中考数学压轴题专项练习：圆的证明与计算题及答案

题库:圆的证明与计算题

1.如图，AB是⊙O的直径，点D是AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE 交于点F.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长．

第1题图

(1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，

∴∠EAB＝∠CBE，

∴∠ABE＋∠CBE＝90°，

∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

∴BC是⊙O的切线；

(2)解：∵BD平分∠ABE，

∴∠ABD＝∠DBE，

如解图，连接DO，

第1题解图∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∵∠EBD＝∠OBD，

∴∠EBD＝∠ODB，

∴OD∥BE，

∴PD

PE

＝PO

PB

，

∵P A＝AO，

∴P A＝AO＝OB，

∴PO

PB

＝2

3

，

∴PD

PE

＝2

3

，

∴

PD

PD＋DE

＝2

3

，

∵DE＝2，

∴PD＝4.

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若AE＝4，cos A＝2

5

，求DF的长．

第2题图

（1）证明：如解图，连接OD，

第2题解图∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠B，

又∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC＝90°，

∴∠ODF＝∠DFC＝90°，

∵OD是⊙O的半径，

G

∴DF 是⊙O 的切线；

(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ， ∴AG ＝1

2AE ＝2. ∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝2

5， ∴OA ＝5，

∴OG ＝OA 2－AG 2＝21， ∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°， ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21.

3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .

(1)求证：AD ＝AN ；

(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．

第3题图

(1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，

∴∠AEN ＝∠AMC ＝90°， ∵∠ANE ＝∠CNM ， ∴∠BAM ＝∠BCD ， ∴∠BAM ＝∠BAD ， 在△ANE 与△ADE 中， ????

?∠BAM ＝∠BAD AE ＝AE

∠AEN ＝∠AED

， ∴△ANE ≌△ADE (ASA)， ∴AN ＝AD ；

(2)解：∵AB ＝42，AE ⊥CD , ∴AE ＝1

2AB ＝22， 又∵ON ＝1，

∴设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，OD ＝OE ＋ED ＝2x －1，

如解图，连接AO ，则AO ＝OD ＝2x －1，

第3题解图

∵△AOE 是直角三角形，AE ＝22，OE ＝x －1，AO ＝2x －1，

∴(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，

解得x1＝2，x2＝－4

3(舍)，

∴AO＝2x－1＝3，

即⊙O的半径为3.

4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.

(1)求证：∠1＝∠F；

(2)若sin B＝

5

5

，EF＝25，求CD的长．

第4题图

（1）证明：如解图，连接DE.

第4题解图

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DEB＝90°.

∵E是AB的中点，

∴DA＝DB，

∴∠1＝∠B.

∵∠B＝∠F，

∴∠1＝∠F；

(2)解：∵∠1＝∠F，

∴AE＝EF＝25，

∴AB＝2AE＝4 5.

在Rt△ABC中，AC＝AB·sin B＝4，

∴BC＝AB2－AC2＝8.

设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.

在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，

即42＋x2＝(8－x)2，

解得x＝3，

∴CD＝3.

5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE 的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B ，作ABCD，连接BE，DO，CO.

(1)求证：DA=DC；

(2)求∠P及∠AEB的度数

.

第5题图

（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD ∥BC ，

∵CB ⊥AE ， ∴AD ⊥AE ， ∴∠DAO ＝90°，

又∵直线DP 和⊙O 相切于点C ， ∴DC ⊥OC ， ∴∠DCO ＝90°，

∴在Rt △DAO 和Rt △DCO 中，

??

?DO ＝DO

AO ＝CO

， ∴Rt △DAO ≌Rt △DCO (HL)， ∴DA ＝DC ；

(2)解：∵CB ⊥AE ，AE 是⊙O 的直径， ∴CF ＝FB ＝1

2BC ，

又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ， ∴CF ＝1

2AD ， 又∵CF ∥DA ， ∴△PCF ∽△PDA ，

∴PC PD ＝CF AD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD .

由(1)知DA ＝DC ， ∴DA ＝1

2PD ，

∴在Rt △DAP 中，∠P ＝30°. ∵DP ∥AB ，

∴∠F AB ＝∠P ＝30°， 又∵∠ABE ＝90°，

∴∠AEB ＝90°－30°＝60°.

6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E . (1)求证：∠ABD ＝∠ADE ；

(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝20

3，求CE 的长．

第6题图

（1）证明：如解图，连接OD

.

第6题解图 ∵DE 为⊙O 的切线，

∴OD ⊥DE ，

∴∠ADO ＋∠ADE ＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°. ∴∠ADE ＝∠ODB ， ∵OB ＝OD ， ∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠ABD ＝∠ADE ;

(2)解：∵AB ＝AC ＝2×256＝25

3，∠ADB ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠C ，BD ＝CD . ∵O 为AB 的中点， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC ， ∵OD ⊥DE ， ∴AC ⊥DE ， 在Rt △ACD 中， CD ＝

AC 2－AD 2＝

（253）2－（20

3）2＝5，

∵∠C ＝∠C ，∠DEC ＝∠ADC ＝90°， ∴△DEC ∽△ADC ，

∴CE

DC

＝DC

AC

，即CE

5

＝5

25

3

，

∴CE＝3.

7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．

第7题图

(1)证明：如解图①，连接OD，

第7题解图①

则∠DOB＝2∠DCB，

又∵∠A＝2∠DCB，

∴∠A＝∠DOB，

又∵∠A＋∠B＝90°，

∴∠DOB＋∠B＝90°，

∴∠BDO＝90°，

即OD ⊥AB ，

又∵OD 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线．

（2）解：如解图②，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连接DE ，

第7题解图②

∵OD ＝OE ＝BE ＝1

2BO ，∠BDO ＝90°， ∴∠B ＝30°， ∴∠DOB ＝60°， ∴∠DCB ＝30°， ∴OC ＝2OM ＝2， ∴OD ＝2，

∴BD ＝OD tan60°＝2 3.

8.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接P A ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D . (1)求证：P A 是⊙O 的切线；

(2)若cos ∠CAO ＝4

5，且OC ＝6，求PB 的长．

（1）证明：如解图，连接OB，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵OP⊥AB，

∴AC＝BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴P A＝PB，

∴∠P AB＝∠PBA，

∴∠P AO＝∠PBO.

∵PB为⊙O的切线，

∴∠OBP＝90°，

∴∠P AO＝90°，