数学期末模拟卷(必修3,选修1-1)

高二文科数学一周一练（3）

一、选择题

1．从总数为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则N 等于

A ．200

B ．150

C ．120

D ．100 2．将长为cm 9的木棍随机分成两段，则两段长都大于cm 2的概率为

A ．

9

4 B ．9

5 C ．9

6 D ．97

3．设p ∶22,x x q --＜0∶

12

x

x +-＜0，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23

＋y 2

＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC

边上，则△ABC 的周长是

A ．2 3

B ．6

C ．4 3

D ．12

5．给出下面的程序框图，那么其循环体执行的次数是

A ．500

B ．499

C ． 1000

D ．998 6．下列命题是真命题的是

A ．0)2(,2>-∈?x R x 有

B ．0,2>∈?x Q x 有

C ．8123,=∈?x Z x 使

D ．x x R x 643,2=-∈?使

7．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线

性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是

A ．l 1和l 2有交点（s ，t ）

B ．l 1与l 2相交，但交点不一定是（s ，t ）

C ．l 1与l 2必定平行

D ．l 1与l 2必定重合

8．下列说法正确的是

A ．x 2 = y 2?x = y

B ．等比数列是递增数列的一个必要条件是公比大于1.

C ．命题“若3b =，则29b =”的逆命题是真命题

D ．若a + b >3，则a >1或b ＞2.

9．在一个口袋中装有4个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出2 个球，至少摸到1个黑球的概率等于

A ．51

B ．52

C ．53

D ．5

4

10．椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，若21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶

点，则点P 到x 轴的距离为

A ．

12

B

C ．

12

D ．以上均不对

二、填空题

11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图

（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．

12．命题“?x ∈R ，x 2

－x+3>0”的否定是______________．

13．阅读右上框程序，若输入的n 值是50，则输出的结果是 ．

14．方程

11

92

2=-+-k y k x 表示椭圆的充要条件是 ． 15、点P 是椭圆

116

252

2=+y x 上的一点，21F F 、是它的两个焦点，若21PF F ∠＝?60，则21F PF △的面积为 .

16．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为 ．

17．在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m 和n ，则方程122

22=+n

y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆的概

率是 ．

三、解答题

18．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位：cm ),获得身高数据的茎叶图如图． (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率．

) 第11题图

第13题

19．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)50,60，第二组[)60,70，…，第五组[90,100]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩 合格的人数；

（Ⅱ）从测试成绩在[)50,60[90,100]内的所有 学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为

m ，n ，求事件“||10m n ->”概率.

20、已知四棱锥ABCD P -（如图）底面是边长为2的正方形.侧棱⊥PA 底面ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，PD MQ ⊥于Q 。 （Ⅰ）求证：平面PMN ⊥平面PAD ； （Ⅱ）直线PC 与平面PBA 所成角的正弦值为

3

3

，求PA 的长； （Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求二面角Q MN P --的余弦值。

解（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，MN ?底面ABCD

∴MN ⊥PA 又MN ⊥AD 且PA ∩AD=A

∴MN ⊥平面PAD ………………………………………………3分 MN ?平面PMN ∴平面PMN ⊥平面PAD ……………………4分 （Ⅱ）∵BC ⊥BA BC ⊥PA PA ∩BA=A ∴BC ⊥平面PBA ∴∠BPC 为直线PC 与平面PBA 所成的角

即3

3

sin =

∠BPC ……………………………………………7分 在Rt △PBC 中，PC=BC/sin ∠BPC=32

∴2)22()32(2222=-=-=

AC PC PA ………………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）MN ⊥平面PAD 知 PM ⊥MN MQ ⊥MN

∴∠PMQ 即为二面角P —MN —Q 的平面角 …………………11分 而2

2,5=

=

MQ PM ∴10

10

cos ==∠PM MQ PMQ …………13分

21． 如图所示的茎叶图是青年歌手电 甲 乙

视大奖赛中7位评委给参加最后决赛的两位选手 8 5 7 9

甲、乙评定的成绩，程序框图用来编写程序统计 8 5 5 4 8 4 4 4 6 7 每位选手的成绩（各评委所给有效分数的平均值）， 2 9 3 试根据下面条件回答下列问题：

（1）根据茎叶图，乙选手的成绩中，中位数和众数分别是多少？

（2）在程序框图中，用k 表示评委人数，用a 表示选手的最后成绩（各评委所给有效分数的平均值）．那么图中①②处应填什么？“S 1=S -max -min ”的含义是什么？ （3）根据程序框图，甲、乙的最后成绩分别是多少？

21．（本题13分）

（1）乙 中位数84 众数84 （2分） （2）① k>7? ②a=s1/5 （4分） “S 1=S -max -min ”的含义是“为了避免

极端分数的影响，去掉一个最高分和一个最低分” （1分） （3）85,84==乙甲x x （2分）

22．（理，本小题满分14分） 设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)

0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．

（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，

且12x x ，满足方程2

2

(14)4k x +=， 故

21x x =-=

．。。。。。。。。。4分

由6ED DF =知

01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==

； 由D 在AB 上知0022x kx +=，得02

12x k

=+．。。。。。。。6分 所以

212k =

+，化简得2

242560k k -+=， 解得23k =

或38

k =．。。。。。。。。8分 （Ⅱ）由题设，1BO =，2AO =．

设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，

故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+=

=。。。。。。。10分

=。。。。。12分

当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为。。。。。。。14分