五年级奥数.数论.质数与合数(C级).学生版

一、 质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.

考点：

⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.

⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

二、 判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=?，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.

三、 质因数与分解质因数

（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

知识框架

质数与合数

（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212

263

，（┖是短除法的符） 所以12223=??；

四、 唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：3121

23k a a a a k n p p p p =????其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.

例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

部分特殊数的分解

111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；

1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=???.

【例 1】 著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6=3+3，

12=5+7，等。那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来

（100=3+97和100=97+3算作同一种形式）。

【巩固】 用L 表示所有被3除余1的全体正整数．如果L 中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L 的

任何数整除，称此数为“L —质数”．问：第8个“L —质数”是什么？

【例 2】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。

重难点

例题精讲

【巩固】如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是．

【例3】在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少？

【巩固】2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完．若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，则每人可以多分8个．原来有人．

【例4】从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？

【巩固】一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为

【例5】用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．

【巩固】已知n个自然数之积是2007，这n个自然数之和也是2007，那么n的值最大是_______。

【例6】如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？

【巩固】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少．

【例7】A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和。那么A、B两数之差的最大值是。

【巩固】a、b、c、d、e这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第2个数的平方是___________。

A． 1 B. 3 C. 5 D. 10

【例8】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？

【巩固】纯循环小数0.abc写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数_________

abc=

【例9】两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17，19可得到一个四位数1719,由19，17也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这样的四位数。

【巩固】已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：()()2890

a b c d e

++=，那么，这5个数当中最大的数至多是。

【例10】将1到9这9个数字在算式()

()

()

()()()

1

-=的每一个括内各填入一个数字，使得算式成立，

并且要求所填每一个括内数字均为质数?

【巩固】 3个质数的倒数之和是

16611986

，则这3个质数之和为多少．

【随练1】 三位数A 满足：它的所有质因数之和是26。这样的三位数A 有 个。

【随练2】 甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲比乙大13岁，那么乙今

年多大？

课堂检测

【随练3】 求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？

【作业1】 有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______。

【作业2】 已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？

家庭作业

【作业3】用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________．

【作业4】a，b，c都是质数，并且33

c d

+=，那么cd=____ 。

+=，66

a b

+=，44

b c

【作业5】某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？

【作业6】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是2106立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?

【作业7】如果

111

2009A B

=-，A B

，均为正整数，则B最大是多少？

学生对本次课的评价

○特别满意○满意○一般

家长意见及建议

家长签字：教学反馈