ） A ．（1） B ．（2） C ．（2）（3） D ．（2）（4） 知能点2 分式方程的解法 4．解方程：（1） 21;2 x x =- 15(2) 1 x x x x ++ + （3）22122563 x x x x x x x --=--+-。 5．解下列分式方程: （1） 22 14236 1;(2)11111 x x x x x x +-=+=--+--. 6．解方程：4578 5689 x x x x x x x x -----=- ----． 7．解下列关于x 的方程:
（1） 1(1);(2)1 a m n b b x a x x +=≠- -+=0（m ≠0）． 8．解方程：2155 ()14x x x x ---= ． 9．在式子50 s s a a b +=+中，s>0，b>0，求a ． ◆规律方法使用 10．已知关于x 的方程 4433x m m x x ---= --无解，求m 的值． 11．a 为何值时，关于x 的方程223 242 ax x x x += --+会产生错误？ 12．已知分式方程21 x a x +-=1的解为非负数，求a 的取值范围． ◆开放探索创新 13．阅读并完成下列问题：通过观察，发现方程x+1x =2+12 的解是x 1=2， x 2=12；x+1 x =3+13 的解是x 1=3，x 2=13；x+1x =4+14 的解是x 1=4， x 2=1 4 ，… （1）观察上述方程的解，猜想关于x 的方程x+1x =5+15 的解是_______． （2）根据上面的规律，猜想关于x 的方程x+1x =c+1c 的解是______． （3）根据上面的规律，可将关于x 的方程2221 111 x x a x a -+=-+--变形为_______，方程的解是_________，?解决这个问题的数学思想是_________． ◆中考真题实战 14．解方程： 31144x x x --=--; 15．解方程：54 1x x -+=0． 16．解方程：21133x x x -=---; 17．解方程：53 11x x = -+． 18．解方程：25 2112x x x + --=3． 答案:
八年级上册数学-分式方程教案
2.5.1可化为一元一次方程的分式方程 一 教学目标: (一) 知识教育点 1. 理解分式方程的意义,掌握分式方程的一般解法. 2. 了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握验根的方法. (二) 能力训练点 1. 培养学生的分析能力. 2. 训练学生的运算技巧,提高解题能力. (三) 德育渗透点 转化的数学思想. (四) 美育渗透点. 通过本节的学习,进一步渗透化归的数学美. 二 学法引导: 1. 教学方法: 演示法和同学练习相结合，以练习为主． 2. 学生学法:选择一个较简单的题目入手,总结归纳出解分式方程的一般步骤.. 三 重点 难点 疑点及解决办法: (一) 重点 分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想的渗透. (二) 难点 了解产生增根的原因,掌握验根的方法. (三) 疑点 分式方程产生增根的原因. (四) 解决办法 注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法. 四 课时安排: 一课时 五 教具准备: 投影仪 六 教学过程: (一) 课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程16 3242=--+x x 2．提出P53的问题 李老师的家离学校3千米,某一天早晨7点30分,她离开家骑自行车去学校.开始以每分钟150米的速度匀速行驶了6分钟,遇到交通堵塞,耽搁了4分钟;然后她以每分钟v 米的速度匀速行驶到学校.设她从家到学校总共花的时间为t 分钟. 问: (1) 写出t 的表达式; (2) 如果李老师想在7点50分到达学校,v 应等于多少? 分析:① 李老师在遇到交通堵塞时,已经走了多少米?还剩下多少米? ② 剩下的这一段路需要多少分钟? ③ 如果李老师想在7点50分到达学校,那么她从家到学校总共花的时间t 等于多少? 由此可以得出:
北师大版八年级数学下册分式方程练习试题及答案1
A x 兀 10 5 A. B . Tl X X X -6 1 1 4.如果 ------ 与 ----- 互为相反数，则 X = X —1 X +1 C. 3X ~2 " X 1 D. 40 4 40 口 5?方程 的解是 ____________ . X 3 3X 4 — 2x x — 5 6 ?当x= _____ 时，分式 的值与 的值相等. 4 —x x —4 7.若分式方程2（x _a ） 一2 的解为x=3，则a 的值为 ____________ a （x -1） 5 1 1 — x &如果方程 3 有增根，那么增根是 . x —2 2—x 9.若分式 x …x 亠12 笃 的值为1,则 x 6x -9 x = 10.方程 J 笃 二的根的情况，说法正确的是（ X - X 1 - X X + X A . 0是它的增根 B . - 1是它的增根 C .原分式方程无解 ） D .1是它的根 11.某煤厂原计划X 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产 3吨，因此提前2天完成任 120 120 c 120 120 120 120 c 120 120 c A.- 3 B . 3 C . 3 D . 3 x -2 X X x 2 x+2 x x x -2 、能力提升 12. m 取 时, 方程 X -2 m 会产生增根. x -3 x —3 13.已知一J 与一L 的和等于—匕，则a b = x +2 x -2 x 2 _4 14.若关于x 的方程?坐」一1 =0有增根，则a 的值为 _____________ x _1 、目标导航 1. 分式方程的定义. 2. 掌握解分式方程的一般步骤. 3. 了解解分式方程验根的必要性. 、基础过关 1.解分式方程的基本思想是把分式方程化为 ______________ ，最后要注意 __________ 1 1 1 2?分式方程」 丄 詁 去分母时，两边都乘以 X -1 X +1 X _1 3?下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） 3. 4 分式方程（1） 务，列出方程为（ ）
初二分式方程计算题
解分式方程． 解方程： 解： 两边同时乘以（x-3）得 解方程：.【原创】 去分母得：………………………………………………………………4分解得：………………………………………………………………………5分 x=1是增根，原方程无解 x=-7
