级数的收敛性

数c, d，级数 (cun dvn )亦收敛，且 (cun dvn ) c un d vn .
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
定理12.3
去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的 敛散性.
注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级
数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.
的理论.
数学分析 第十二章 数项级数
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
定义1
给定一个数列{un}, 将其各项依次用“+”号连接 起来的表达式
u1 u2 L un L
(1)
称为常数项级数或数项级数(常简称级数),其中 un
称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也
常记为 un ，在不致误解时可简记为 un .
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
1 n－1 3 k1
2 3k 1
2n 1 3n1
1 3
2 n－1
32 k 1
1 2n 1 3k1 3n1
2 3
1 3n
2n 1 3n1 ,
所以
Sn
3 2
2 3
1 3n
2n 1 3n1
,
于是
lim
n
Sn
3 2
2 3
1 3n
2n 1 3n1
任何正整数N,总存在正整数 m0(>N) 和 p0，使得
um0 1 um0 2 L um0 p0 0 .
(7)
由定理12.1立即可得如下推论.
推论（级数收敛的必要条件）
若级数(1)收敛,则
lim
n
un
0.
注 推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于
零, 级数一定发散, 但一般项趋于零, 则级数未必 收敛. 因此推论用来判断级数发散是很有效.
到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭” 的例中, 将每天截下那一部分的长度“加”起来是:
1 2
1 22
1 23
L
1 2n
L
,
由于前 n 项相加的和是
1
1 2n
，可以推测这“无限
个数相加”的结果应该是1. 又如下面由“无限个数
相加”的表达式
数学分析 第十二章 数项级数
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由定理12.3知, 若级数 un收敛, 其和为S, 则级数
n1
un1 un2 L
(8)
也收敛，且其和Rn S Sn . (8)式称为级数un的
第 n 个余项(简称余项), 它表示以部分和 Sn代替S 时所产生的误差.
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
定理12.4
n1
数项级数(1)的前n项之和记为
n
Sn uk u1 u2 L un ,
(2)
k 1
称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和.
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
定义2
若数项级数(1)的部分和数列{Sn }收敛于 S
(即
lim
n
Sn
S
),
则称数项级数(1)收敛,
S2k 0, S2k1 a, k 0, 1, 2,L , 级数发散.
综合a起 a来q得 a到q2:qL1a时qn, 级L数(3)收敛;(3q) 1时, 级
数(3)发散.
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
例2 讨论数项级数
1 1 L 1 L
Baidu Nhomakorabea
(4)
12 23
un (unk11 L unk ) vk .
n1
k 1
k 1
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
于是, 若{Sn }为收敛级数 un 的部分和数列, 则级数
vk的部分和数列 Snk 是Sn的一个子列. 由于
Sn
收敛,且
lim
n
Sn
S.
故由子列性质，
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
例4 判断级数
n
1 n
n
n1
nn
1 n
的敛散性.
解 因为
1
n
1
n
lim
n
n
n 1
nn
n
1
n
lim
n
n
1
nnnn
lim
n
1
1 n2
1
nn
n2 n
1
0
所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.
数学分析 第十二章 数项级数
注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它
的部分和数列 {Sn } 来确定, 因而也可把级数(1)作为 数列 {Sn } 的另一种表现形式. 反之, 任给一个数列 {an }, 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则这个数项级数就是
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§1 级数的收敛性
级数(1)收敛的充要条件是:任给正数 ,
总存在正整数 N，使得当m N以及对任意
的正整数 p都有
um1 um2 L um p .
(6)
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻
写出级数(1)发散的充要条件是: 存在某正数 0 , 对
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
为此令 p = m, 则有
um1 um2 L
u2m
1 1 L m1 m2
1 2m
1 1 L 1 1 ,
2m 2m
2m 2
故取
0
1 2
,
对任何正整数
N
只要
m
>
N
和
p
=
m
1
就有(7)式成立，因此调和级数 n1 n 发散.
n(n 1)
的收敛性.
解 级数(4)的第n个部分和为
Sn
1 1 L 12 23
1 n(n 1)
1
1 2
1 2
1 3
L
1 n
1 n 1
1 1 . n1
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§1 级数的收敛性
由于
级数的收敛性
lim
n
Sn
lim
n
1
1 n
1
1,
因此级数 (4) 收敛,且其和为 1.
S 称为数
项级数(1)的和,记作 S u1 u2 un , 或 S un . n1
若 {Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散.
例1 讨论等比级数(也称几何级数)
a aq aq2 L aqn L
(3)
的收敛性(a≠0).
