对坐标的曲线积分习题解析
第二型曲线积分
§2 第二型曲线积分 教学目的：掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学要求：(1)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别． (2)了解两类曲线积分的联系． 教学建议：(1) 要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式． （2）两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方面习题 教学程序： 一. 第二型曲线积分的定义: 1. 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功: 一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C 运动,当质点从C 之一端点A 移动到另一端B 时,求力F(x,y)所做功W. 大家知道,如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s.那末这个常力所做功为 W=||F||||s||cos θ 其中||F||.||s||分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角 现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法). 为此,我们对有向曲线C 作分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内 插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与 A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向 小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以Si ? 记为小曲线段i i M M 1-的弧长.}max{Si ?=λ 设力F(x,y)在x 轴和y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与Q(x,y) 即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j 由于),,().,(111i i i i i i y x M y x M --- 记11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x 和i i m C 1-=(),(y x ??) 从而力F(x,y)在小曲线段i i M M 1-上所作的功 i W ),(i F ηξ≈i i m C 1-= P(j i ηξ,)i x ?+Q (j i ηξ,)i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力F 沿C(AB)所作的功可近似 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),()),((ηη 当0→λ时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限,得
双曲线专题经典练习及答案详解
双曲线专题 一、学习目标： 1.理解双曲线的定义； 2.熟悉双曲线的简单几何性质； 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于 2 1F F ）的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e （＞1）的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤，R y ∈ R x ∈，a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B 焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ，其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习
1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.1 2 B ．1或－2 C ．1或1 2 D ．1 2.已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2 ＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 2 7＝1 D.x 27－y 2 3＝1 5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________． 6.已知双曲线x 26－y 2 3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56
第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分的计算 1、定义 定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i n i 1s max T ，在i L 上任取一点 (i ,).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n 1 i i 0T 且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为 J s ),,(f lim i i i n 1 i i 0T ，(此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T , J 为一常 数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2） 2、物理意义 （1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i 由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i ） i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和 式
双曲线经典例题讲解
第一部分 双曲线相关知识点讲解 一．双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨 迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中 |1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的外部： (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质 22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R
练习112(对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系) - 答案
练习册 112 对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系（答案） 1、设L 是xoy 平面内直线a x =上的一段，求()?=L dx y x P I ,。 解：a x = ，0=dx ， ()0,==∴?L dx y x P I 。 2、设L 是xoy 平面内直线a y =上的一段，求()?=L dy y x Q I ,。 解：a y = ，0=dy ， ()0,==∴?L dy y x Q I 。 3、设L 是xoy 平面内x 轴上从点()0,a 到点()0,b 的一直线段，求()?=L dx y x P I ,。 解：因为L ：0=y ，x 从a 变化到b ， 所以()()??==b a L dx x f dx y x P I 0,,。 4、计算?=L xydx I ，其中L 为圆周()()0222 >=+-a a y a x 及x 轴所围成的在第一象限内的区域的按照逆时针方向的整个边界。 解：令从点O 到点A 的有向直线段为1L ，从点A 到点O 的有向半 圆弧（第一象限内）为2L （如右图所示），有21L L L +=， 又因为1L ：0=y ，x 从0变化到a 2， 2L ：θcos a a x =-，θsin a y =，θ从0变化到π， 所以，()()?????-++?=+==π θθθθ020sin sin cos 021d a a a a dx x xydx xydx xydx I a L L L ()πππππθθθθθθθθθθθ 0 32022022022022 sin 31sin 2sin cos sin sin cos 1??????--=--=+-=????d a d a d a d a 222 2212a a ππ-=??-=。
空间曲线积分的计算方法
空间曲线积分的计算方法 (1)曲线积分的计算例1 计算，其中为平面被三个坐标平面所截三角形的边界，若从轴正向看去，定向为逆时针方向．方法一根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数．解法一：设，则，，，则．由曲线积分的定义，有．同理可得： ．所以．方法二将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系．解法二：设，，则，是围成的区域．代入原积分由格林公式得原式．化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算．方法三根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮
助．我们主要在讨论单轮换对称的情形．解法三：由题目特征可知该积分及曲线都具有轮换对称性，因此由对称性知原式．同样由对称性知原式．方法四根据公式求曲线积分 公式建立了空间曲线积分和曲面积分之间的联系，从而将曲线积分和曲面积分有机联系起来． 解法四: 设，方向为上侧，曲面上一点的外法线向量的方向余弦为由公式化为第一型曲面积分得原式．为解法一中所设的点组成的三角形．另解: 根据上面解法中所设，并设为在面上的投影．用公式化为第二型曲面积分得原式 ．用公式将曲线积分化为曲面积分时，若曲面为平面化为第一型曲面积分较简单．
曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)
第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.