解分式方程：－=3 x=3 ； x＝－２ 解方程． 解：方程两边同乘（x＋1）（ x－1），得――――――――――――――－１ 解方程； x 解方程：． 解：原方程变形为┄┄2′ 方程两边都乘以去分母得：x―1＝2X ┄┄4′
解方程： 解方程： 解：…1分 两边同时乘以（x-3）得 解分式方程：. 解：方程两边同乘以最简公分母 得 经检验：不是原方程的根，原方程无解
解分式方程． 解：在方程两边同乘， 整理并解得， 检验：当时，， 所以是增根， 故原方程无解． 解方程： （1）解：方程两边同乘以，得．解这个方程，得． 检验：将代入原方程，得左边右边． 所以，是原方程的根． ． 解析：原式=
= ． ； 解析：原式= =． 点评：①学习了解分式方程之后，在进行分式的化简计算时，易错将本该通分的运算变成了去分母；②进行分式的化简计算应进行到最简分式为止，本题还易错将当成最后结果． 解方程． 解：原方程变为：…………1分 去分母，得…………2分 移项合并同类项，得…………3分 系化为1，得…………4分 检验：把代入＝－1≠0，…………5分 ∴是原方程的解．…………6分
． 答案： ； ； 增根，无解 ； ． 将原程化为． 两边同时乘以，得． 解这个方程，得． 检验：将代入原方程，得左边．
人教版八年级上册分式方程练习及解析
第八讲 分式方程 考点综述： 中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法，会检验分式方程的根，分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。 典型例题： 例1：解方程： （1）（2007连云港） 11322x x x -=--- （2）（2007德州）解方程：120112x x x x -+=+- （3）（2007宁波）解方程21124x x x -=-- 解：（1）方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----． 解这个方程，得2x =． 检验：当2x =时，20x -=，所以2x =是增根，原方程无解 （2）两边同乘以(1)(12)x x +-， 得(1)(12)2(1)0x x x x --++=； 整理，得510x -=； 解得 15 x = ． 经检验，15x =是原方程的根． （3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x 2-4)=1， 化简，得2x=－3 x=－3/2， 经检验，x=－3/2是原方程的根． 例2：（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队 单独完成此项工程所需天数的45 ，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天， 则乙施工队单独完成此项工程需45 x 天， 根据题意，得 10x ＋1245x ＝1
解这个方程，得x ＝25 经检验，x ＝25是所列方程的根 当x ＝25时，45 x ＝20 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天． 实战演练： 1.（2008安徽）分式方程112 x x =+的解是（ ） A . x=1 B . x =－1 C . x=2 D . x =－2 2.（2008荆州）方程21011x x x -+=--的解是（ ） A .2 B .0 C .1 D .3 3.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ． 12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213 x m x +=--无解． 5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_________________________________． 6.（2008泰州）方程 22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程： （1）（2008赤峰）2112323x x x -=-+ （2）（2008南京）22011 x x x -=+- 8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
初二数学分式方程练习题及答案
分式方程 1．分式方程2x =3的解是________；分式方程5231x x =-的解是________． 2．已知公式 1221P P V V =，用P 1、P 2、V 2表示V 1=________． 3．已知y=46mx n x -，则x=________． 4．一项工程，甲单独做需m 小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ） A ．2020m m -小时 B ．2020m m +小时 C ．2020m m -小时 D ．2020m m +小时 5．（数学与生产）我市要筑一水坝，需要规定日期内完成，如果由甲队去做，?恰能如期完成，如果由乙队去做，需超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后，?余下的工程由乙队独自做，恰好在规定日期内完成，求规定的日期x ，下面所列方程错误的是（ ） A ． 2x +3x x +=1 B ．2x =33 x + C ．（1x +13x +）×2+13x +（x-2）=1 D ．1x +3x x +=1 6．（综合题）物理学中，并联电路中总电阻R 和各支路电阻R 1、R 2满足关系 1R =11R +21R ，若R 1=10，R 2=15，求总电阻R ． 7．为改善环境，张村拟在荒山上种植960棵树，由于共青团员的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程________． 8．某河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，船往返一次所用的时间为（ ） A ．2s a b + B ．2s a b - C ．s a +s b D ．s a b ++s a b - 拓展创新题 9．（数学与生产）用35克盐配制成含盐量为28%的盐水溶液，则需要加水多少克？ 10．（数学与生产）某车间有甲、乙两个小组，?甲组的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此，甲组加工2 000个零件所用的时间比乙组加工1 800?个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？
八年级数学分式方程练习题
