五年级数学培优班讲义5 长方体和正方体的体积

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第五讲：正方体与长方体的体积

【专题知识点概述】

1、长方体\正方体体积

V=abhV=Sh =底面积×高或长方体体积=长×宽×高长长3V=aV=Sh =棱长×

棱长×棱长或正方体体积正正在解较复杂的组合图形（长方体或者正方体）的体积（容积）题目时，首先要看清题意，所求形体是由哪些形体组成，再灵活运用体积（容积）公式来解答。

【典型例题】

【例1】凯欣家里有一个长方体形状的鱼缸，长4分米，宽3分米，里面只注入了2分米深的水。一天爸爸买回了一块假山，当凯欣把假山放入金鱼缸后（假山全部浸入水中），水面立即上升了6厘米，你知道这块假山的体积是多少？

解题思路鱼缸中放入假山后水面上升，说明假山在鱼缸中挤占了水的得空间，可知上升部分水的体积就等于假山的体积。

解：4×3×0.6=7.2（立分分米）

答：这块假山的体积是7.2立分分米

巩固训练1

1、一个正方体玻璃鱼缸长2分米，向鱼缸内倒入5升水，再把一块石头放入水中，石头完全被水浸没，这时量得鱼缸内水深15厘米，问放入的石头体积是多少立方厘米？

2、小红想测量一个铁球的体积，于是把它放进一个地面长20厘米，宽15厘米的长方体容器中，铁球完全被水埋没，水面上升了4厘米，铁球的体积是多少立方厘米？

3、兰兰想测一个石块的体积，将石块放入棱长是8厘米的一个正方体玻璃容器内，向容器中倒入水，将石块完全埋没，测得水深6厘米，然后将石块从水中取出，测得水深3厘米，你能帮助兰兰算出这个石块的体积是多少吗？

【例2】如右图，从长为13厘米，宽为9厘米的正方形硬纸板的四角剪掉边长为3厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？

由图可知，长方体底面的长为：13-3×解题思路2=(7厘米）

长方体底面宽为9-3×2=3（厘米）

长方体的高为3厘米

所以长方体体积为：V=7×3×3=63(立方厘米）

解：V=(13-3×2)×(9-3×2)×3=63(立方厘米）

答：这个纸盒的体积是63立方厘米。

巩固训练2

1、如图所示，从长为20厘米，宽为10厘米的长方形硬纸板的四角剪掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？

2、一个长方形的铁皮，从四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，已知长方体铁盒的长是8分米，宽是6分米，高是3分米，这块长方形铁皮的面积是多少平方米？

【例3】一个长方体木块，从上部和下部分别截去高为4厘米和3厘米的长方体后（如右图)，便成为一个正方体，表面积减少了140平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？

解题思路由题意可知，表面积减少140平方厘米，这140平方厘米就是截去高为（4+3）厘米、底面为正方形的长方体的侧面积。由侧面积=底面积×高，可求出正方体的底面周长，由此，可求出正方体的棱长，从来求出原长方体的体积。

解：140÷（4+3）=20（厘米）……正方体底面周长

20÷4=5（厘米)……正方体棱长

5×5×（5+4+3）=300(立方厘米)

答：原长方体的体积是300立方厘米。

巩固训练3

1、一个正方体的高增加3厘米，得到的长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了60平方厘米，求原正方体的体积是多少？

【例4】如图，在一个棱长为4厘米的正方体中，沿着上下方向，前后方向，左右方向挖穿，各挖出一个小长方体A,B,C.剩下部分的体积是多少立方厘米？

：由于剩下的部分是不规则的形体，很难直接求出体积，我们可以换个角度考虑，先求出挖解题思路

出部分的体积，再从正方体的体积里减去挖出部分的体积，从而得到剩下部分的体积。

解：A和B共挖出的体积：1×4×2×2=16(立方厘米)，

挖出时C与A、B各有2个体积是1立方厘米的小正方体交叉重

复，只挖出：1×4×2-2×2=4，

（立方厘米）一共挖出的体积：16+4=4

（立方厘米）×4-20=44剩下部分的体积：4×4

44立方厘米。答：剩下部分的体积是

4

巩固训练在每个面的中心位置都有3厘米的木块，宽4厘米，高1、有一个长5厘米，厘米的正方形，求出这个长方体木块的一个直穿对面的洞，洞口是边长为1 体积和表面积分别是多少？

