圆锥曲线的经典结论

有关解析几何的经典结论

22 2 2 2 2

a c -a

b k +_ 2a c

2*」2] 2 ，X P $ —, 2 2

1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角. （椭圆的光学性质）

2. PT平分.PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

圆，除去长轴的两个端点.（中位线）

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.（第二定义）

以焦点半径PF i为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）

2 2

若P o（X o, V o）在椭圆务•爲=1上，则过F0的椭圆的切线方程是暂•与二1.（求导或用联立

a b a b

方程组法）

2 2

若P°（X0，V0）在椭圆务+告=1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为P,P2，则切点弦RP2的a b 直线方程是弩•辔=1

a2 b2

2 2

X V

椭圆r 2=1 （a b 0）的左右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上任意一点• F1PF2V',则

a b

椭圆的焦点角形的面积为S F PF=b2tan?.（余弦定理+面积公式+半角公式）

2 2 椭圆X2=1（a b 0）的焦半径公式：

a b

|MF1〔 = a ex , | MF21二a -ex g（F/-c,0）, F2（c,0），M（X o,y。））.（第二

定义）

设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P,Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别

交相应于焦点F的椭圆准线于M,N两点，则MF _ NF .

证明：x 二ky • c，

2 2

务占二仁a2 b2k2 y2 2b2cky b2c2 a2b2 a b

,2 2 2, 2

b c -a b

V P V O =a2 b2k ,V P - 2b2cky a2 b2k2

X p X o

a b k a b k

6.

再根据上一条性质可得结论 。

2

—+a

y

N _

C y

M

Y P a

X /

Y Q

2

2 a

———，MF _ NF 二

a X Q

=0二 X M -c X N - c y M y N = 0,

易得：X M - C X N

10.过椭圆一个焦点

F 的直线与椭圆交于两点 P,Q ,且A,A 2为椭圆长轴上的顶点，AP 和A 2Q

交于点M , A 2P 和AQ 交于点N ，则MF _ NF .( MN 其实就在准线上，下面证明他在准线

上)

证明：首先证明准线，AP 和PA 2公共点， 设 P X p ,y p ，Q X Q ,y Q ，不妨设 X P X Q ，

kr 乂，

X p — a Y Q

X

Q _ a

由 r

ki (x -a

) y * x a

得交点 x = a k 1 k 2 二 a L X P y Q XQ y P a y p —y Q ，

& _k2

_X P Y Q gyp +a(yp *Q )'

得 b 2 a 2k 2 x 2 2a 2k 2cx a 2c 2k 2 -a 2b 2 = 0 ,令 M = b 2 a 2k 2， N = \ b 2 a 2k 2

2k 2

，

a 2c 2k 2 _a 2

b 2

X P X Q 二

-2a 2k 2c ，X P “ - M

2b 2ck 2abkN

，Y P YQ k ，Y P "丁

X P Y Q X Q y p

2 2

-2 a b k ，—X p Y Q X Q Y P

M

-2abckN M

-2a 2b 2k 2a 2bkN

，则 x M —La =

-2abckN * 2ab 2ck M M

5.

2 2

x y 若 P 0

(x 0, y 0)在双曲线 ~2 - ~2 -1 a b

弩-殍=1.(同上)

a b

2 2

x y 若 P 0

(x 0, y 0)在双曲线 ~2 - ~2 -1 a b

（a 0,b 0）上，则过P 。的双曲线的切线方程是

（a 0,b 0）外，则过P °作双曲线的两条切线切点为

R’E ，则切点弦RP 2的直线方程是

訐常「（同上）

、双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角.（同上）

2.

PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的 圆，除去

长轴的两个端点.（同上）

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交.（同上）

4.

以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆

相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）

（同上）

2 2

11. AB 是椭圆冷■ a b

b 2

-~，

a

b 2x o ~2 。

a y o

k

OM k

AB

12.若F 0(x o ,y 0)在椭圆 （点差法）

13.若在椭圆 2

x —

—+ 2 a

（点差法）

=1的不平行于对称轴的弦，M （x 0,y 0）为AB 的中点，则

（点差法）

2

x ~~2 a

2

•爲=1内，则被F0所平分的中点弦的方程是 暂•辔

b

a b

2

計1内，则过P0的弦中点的轨迹方程是 2 2

X y _ X °x y °y 2 , 2 _

_ a b a 2 b 2

2 2 x o

.

y o ~2 .2

a

b