6.16工程应用数学B 过程试卷一答案【精】-精心整理

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合肥学院2011至2012学年第 2 学期

工程应用数学B 课程过程考试卷一答案

系 09 级 专业 学号 姓名

1.若点(,)x y 在过000(,)M x y 的任意一条直线L 上变动时，函数(,)z f x y =均在0M 处取得极大值,则 （A ）

A 、0M 是该函数的极大值点

B 、0M 是该函数的最大值点

C 、0M 不是该函数的极大值点

D 、0M 不一定是该函数的极大值点

2、曲线2220

3

y z x z ?+-=?

=?在xoy 面上的投影曲线的方程是（ B ）。

A 、2200y x z ?-=?=?

B 、2290y x z ?=-?=?；

C 、2

29y x =- D 、2293y x z ?=-?=?

3、方程22

1

294y z x ?-=???=?

表示（ A ）。

A 、双曲柱面与平面4x =的交线

B 、双曲柱面

C 、 双叶双曲面

D 、单叶双曲面

4、“'00(,)x f x y 与'00(,)y f x y 均存在是函数(,)f x y 在00(,)x y 处连续的（ D ）条件。 A 、充分非必要 B 、必要非充分

C 、充分且必要

D 、非充分且非必要

5、(,)lim x y →（ B ）。

A 、不存在

B 、3

C 、6

D 、∞

6、设函数(,)f x y 在00(,)x y 附近有定义，且''(0,0)3,(0,0)1x y f f ==，则（ C ）。 A 、(0,0)3dz dx dy =+ B 、曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为｛3，1，1｝

C 、曲线(,)0

z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的切向量为｛1，0，3｝

努力

D 、曲线(,)

z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的切向量为｛3，0，1｝

7、函数22221()(0,0)x y z a b a b =-+>>

在点P 处沿曲线22221x y a b +=在此点的内法线方向的方向导数为（ B ）

A

B

D

22

8、点00(,)x y 使'(,)0x f x y =且'(,)0y f x y =成立，则（ D ）

A 、00(,)x y 是(,)f x y 的驻点但不是极值点

B 、00(,)x y 是(,)f x y 的极值点

C 、

00(,)x y 是(,)f x y 最值点 D 、00(,)x y 可能是(,)f x y 极值点 9、二元函数(,)z f x y =的两个偏导数存在，且

0,0z z

x y

??>

二、填空题：（每空3分，共27分）

1、设{3,6,1},{1,4,5}a b →

→

=--=-，则与,a b →→

均垂直

的单位向量

为

。 2、以{3,6,1},{1,4,5},{a b c →

→

→

=--=-=-为邻边的平行六面体的体积为

262 。

3、在xoy 面上的直线3

230x y z -?=

???=?绕y 轴旋转所成的曲面方程是

33y -= ；此曲面的名称是 圆锥面 。

努力

4、设sin x

x u e y -=，则2u x y

???在点1(2,)π处的值 22

e π- 。

5、曲线222

22

2347

2x y z x y z ?++=??+=??

上点（-2，1，6）处的切线方程为 21627284x y z +--==。 6、设函数222(,,)1612

18x y z u x y z =+++，单位向量1,1,1}n →=

，则(1,2,3)

u

n

→

??=

。 7、222z x y =+在(1,1)P 处的梯度 42i j +

及最大方向导数 三、(8分)已知函数22(,)f xy x y x y xy +=++，求

(,)(,)

,f x y f x y x y

????。 解 因 2(,)()f xy x y x y xy +=+- 所以2(,)f x y y x =---4分

故

(,)1f x y x ?=-? (,)

2f x y y y

?=?---8分 四、设1

(,,)()z x f x y z y

=，求(1,1,1)df 。（8分）

解 11'1()z x

x f zy y -= 11'2()z

y x x f zy y -=- 1'21()l n z z x x f z y y

=---4分

11'

(1,1,1)

(1,1,1)

1()1z

x x f

z y y -==，

11'

2(1,1,1)

(1,1,1)

()1

z

y x x f

zy y -=-=-，

1'

2(1,1,1)

(1,1,1)

1()ln 0z z x x f

z y y =-= ---6分

(1,1,1)df dx dy =---8分

五、设22z u v uv =-，而cos ,sin u x y v x y ==，求,z z

x y

????。(8分) 解

22(2)cos (2)sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x

?????=+=-+-????? 2222(2cos sin (sin ))cos ((cos )2cos sin )sin x y y x y y x y x y y y =-+---4分

努力

22(2)sin (2)cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y

?????=+=-+-?????=

2222(2cos sin (sin ))sin ((cos )2cos sin )cos x y y x y x y x y x y y x y =-+---8分 六、（7分）设(,)z z x y =由方程(,)0z z

F x y y x

+

+=所确定，其中F 具有连续偏导数，证明：z z

x

y z xy x y

??+=-??（7分） 解 由(,)0z z

F x y y x

+

+= 得''

'

''''''121212

2211(),(),x y z z z F F F F F F F F F x y y x

=+-

=-+=+--4分 所以''''y x z z

F F z z

x y x y x y F F ??+=--??

''''122122''''1212()()1111z z F F F F y x x y F F F F y x y x

-++-

=--++

z xy =---7分

七、求曲面2221x y z ++=上平行于平面20x y z -+=的切平面方程。（8分） 解 设222(,,)1F x y z x y z =++- 则'''2,2,2x y z F x F y F z ===---2分

设曲面与平面20x y z -+=相切的切点为000(,,)x y z ，则在该点的一个法向量为：

000{2,2,2}n x y z = 平面20x y z -+=的一个法向量为{1，-1,2}

则有000

00022211220

x y z x y z ?==?

-??-+=? --5分

努力

得000x y z =

==

或000x y z ===--6分

所求切平面方程为20x y z -+=---8分

八、设二元函数(,)z z x y = 是由方程20xy z e z e --+= 所确定的隐函数

2,

z z

x x y

?????。求(8分) 解 原方程两边对x 求偏导得 ：''

20xy z x x ye z e z ---+= ---3分

得'2xy x

z ye z e -=- --4分 同理 '2

xy y z xe z e -=---5分

在方程'2

xy

x

z ye z e -=-两边对y 求偏导得

'22

()(2)(2)xy

xy z xy z y

z e

xye e ye e z z x y

e ------?=??---7分

将'2

xy

y

z xe z e -=-代人上式得

223

()(2)(2)xy xy z xy z

z e xye e xye e ---+---=

---8分 九、将12分成三个整数x ，y ，z 之和，使32u x y z =为最大。（8分） 解 12x y z ++=---1分

设 32(,,)(12)L x y z x y z x y z λ=+++----5分

'22

'

3

'32

3212x y z L x y z L x yz L x y x y z λλ

λ?=+?=+??=+??++=?

--7分

解得 6,4,x y z

=== 为可能的极值点，因为所求的最大值一定存在，所以

努力

6,4,2x y z ===即为所求的最大值点，即u 的最大值为326426912=--（8分）