厘米的长方体木块，在左右两个面的中心位置挖出了一个直穿对面6厘米，宽8厘米，高2、有一个长10 分米的正方形。这个木块的体积和表面积分别是多少？的洞口，洞口是边长为1

分米的正方体铁块，熔铸成一块长方体铁块，它的横截面是边长为86分米和【例5】把两块棱长分别为分米的正方形，这个长方体铁块长多少分米？4：在铁块熔铸的过程中，铁块的形状，表面积等发生了改变，但铁块的总体积保持不变，因解题思路，这也是熔铸后长方8=728（立方分米）8×8××此我们可以先求出原来两块铁块体积之和，即66×6+8×体铁块的体积，要求出他的长，只要用体积除以横截面积即可。分米）×4)=45.5(××88÷(4××解：66×6+88 45.5分米。答：这个长方体铁块长5

巩固训练平方分米的长方体铁块，这个铁块的长是多25101、把一个棱长分米的正方体铁块熔铸成一个横截面是少？

米的水池中，水池中水深多少米？米，深米，宽方水倒入一个长、将21501081.5

3、有甲乙两个玻璃容器，甲容器长8分米，宽6分米，里面装满5分米高的水，乙容器的长是12分米，宽是5分米，高是10分米，将甲容器中的水倒入乙容器中，水面距离容器口多少分米？

【例6】有384立方厘米的水倒入甲、乙两个长方体玻璃容器中，已知甲长方体玻璃容器的长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，乙容器的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，要使两个容器中的水面同样高，这个高是多少厘米？

解题思路：题中告诉我们两个容器，可以分别求出两个容器的底面积，因为两个容积的水面同样高，我们可以将两个容器看做一个整体，看做一个容器，这个容器的底面积就是甲、乙两个容器

底面积之和。用水的体积除以两个容器底面积之和，就是两个容器中水得高度。

解：甲容器底面积：10×8=80（平方厘米）乙容器底面积=8×6=48（平方厘米）两个容器底面积之和：80+48=128（平方厘米）

两容器中水面高度：384÷128=（3厘米）

答：这两个容器中水面高是3厘米。

巩固训练6

1、甲长方体容器厂8厘米，宽5厘米，高7厘米，乙长方体容器长10厘米，宽6厘米，高8厘米。现在甲容器空着，乙容器中水深6厘米，把乙容器中的一部分水倒入甲容器中，使两个容器中水面一样高，这时两个容器中水深多少厘米？

2、甲、乙两个棱长分别为8厘米和6厘米的正方体水箱，其中甲水箱内水深3厘米，乙水箱内水深2厘米。现将126毫升水倒入两个水箱，使得两水箱内水深相等，求两个水箱内水面各上升多少厘米？

课后强化训练

1、一个长方体底面是正方形，高12厘米，侧面展开正好是一个正方形。求出这个长方体的体积。

2、如图，将一个长方体平均截成3段，每段长2米，表面积增加了16平方米，求原长方体的体积是多少立方

米？

平方分米的0.2分米，横截面面积是151.2平方分米。如果把它煅烧成一根横截面面积是3、一段钢材厂长方体钢筋，这根钢筋的长是多少分米？

厘米，把一个棱长为厘米，箱内水深20厘米，宽、有一个长方体水箱，从里面量，长4027厘米，深354 12厘米的正方体铁块浸入水中，现在水面高多少厘米？

立方厘米后，仍是正方体，则边长增加了多少厘米？、一个边长为2厘米的正方体体积增加2085

平方厘米。那么它的体积8平方厘米和6平方厘米，6、一个长方体的底面，左面和前面的面积分别是12 是多少？

5的孔，沿前后方向开有××15的孔，沿左右方向开有21××的立方体，沿上下方向开有××、一个75551×5的孔，那么剩余部分的体积是多少？13×

8、有一个长方形铁皮，长40厘米，宽30厘米。在这块铁皮的左、右两角各剪下一个边长为10厘米的小正方形，然后焊接在下面，再通过折叠、焊接成一个无盖的长方体盒子。求这个盒子的容积是多少？

9、有一个长方体，它的底是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果将它分成两个长方

体，则表面总和是240平方厘米，求原长方体的体积。

厘米，现在要把这块地铲平，要从甲地取走多少厘米5010、如图所示，有一块长方形土地，甲处比乙处高厚的土填在乙处？

分米、高3分米的鱼缸内，水面离鱼缸有多少分米？480L11、将水倒入长1米，宽

厘米，底面是一个正方形，这个长方体的底面周长是多9立方厘米，高是、有一个长方体，体积是12576 少厘米？