平行四边形及其性质讲义讲义

辅导讲义

课题平行四边形及其性质

教学目标1．1理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．

2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．2理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．

3．

重点、难点1平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．

2综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

3平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．

考点及考试要求平行四边形性质, 有关的论证和计算

教学容

一，基础知识

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．

①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；

②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）．

注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角

（3）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．

（4）、平行四边形的对边相等、对角相等．

证明结论：

已知：如图ABCD，

求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．

分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．

（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）

证明：连接AC，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

又AC＝CA，

∴△ABC≌△CDA （ASA）．

∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．

又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，

∴∠BAD＝∠BCD．

由此得到：

平行四边形性质1平行四边形的对边相等．

平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．

五、例习题分析

例1如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，

求证：AF=CE．

分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所

需要的结论．

证明：

六、随堂练习

1．填空：

（1）在ABCD中，∠A=?

50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．

（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．

（3）如果ABCD的长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD=

cm．

2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．

（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）角和是?

360

2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．

（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个

3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．

（2）平行四边形的性质：

①具有一般四边形的性质（角和是?

360）．

②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．

边：平行四边形的对边相等．

2．【探究】：

在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转

180，观察它还和EFGH 重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？

结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

（2）平行四边形的对角线互相平分．

五、例习题分析

例1（补充）已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．

求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

证明：在ABCD中，AB∥CD，

∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．

又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，

∴△AOE≌△COF（ASA）．

∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．

∵ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．

∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．

例2（教材P94的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．

六、随堂练习

1．在平行四边形中，长等于48，

①已知一边长12，求各边的长

②已知AB=2BC，求各边的长

③已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的长的差是10，求各

边的长

2．如图，ABCD 中，AE ⊥BD ，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的长是____ ___cm ． 3．ABCD 一角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的长是__

___cm ．

七、作业

1．判断对错

（1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的围是__ ______．

3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的长是 ．

4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积．

课后练习

平行四边形

一、选择题 1、如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2，则平行四边形ABCD 的长是 ．

G

F

E

D

C

B

A

1题图 2题图 3题图

2、如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连结CG 、CF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）

①△CDF ≌△EBC ②∠CDF ＝∠EAF ③△ECF 是等边三角形 ④CG ⊥AE A ．只有①② B ．只有①②③ C ．只有③④ D ．①②③④

3、如图，在□ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，则ΔCEF 的长为（ ）

A.8

B.9.5

C.10

D.11.5

4、如图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的长为 A ．6 B ．9 C ．12

D ．15

4题图 5题图 6题图

5、如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ） A ．AB CD =

B ．AD B

C = C ．AB BC =

D ．AC BD =

6、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，则下列结论不正确．．．的是 A .S △ADF =2S △EBF B.BF=

2

1

DF C.四边形AECD 是等腰梯形 D. ∠AEC=∠ADC A

B C

D

7、已知四边形ABCD，有以下四个条件：①//

AB CD；②AB CD

=；③//

BC AD；④BC AD

=．从这四个

条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（）

（A）6种（B）5种（C）4种（D）3种

8、点A、B、C是平面不在同一条直线上的三点，点D是平面任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边

形，则在平面符合这样条件的点D有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）.

A、一组对边相等，另一组对边平行；C、一组对角相等，一组邻角互补；

B、一组对边平行，一组对角互补；D、一组对角互补，另一组对角相等。

10、如图2，在□ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为( )

A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm

二、填空题

1．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的长为_______．2．如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．

1题图2题图3题图

3、如图2，四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为 .

（填一个即可）.

4、如图，已知平行四边形ABCD，E是AB延长线上一点，连结DE交BC于点F，在不添加任辅助线的情况下，请补充一个条件，使CDF BEF

△≌△，这个条件是．（只要填一个）

4题图5题图6题图

5、如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取DE=DC，

则∠ECB的度数是 .

6、如图，在ABCD中，已知AB=9㎝，AD=6㎝，BE平分∠ABC交DC边于点E，则DE等

于㎝.

7过□ABCD对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长

F

A

C

D

A

B E

F

D C

D

B

C

A

4

3

2

1图3F E

D C

B A 是 .

8、如图，在平行四边形ABCD 中，CD=10，F 是AB 边上一点，DF 交AC 于点E ，且

的面积

的面积

则CDE AEF EC AE ??=,52= ，BF= .

8题图 9题图

9、如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果AC=14，BD=8，AB=x ，那么x 的取值围是 10 如图4，在图（1）中，A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，在图（2）中，A 2、B 2、C 2分别

是△A 1B 1C 1的边B 1C 1、C 1 A 1、 A 1B 1的中点，…，按此规律，则第n 个图形中平行四边形的个数共有 个.

三、解答

题

1、已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中， 点Ｍ，Ｎ在对角线ＡＣ上，且ＡＭ＝ＣＮ． 求证：四边形ＢＭＤＮ是平行四边形．

D

M

N

2、如图所示，已知□ABCD 中，AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的平分线，求证：四边形AFCE 是平行四边形。

3、已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD?相交于点O ，EF 经过点O 并且分别和AB 、CD 相交于

(3)

(2)

(1)

C 3B 3

A 3

A 2

C 1B 1

A 1

C

B

A

C 2

B 2

B 2

C 2

A

B

C

A 1

B 1

C 1A 2

C 1

B 1

A 1

C

B

A

…

点E、F，又知G、H分别为OA、OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．

4、已知：如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，EF过点O，分别交CB，AD?的延长线于点E，F，求证：AE=CF．

5、已知：如图，△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形，

（1）求证：四边形ADEF?是平行四边形．

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？