（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=
双曲线经典练习题总结(带答案)
双曲线经典练习题总结（带答案） 一、选择题 1．以椭圆x 216＋y 2 9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C ) A ．x 216－y 2 48＝1 B ．y 29－x 2 27 ＝1 C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 2 27＝1 D ．以上都不对 [解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 2 48＝1；当顶点为(0， ±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 2 27＝1. 2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 [解析] 双曲线 2x 2－y 2＝8 化为标准形式为x 24－y 2 8 ＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4. 3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的离心率的取值范围是( C ) A ．(2，＋∞) B ．(2，2 ) C ．(1，2) D ．(1,2) [解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1 a . ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2. ∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1 a 2<2，∴1
第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称 性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P
最新曲线积分与曲面积分习题及答案
第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
圆锥曲线经典例题及总结(全面实用)
圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。
高中数学双曲线经典例题
高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是
4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形
1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型
曲线积分与曲面积分总结
第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α)()()) (),((22 对弧长的曲线积分 (,,)((),(),L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式 = ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的： 2 2 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
():() ()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处 α=t ，终点处β=t 则 原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。 四、对面积的曲面积分 1、 当曲面为 ????++==∑ xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)) ,(,,(),,() ,(μμ 2、 当曲面为 (,) (,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑ ==???? 3、 当曲面为 (,) (,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑ ==????
高中数学《双曲线》典型例题12例(含标准答案)
《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 第五节 对坐标的曲面积分 ㈠本课的基本要求 了解对坐标的曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系，掌握对坐标的曲面积分的计算方法 ㈡本课的重点、难点 对面积的曲面积分的概念为重点，其计算方法为难点 ㈢教学内容 一．对坐标的曲面积分的概念与性质 这里假定曲面是光滑的。 通常我们遇到的曲面都是双侧的。例如由方程),(y x z z =表示的曲面，有上侧与下侧之分（假定z 轴铅直向上）；又例如，一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧与内侧之分。以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的。 在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧。我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧。例如，对于曲面),(y x z z =，如果取它的法向量n 的指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧；又如，对于闭曲面如果取它的法向量的指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧。这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就你为有向曲面。 设∑是有向曲面。在∑上取一小块曲面s ?，把s ?投影到xoy 面上得一投影区域，这投影区域的面积记为xy )(σ?。假定s ?上各点处的法向量与z 轴的夹角γ的余弦γcos 有相同的符号（即γcos 都是正的或都是负的）。我们规定s ?在xoy 面上的投影xy s )(?为 ? ?? ??≡?=?0 cos ,00cos ,)(0 cos ,)()(γγσγσxy xy xy s 其中0cos ≡γ也就是0)(=?xy σ的情形。s ?在xoy 面上的投影xy s )(?实际就是s ?在xoy 面上的投影区域的面积附以一定的正负号。类似地可以定义s ?在yoz 面及zox 面的投影 yz s )(?及zx s )(?。 1．引例： 流向曲面一侧的流量问题 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由 k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ),,(),,(),,(),,(++=给出，∑是速度场中一片有向曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 都在∑上连续，求在单位时间内流向∑指定侧的流体的质 量，即流量Φ。 