平面向量复习课件

平面向量复习基本知识点及经典结论总结

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r

共线的单位向量是||

AB AB ±u u u r u u u r )；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规

定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重

合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r

、

共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为

(),a xi y j x y =+=r r r

，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原

点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=r r

当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ

＝0时，0a λ=r r

，注意：λ≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r

，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝

2

π

时，a ，垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r

叫做与的数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θr r

。规定：零向量与任一向量的数量积

是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3）b 在a 上的投影为||cos b θr

，它是一个实数，但不一定大于0。

（4）?的几何意义：数量积?等于的模||a r

与在上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：

①0a b a b ⊥??=r r r r

；

②当，同向时，?＝a b r r ，特别地，22,a a a a a =?==r r r r r ；当与反向时，?＝

－a b r r

；当θ为锐角时，?＞0，且 a b r r 、

不同向，0a b ?>r r 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，?＜0，且 a b r r 、

不反向，0a b ?

是θ为钝角的必要非充分条件；

③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b

a b

θ?=r r

r r ；④||||||a b a b ?≤r r r r 。

6、向量的运算： （1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之

外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AC u u u r 叫做a r 与b r

的和，即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r ；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=u u u r r u u u r r r r u u u r u u u r u u u r

那么，由减向量的终点

指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r

，则：

①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±r r

，12)y y ±。

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r

。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r

，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

④平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+r r

。

⑤向量的模：222

2||||a a a x y ===+r r r 。

⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则||AB =

7、向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+r r r r ，()a a λμλμ=，a b b a ?=?r r ；(2)结合律：

()()

,a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+r r r r r r r r r r r r ，()

(

)()

a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r

；（3）分配律：

()()

,a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+r r r r r r r ，()

a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r

。如下列命题中：①

→→→→→→→

?-?=-?c a b a c b a )(；② →→→→→→??=??c b a c b a )()(；③ 2

()a b →→-2||a →

=

22||||||a b b →→→-?+；④ 若0=?→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ?=?r r r r 则a c =r r ；⑥22a a =r r ；⑦2a b b

a

a

?=r r r

r r ；

⑧222()a b a b ?=?r r r r ；⑨22

2()2a b a a b b -=-?+r r r r r r 。其中正确的是______（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即)()(?≠?，为什么？

8、向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ?=r r r r

22()(||||)a b a b ??=r r r r 1212x y y x ?-＝0。

9、向量垂直的充要条件：

0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-r r r r r r r r

12120x x y y ?+=.特别地()()AB AC AB AC AB AC

AB AC

+⊥-u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r 。 10.线段的定比分点：

（1）定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P 1、P 2的任意一点，若存在一个实数λ ，使

12PP PP λ=u u u r u u u r

，则λ叫做点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比，P 点叫做有向线段12PP u u u u r 的以定比为λ的定比分点；

（2）λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时?λ>0；当P 点在线段 P 1P 2的

延长线上时?λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时10λ?-<<；若点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的

比为λ，则点P 分有向线段21

P P u u u u r 所成的比为1

λ。 （3）线段的定比分点公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段12PP u u u u r

所成的比为λ，则

1212

11x x x y y y λλλλ

+?=??+?+?=?+?

，特别地，当λ＝1时，就得到线段P 1P 2的中点公式

121222

x x x y y y +?

=???+?=??。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ。

11.平移公式：如果点(,)P x y 按向量(),a h k =r 平移至(,)P x y ''，则x x h

y y k '=+??

'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(),a h k =r

平移得曲线(,)0f x h y k --=.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）

向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！

12、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+r r r r r r ，特别地，当 a b r r 、

同向或有0r ?||||||a b a b +=+r r r r

≥||||||||a b a b -=-r r r r ；当 a b r r 、

反向或有0r ?||||||a b a b -=+r r r r ≥||||||||a b a b -=+r r r r

；当 a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+r

r

r r

r

r

(这些和实数比较类似).

（3）在ABC ?中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为

123123,33x x x y y y G ++++?? ???

。②1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心，特别地

0PA PB PC P ++=?u u u r u u u r u u u r r

为ABC ?的重心；

③PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

为ABC ?的垂心；

④向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r

u

u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； ⑤||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r

ABC ?的内心；

（3）若P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比为λ，

点M 为平面内的任一点，则121MP MP

MP λλ

+=+u u u u r u u u u r u u u r ，特别地P 为12P P 的中点122

MP MP

MP +?=

u u u u r u u u u r

u u u r ； （4）向量 PA PB PC u u u r u u u r u u u r

、、中三终点

A B C 、、共线?存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+uu u r uu u r uuu r

且

1αβ+=.

