《分式方程的应用》教案

《分式方程的应用》教案

一、内容和内容解析

1．内容

列分式方程解决实际问题．

2．内容解析

本节课是在学生已经学习了分式方程的概念并掌握分式方程解法的基础上，进一步探索在实际问题中，如何将等量关系用分式方程表示，从而利用分式方程解决实际问题．所以，本节课的重点是列分式方程解实际问题．

二、目标和目标解析

1．目标

能够分析题意找出等量关系并列分式方程解决实际问题．

2．目标解析

达成目标的标志是：经历探索应用分式方程解决实际问题的过程，掌握分析问题、解决问题的能力，学会把所学知识应用到实际生活的方法．懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，能用所学的知识服务于我们的生活；培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值．

三、教学问题诊断分析

列方程解应用题，不论是行程问题、工程问题，还是其他问题，它们的关键都是分析题意找出相等关系．在确定相等关系时一是要理解一些常用的数量关系，如s=vt等，另外要反复读题，弄清题意，抓住关键字做文章．所以，本节课的难点是列分式方程表示实际问题中的等量关系．

四、教学过程设计

（一）复习导入

1．解分式方程的一般步骤：

（1）去分母；

（2）解整式方程；

（3）检验；

（4）得出结论．

2．列方程解决实际问题的步骤是什么？

（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）答．

3．我们所学过的应用题类型：

（1）行程问题：基本公式：路程=速度×时间，而行程问题中又分相遇问题、追及问题；

（2）数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法．

（3）工程问题：基本公式：工作量=工时×工效．

（4）顺水逆水问题：

顺流速度=静水速度+水流速度；

逆流速度=静水速度-水流速度．

（5）基本公式：售价-进价=进价×利润率．

设计意图：引导学生回忆有关内容，为顺利完成本节课的任务做好准备．（二）例题解析

【例1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的1

3

，这时

增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？

分析：甲队1个月完成总工程的1

3

，设乙队单独施工1个月能完成总工程的

1

x

，那么甲

队半个月完成总工程的1

6

，乙队半个月完成总工程的

1

2x

，两队半个月完成总工程的

11

62x

+．

解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的1

x

，记总工程量为1，根据工程的实际进度，

得

111

1

362x

++=．

方程两边同乘6x，得

2x+x+3=6x．

解得x=1．

检验：当x=1时6x≠0．

所以，原分式方程的解为x=1．

由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的1

3

，

可知乙队施工速度快．

思考：列分式方程解应用题的步骤是什么？与列整式方程解应用题的过程有什么区别和联系？

（1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出等量关系；

（2）设：设未知数（要有单位）；

（3）列：依据等量关系，列出相应的分式方程；

（4）解：解方程；

（5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意；

（6）答：写出答案（要有单位）．

列整式方程解应用题的方法和步骤对于列分式方程解应用题也适用，所不同的是列分式方程解应用题时多了一步检验．

【例2】某次列车平均提速v km /h 时．用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度是多少？

分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前的平均速度为x km/h ，则提速前列车行驶s 千米所用的时间为s x

h ，提速后列车的平均速度为(x +v ) km/h ，提速后列车行驶(s ＋50) km 所用的时间50s x v

++ h ． 解：设提速前列车的平均速度为x km/h ，由题意得

50s s x x v +=+．

方程两边乘x (x +v )，得

s (x +v )=x (s +50)． 解得50

sv x =． 检验：由v ，s 都是正数，得50sv x =

时x (x +v )≠0． 所以，原分式方程的解为50

sv x =． 答：提速前列车的平均速度为50

sv km/h ． 此例中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．此例中列出的方程是以x 为未知数的分式方程，其中v ，s 是已知常数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．

设计意图：引导学生善于把生活语言转化成数学语言，从中找出等量关系．通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力．

（三）课堂练习

1．某施工单位准备对运河一段长2 240 m 的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20 m ，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤x m ，则得方程为 ．

2．张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量．