八年级数学下册《分式方程》练习题 一 ;填空题 1.当x =___＿__时, 15x x ++的值等于12． 2.当x =＿＿____时，424x x --的值与54 x x --的值相等． 3.若11x -与11x +互为相反数,则可得方程___＿＿_____＿,解得x =_________. ４.若方程 212 x a x +=--的解是最小的正整数，则a 的值为_＿＿＿____. ５． 分式方程2131 x x =+的解是___＿_____ ６. 若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a = . 二、选择题 7．下列方程中是分式方程的是( ） （A ） (0)x x x ππ=≠ (Ｂ)111235x y -= （Ｃ）32x x x π=+ （D)11132 x x +--=- 8．解分式方程12133x x x +-=，去分母后所得的方程是( ） (A)13(21)3x -+= (B)13(21)3x x -+= （C ）13(21)9x x -+= （D)1639x x -+= 9.．化分式方程 2213405511x x x --=---为整式方程时，方程两边必须同乘( ） (Ａ)22(55)(1)(1)x x x --- （B)25(1)(1)x x -- (C ）25(1)(1)x x -- （D ）5(1)(1)x x +- １0.下列说法中错误的是（ ） (A)分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解
（B ）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程 （Ｃ）检验是解分式方程必不可少的步骤 (D)能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解． １１.解分式方程2236111 x x x +=+--，下列说法中错误的是（ ) （Ａ）方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x +- (B)方程两边乘以(1)(1)x x +-,得整式方程2(1)3(1)6x x -++= (C)解这个整式方程,得1x = (D) 原方程的解为1x = 1２．下列结论中，不正确的是（ ） （A ）方程231x x = +的解是2x = (B)方程2311 x x =+-的解是5x =- Ｃ)方程2122 x x x =-++的解是4x = （D)方程3233x x x =+--的解是3x = 13.关于x 的方程 211x a x +=-的解是正数,则ａ的取值范围是 A ．a >－1 B.ａ>－1且a ≠０ C.a ＜－１ D ．a ＜-１且ａ≠-２ 三、解答题 １４.解方程：(１) 512552x x x +=-- （2） 2373226x x +=++ (３） 2236111 x x x +=+-- (4) 214111x x x +-=--
(完整版)初二数学分式方程练习题(含答案)
2. 关于x 的分式方程 15 m x =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定 3.方程x x x -=++-1315112的根是（ ） A.x =1 B.x =-1 C.x =8 3 D.x =2 4.,04412=+-x x 那么x 2的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 D.-1 6. .赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是 ( ) A. 21 140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21140140++x x =14 D.211010++x x =1 8.若方程,) 4)(3(1243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为（ ） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1 13.分式方程02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为 . 16.已知,54=y x 则=-+2 22 2y x y x . 19.当=m 时，关于x 的方程3 13292-=++-x x x m 有增根. 20. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度
八年级数学分式方程测试
16．3 分式方程（1） 知识领航： 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘以最简公分母． 一般地，解分式方程时，去分母所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解（即原方程的增根）． 解分式方程的一般步聚是：（1）去分母，把分式方程化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根；（4）结论． e 线聚焦 【例】 解分式方程 1 412112-=-++x x x . 分析：先将各分母分解因式，找出最简公分母，再去分母，转化为整式方程求解，要注意检验． 解：去分母，方程两边同乘以最简公分母)1)1(-+x x ，得 4)1(2)1(=++-x x 解这个整式方程得，1=x 检验：把1=x 代入最简公分母)1)1(-+x x ，发现)1)1(-+x x =0∴1=x 不是原方程的解，应舍去，∴原方程无解． 双基淘宝 ◆仔细读题，一定要选择最佳答案哟！ 1.满足方程2 211-=-x x 的x 值是( ) A.1 B.2 C.0 D. 没有 2.已知)1(≠--= e a n a m e ,则a 等于( ) A.e n m --1 B.e me n --1 C.e ne m --1 D.以上答案都不对. 3.分式方程2 3416242+-=---x x x 的解为( ) A.0=x B.2-=x C.2=x D.无解. 4.若分式方程x x k x x x k +-=----2225111有增根1-=x ,那么k 的值为( ) A.1 B. 3 C.6 D. 9 5.若方程k x x +=+233有负数根,则k 的取值范围是__________.
八年级上册数学分式方程应用题及答案
八年级上册数学分式方程应用题及答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
