浙江省数学竞赛资料-浙江大学数学竞赛

三、浙江大学数学竞赛试题

一、设变量x 与y 的关系按如下方程确定：?

+=y t x 02411dt ，

证明： 0433=-dx dy dx y d 。

二、证明可导的周期函数的导函数仍为周期函数，并证明它们具有相

同的周期。

三、设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且满足方程： ?+=-21)]()([2

1)(12112x x x f x f dx x f x x ，21x x ≠，且],[,21b a x x ∈，求函数)(x f （)()()()()(a f a x a b a f b f x f +---=

）

四、设)(x f 为),(+∞-∞上的连续函数，证明?+=b a td t t x f x R co s )()( 在

),(+∞-∞上

有连续的导数，并求)('x g 。（?+-+++=b a a x a f b x b f tdt x t f x g cos )(cos )(sin )()(' ）

五、设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(≥x f ，

证明：)(max )("lim x f dx x f b x a n

b a n ≤≤∞→=? 。

六、设n m q p ,,,为整数，且.

1,>n m 证明???-++----=2

2

22.)()2)(()3)(1()3)(1(cos sin qn

pn qn pn n m d f n m n m n n m m d θθθθθ

其中，

?????

??=n m n m n m n m f ,,1,,cos

,,sin ,,cos sin (若为奇数为偶数若为偶数

为奇数若均为奇数若）θθθθθ

七、求椭球面1222=-++xy z y x 在坐标面Oyz 上的投影（即通过椭球面

上每一点向平面Oyz 作垂线所得到的垂足的全体）的边界曲线的方程。

（1222=+z y ）

八、计算曲线积分dz e y x dy y y x dx y x x z L )3()2()(2

22-+--+++-?，式中L

为曲线P ：?????+==+)arctan(41

y x z y x π上由点A （0，1，1）经M （-1，0，-1），N （0，-1，-1）到B （1，0，1）的部分。 (结果为6

7

)

九、设n a a a <<< 21为n 个不同的实数，函数)(x f 在],[1n a a 上有n 阶导

数，并满足,0)()()(21====n a f a f a f 则对每个],,[1n a a r ∈都相应地存

在着),(1n a a ∈ξ满足等式).(!

)())(()()(21ξn n f n a c a c a c c f ---=