如果流体流过平面上面积为A 的一个闭区域，且流体在这闭区域上各点处的流速为（常向量）v ，又设n 为该平面的单位法向量（如图a ），那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A 、斜高为v 的斜柱体（如图b ）。 第十章曲线积分与曲面积分 一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。 二、教学内容及学时分配： 第一节对弧长的曲线积分2学时 第二节对坐标的曲线积分2学时 第三节格林公式及其应用4学时 第四节对面积的曲面积分2学时 第五节对坐标的曲面积分2学时 第六节高斯公式通量与散度2学时 第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时 三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数） 第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数） 第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量 双 曲 线 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）. 解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程 为122 22=-b y a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y －55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252 222=--b y .1121322 22=-b y 解方程组???????=-=--(2) 11213(1) 1)55(12252 2 222 2 22b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程 （1）得,1)55125(12252222 =--b b 化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为： .1625 1442 2=-y x 例2. ABC ?中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 2 1sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程． 解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)， )0,2(c ．利用正弦定理，从条件得242 1 =?= -b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为13 2 2=- y x (1>x )． 变式训练3：已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准 线的距离为l . （1）求双曲线的方程； （2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值. 典型例题 §10.5 对坐标的曲面积分 一、曲面的侧、曲面在坐标面上的投影区域 假定我们所讨论的曲面是光滑的，一般来讲，我们所遇到的曲面都是双侧的，曲面侧可以通过曲面上法向量的指向来定义，这种取定了法向量也就选定了侧的曲面，我们称之为有向曲面。 ∑是有向曲面，在∑上取一小块曲面S ?，设γcos 是S ?的法向量与z 轴正向的夹角γ的余弦，y x )(σ?是S ?在xoy 面投影区域的面积值。我们规定：S ?在xoy 面上的投影y x S )(?为 ?? ? ??≡γ<γσ?->γσ?=?0cos ,00cos ,)(0cos ,)()(y x y x y x S 其中0cos ≡γ也就是0)(=σ?y x 的情形。 简言之：S ?在xoy 面上的投影y x S )(?，实际就是S ?在xoy 面上的投影区域的面积附以一定的正负号，即：S S y x ??γ=?cos )(。 类似地可以定义S ?在yoz 面及zox 面上的投影z y S )(?及x z S )(?。 二、流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由 k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ),,(),,(),,(),,(++= 给出，∑是速度场中的一片有向曲面，函数R Q P ,,均在∑上连续，求单位时间内流向∑指定侧的流体的质量，即流量Φ。 先讨论一个特殊情况：如果流体流过平面上面积为A 的一个闭区域，且流体 在该闭区域上各点的流速为（常向量）v ，设n 为该平面的单位法向量。 显然，在单位时间内流过该闭区域的流体组成一个底面积为A ,斜高为v 的斜柱体。 空间曲线积分的计算方法. (1)曲线积分的计算 例1 计算222222()()()C I y z dx z x dy x y dz =-+-+-?，其中C 为平面 1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形的边界，若从x 轴正向看去，定向为逆时针方向． 方法一 根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算 根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数． 解法一：设(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D ，则0,1:==+z y x ，:1,0BD y z x +==，:1,0DA x z y +==，则:C AB BD DA ++．由曲线积分的定义，有 dz y x dy x z dx z y AB )()()(222222-+-+-? 32])1[(0122-=+-= ?dx x x ． 同理可得： 222222()()()BD y z dx z x dy x y dz -+-+-? 2222222()()()3 DA y z dx z x dy x y dz =-+-+-=-?． 所以 2AB BD DA I =++=-???． 方法二 将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系． 解法二：设)0,0,0(O ，OA BO AB L ++:1，则dy dx dz y x z --=--=,1，D 是1L 围成的区域．代入原积分由格林公式得 原式))((])1[(])1([2222221dy dx y x dy x y x dx y x y L ---+---+---=? ??-=-=D dxdy 24． 化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算． 方法三 根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮助．我们主要在讨论单轮换对称的情形． 解法三：由题目特征可知该积分及曲线C 都具有轮换对称性，因此由对称性知 原式dz y x dy x z dx z y )()()(3222222-+-+-=?第五节 对坐标的曲面积分
曲线积分与曲面积分备课教案
双曲线优秀经典例题讲解
(整理)15对坐标的曲面积分.
空间曲线积分的计算方法