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§1 级数的收敛性
数学分析 第 十二章 数项级数
§1 级数的收敛性
级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似 计算的一种有用的工具. 级数理论的主要内 容是研究级数的收敛性以及级数的应用.
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
有限个实数 u1,u2,…,un 相加后还是一个实数，那么
“无限个实数相加”会有什么结果呢？如在第二章提
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
例5
运用级数收敛的柯西准则证明级数
1 n2
收敛.
证 由于
um1 um2 L um p
1 (m1)2
1 (m2)2
L
1 (m p)2
1
1
L
1
m(m1) (m1)(m2)
(m p1)(m p)
1 m
1 m
1
1 m
1
m
1
2
L
m
1 p
1
m
1
p
1 1 1. m m p m
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
因此, 对任意 0,
可取N
1
,
当m>N及任意正
整数 p,由上式可得
um1 um2 L
um p
1 ,
m
依级数收敛的柯西准则,知级数
1 n2
收敛.
定理12.2
若级数 un 与 vn 都收敛, 则对任意常
级数的收敛性
un a1 (a2 a1 ) (a3 a2 ) L (an an1 ) L . (5)
n1
这时数列{an }与级数 (5) 具有相同的敛散性, 且当
{an }收敛时,其极限值就是级数(5)的和. 基于级数与数列的这种关系,可得下面有关级数的定理.
定理12.1（级数收敛的柯西准则）
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
如级数
1 (1) 1 (1) L
因为一般项un=(1)n-1 不趋于零，所以发散.
例3 讨论调和级数
的敛散性.
1 1 1 L 1 L
23
n
解
这里一般项un
1 n
0,
因此不能利用推论判断它
是发散级数.
下面利用柯西准则证明它是发散的.
在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变级数的 收敛性,也不改变它的和.
证 设 un 为收敛级数, 其和为 S. 下面证明 un 加
括号后的级数 (unk11 L unk ) 收敛, 且其和也是 k 1
S . 为此，记v1 u1 un1 , v2 un11 un2 , ,
vk unk11 L unk ,L , 则
，若能求出
lim
n
Sn
,
就能得到所
要的结论. 由于
1
n 2k 1 n 2k 1
Sn 3 Sn k1 3k
k 1
3k 1
1 3
n－1 k 1
2k 1 3k 1
n k 1
2k 1 3k 1
1 3
n－1
k1
2k 1 3k 1
2k 1 3k 1
2n 1 3n1
数学分析 第十二章 数项级数
数学分析 第十二章 数项级数
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Snk
也收敛，
且
lim
k
Snk
S,
即级数
vk 收敛，且它的和也等于S .
注 从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号
时也收敛. 例如
(1 1) (1 1) L (1 1) L 0 0 0 L 0,
收敛, 但级数 1 1 1 1 L 却是发散的.
数学分析 第十二章 数项级数
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1.
这样就证明了级数
2n 1 3n
n1
收敛,
并且其和为1.
数学分析 第十二章 数项级数
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复习思考题
1.讨论级数 un , vn 与 (un vn ) 之间收敛性
的关系.
2. 设级数 un , vn 均收敛,问 unvn是否一定收
敛.
3. 若级数 un 加括号后的级数 vk 发散, 级数 un 是否一定发散？
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
由定理12.2及例3知，级数
un
n2
2
1
n2 n 1
2
1
n1 n
发散，从而原级数发散.
数学分析 第十二章 数项级数
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§1 级数的收敛性
级数的收敛性
*例7
证明级数
2n 1 3n
n1
收敛，并求其和.
证 令
Sn
n k 1
2k 1 3k
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
1 (1) 1 (1) L
中，如果将其写作
(1 1) (1 1) (1 1) L 0 0 0 L ,
结果肯定是0，而写作
1 [(1) 1] [(1) 1] L 1 0 0 0 L ,
则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”; 如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
例6 判别下列级数的敛散性： 1 1 1 1 1 1 L 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1
解 考虑加括号的级数
1 2 1
1 2
1
1 3 1
1 3 1
其一般项
1 4 1
1 4
1
L
un
1 n 1
1 2 n 1 n1
,
数学分析 第十二章 数项级数
级数的收敛性
解 q≠1时, 级数(3)的第 n 个部分和为
Sn
a
aq
aqn1
a 1 qn 1q
.
(i)当q
1时，lim n
Sn
lima 1 qn n 1 q
a. 1q
此时级
数(3)收敛,其和为a 1-q .
(ii)当q
1时，lim n
Sn
,
此时级数（3）发散.
(iii) 当 q 1时, Sn na, 级数发散. 当q 1 时,