平面向量部分常见的题型练习

类型（一）：向量的夹角问题

1.平面向量b a ,

41==且满足2.=，则的夹角为

2.已知非零向量b a ,

（2-⊥=，则与的夹角为

3.已知平面向量,

满足

424)2.(==-=+-（且，则与的夹角为

类型（二）：向量共线问题

1. 已知平面向量），（x 32=，平面向量），，（182--=b 若a ∥，则实数x

2. 设向量），（，（3212==若向量b a +λ与向量)74(--=，共线，则=λ

3.已知向量），（），，（x b a 211==若a b b a 24-+与平行，则实数x 的值是（ ）

A ．-2

B ．0

C ．1

D ．2

_____

)10,(),54(),12,(.4=-===k C B A k k 则三点共线，，，，且，已知向量 5．已知），（），，（），，（73231x C B A --，设a AB =，b BC =且a ∥b ，则x 的值为 （ ）

(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18 类型（三）: 向量的垂直问题

1．已知向量b a b x a ⊥==且），（)6,3(,1，则实数x 的值为

2．已知向量=--==n n ），若，（，（211 3．已知=（1，2），=（-3，2）若k +2与2-4垂直，求实数k 的值

442==，且与的夹角为3

π

，若的值垂直，求与k k k 22-+。 类型（四）投影问题

1． ，45==，与的夹角3

2π

θ=，则向量在向量上的投影为 2． 在Rt △ABC 中，===

∠AC AB AC C .,4,2

则π

3．关于c a b a ..=且0≠a ，有下列几种说法：

① )(-⊥； ② ⊥ ；③0).(=- ④在方向上的投影等于在 方向上的投影 ；⑤λ=；⑥= 其中正确的个数是 （ ）

（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 类型（五）求向量的模的问题

1. 已知零向量==+==，则），（2510.,12

2. 已知向量b a ,满足=+=-==b a b a b a ，则2,2,1

3. 已知向量a )3,1(=，=+-=b a b ，则)0,2(

4．已知向量b a b a -==则),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为

类型（六）向量积 问题

1、（2009陕西卷文）在ABC ?中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2PA PM =u u u r u u u u r

,则()

PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 ( ) A.49 B.43 C.43- D. 4

9

-

类型（六）平面向量基本定理的应用问题

1．若a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，-2），则c 等于 （ ）

(A) b a 2321+-

(B)b a 23

21-- (C)b a 2123- (D)b a 2

123+-

2.已知b a c c b a μλμλ+=-===的值，使和），求，（），，（），，（011101

3.设

e

e 2

1

,是平面向量的一组基底，则当

__________,21

==λλ

时，02

21

1=+e e λλ

4.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） (A)

)2,1(),0,0(2

1

-==e e

(B)

)7,5(),2,1(2

1

=-=e e

(C)

)10,6(),5,3(2

1

==e e

(D)

)4

3

,21(

),3,2(2

1

-=-=e e

5. （）），则，（），，（），，（==-==c c b a 241111

(A)b a +3 (B) b a -3 (C) b a 3+- (D) b a 3+

d c d c d c m R m b a m d b a c b a b a +⊥∈-=+===求平行与若为何值时）当（）

（，，的夹角为

与已知,)2?(,1623,2,3.6π

7、（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r ，它们的夹角为

120o

.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB u u u v

上变动.

若,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r

其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.

类型（七）平面向量与三角函数结合题

1.已知向量(2sin ,cos )42x x m =u r ，(cos 4

x

n =r ，设函数()f x m n =?u r r

⑴求函数()f x 的解析式 （2）求()f x 的最小正周期；

（3）若0x ≤≤π，求()f x 的最大值和最小值．

2. 已知

32

2

π

π

α<<

，A 、B 、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为 (3,0)A 、(0,3)B 、(cos ,sin )C αα。 (I)若||||AC BC =u u u r u u u r

，求角α的值；

(II)当1AC BC ?=-u u u r u u u r 时，求22sin sin(2)1tan ααα

++的值。

3. 已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别是a 、b 、c ，平面向量))sin(,1(A B -=，平面向量

).1),2sin((sin A C -=

（I ）如果,3,3

,2=?=

=S ABC C c 的面积且π

求a 的值；

（II ）若,n m ⊥请判断ABC ?的形状.

4. 已知向量)cos 2,(sin ),sin ,2(2x x b x a ==,函数b a x f ?=)(

(1)求)(x f 的周期和单调增区间；

(2)若在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围。