八年级数学下分式方程应用练习1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工 2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克 3、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。 4、小兰的妈妈在供销大厦用元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶 5、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。 ⑴求这种纪念品4月份的销售价格。 ⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元 6、、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款万元，乙工程队款万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天； 方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。 试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款请说明理由。7、一个分数的分母比分子大7，如果把此分数的分子加17，分母减4，所得新分数是原分数的倒数，求原分数。 8、今年某市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也行动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少 9、、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍。⑴试销时该品种苹果的进价是每千克多少元 ⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元 10、某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导。⑴甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品 ⑵该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品
八年级数学上册《分式的概念》教案
八年级数学上册《分式的概念》教案 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质 难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？ （交流讨论） （1）每位小朋友分 34 （2）分法： ① 每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的34 ② 为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这六块占一个苹果的68 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（ 36=48，即：3326==4428??）由此表明了什么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为： 3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 3 34n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？
这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。（2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母 含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ? 3 分式的值为零的条件和分式有意义的条件 例1 求分式 5 6 x x - + 的值，（1）x=3, (2)x= 2 5 - 思考：（1）要是分式 5 6 x x - + 的值为零，x应等于多少？要使分式 (5) (6)(-5) x x x - + 的值为零，x 应等于多少？ 分式值为零的条件是什么？（分子为零，分母不等于零）
八年级分式方程练习题(2018版含答案)
八年级分式方程练习题（2018版含答案） 基础巩固 一、选择题 1．下列关于x 的方程是分式方程的为( ) A ． B ． C ． D ． 2．解分式方程，下列四步中，错误的一步是( ) A ．方程两边分式的最简公分母是x 2－1 B ．方程两边同乘(x 2－1)，得整式方程2(x －1)＋3(x ＋1)＝6 C ．解这个整式方程得x ＝1 D ．原方程的解为x ＝1 3．当x ＝__________时，与互为相反数． 4．把分式方程化为整式方程为__________． 5．解下列分式方程： 2 3356x x ++-=1 37x x a +=-+x a b x a b a b -=-2 (1)11x x -=-2236 111x x x +=+--25x x --1 x x +1 222x x x +=--
(1)； (2) . 6．甲、乙两个火车站相距1 280 km ，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11 h ，求列车提速后的速度． 能力提升 7．若分式方程的解是2，则a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．已知关于x 的分式方程的解是非正数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤－1 B ．a ≤－2 C ．a ≤1且a ≠－2 D ．a ≤－1且a ≠－2 9．方程，则的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 10．某工地调72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，调配劳动力使挖出来的土能及时运走且不窝工，解决此问题可设派x 人挖土，其他人运土，列方程①；②；③x ＋3x ＝72；④，上述方程中，正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 32322 x x x +=+-81877x x x --=--22 ax x =+211 a x +=+24410x x -+=2x 7213x x -=723x x -=372x x =-