2013年高考数学全国卷1

2013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）

第Ⅰ卷

一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合{

}

{2

|20,|A x x x B x x =->=<<，则 ( ) A.A ∩B=? B.A ∪B=R C.B ?A

D.A ?B

2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为

(

)

A .4-

B .4

5

-

C .4

D .

45

3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该

地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样

4.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为

A.14y x =±

B.

1

3

y x =± C.12y x =± D.y x =± 5.运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于

A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]-

6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，

当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )

A .

35003

cm π

B .

38663cm π C. 313723cm π D. 320483

cm π

7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A .3 B .4 C.5 D.6

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A ．168π+

B ．88π+

C ．1616π+

D ．816π+ 9.设m 为正整数，2()

m

x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21

()

m x y ++展开式的二项式系数的最大值

为b ，若137a b =，则m = ( ) A .5 B.6 C.7 D.8

10.已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。若AB 的

中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为 ( )

A .

22

14536

x y +=

B .

22

13627

x y +=

C.

22

12718x y += D.

22

1189

x y += 11.已知函数()f x =22,0

ln(1),0

x x x x x ?-+≤?+>?，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是

A ．(,0]-∞

B ．(,1]-∞

C ．[2,1]-

D ．[2,0]-

12.设n n n A B C ?的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ?的面积为n S ，1,2,3,

n =，若11111,2b c b c a >+=，

111,,22

n n n n

n n n n c a b a a a b c +++++==

=，则( ) A .{S n }为递减数列 B .{S n }为递增数列

C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列

D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____. 14.若数列{n a }的前n 项和为S n ＝

21

33

n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______. 15.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______

16.若函数()f x =2

2

(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°

(1)若PB=1

2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA

18.（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;

（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。

19.（本小题满分12分）

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立

（1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。 20.(本小题满分12分)已知圆M :2

2

(1)1x y ++=,圆N :2

2

(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与

圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.

21.（本小题满分共12分）已知函数()f x ＝2

x ax b ++，()g x ＝()x

e cx d +，若曲线()y

f x =和曲线

()y g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+

（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。

（Ⅰ）证明：DB=DC ； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=

，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

23.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t

y t =+??=+?

(t 为参数），

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=。 （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；

（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，1

2

)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.

参考答案

一、选择题

1．【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.

2．【解析】由题知z =|43|34i i +-=3455

i +，故z 的虚部为45，故选D.

3．【解析】因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.

4．【解析】由题知，c a =即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为1

2

y x =±，

故选C .

5．【解析】有题意知，当[1,1)t ∈-时，3s t =[3,3)∈-，当[1,3]t ∈时，24s t t =-[3,4]∈，

∴输出s 属于[-3,4]，故选A .

6．【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则

2

2

2

(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为

3453

π?35003cm π

=，故选A. 7．【解析】有题意知m S =

1()

2

m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2，

1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.

8．【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为

21

244222

π??+?? =168π+，故选A . 9．【解析】由题知a =2m

m C ，b =1

21m m C ++，∴132m

m C =71

21m m C ++，即

13(2)!!!

m m m ?=7(21)!

(1)!!m m m ?++， 解得m =6，故选B.

10．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +

=－2，

2211221x y a b += ① 2222

221x y a b

+= ② ①－②得

1212121222

()()()()

0x x x x y y y y a b +-+-+=，

∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2

a =18，

∴椭圆方程为

221189

x y +=，故选D. 11．【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ?-≤?+>?，∴由|()f x |≥ax 得，202x x x ax ≤??-≥?且0

ln(1)x x ax >??+≥?，

由20

2x x x ax ≤??-≥?

可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除Ａ，Ｂ，

当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D.

12．B 13．【解析】b

c =[(1)]t t ?+-b a b =2(1)t t ?+-a b b =112t t +-=1

12

t -=0，解得t =2.

14．【解析】当n =1时，1a =1S =

121

33

a +，解得1a =1，

当n ≥2时，n a =1n

n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12

23

3n n a a --，即n a =12n a --，

∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1

(2)

n --.

15．【解析】∵()f x =sin 2cos x x -)x x

令cos ?sin ?=，则()f x cos sin cos )x x ??+)x ?+， 当x ?+=2,2

k k z π

π+

∈，即x =2,2

k k z π

π?+

-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2

k k z π

π?+

-∈，∴

cos θ=cos(2)2

k π

π?+

-=sin ?=. 16．【解析】由()f x 图像关于直线x =－2对称，则

0=(1)(3)f f -=-=22[1(3)][(3)3]a b ----+，

0=

(1)(5)f f =-=22[1(5)][(5)5]a b ----+，解得a =8，b =15，

∴()f x =2

2(1)(815)x

x x -++，

∴()f x '=2

22(815)(1)(28)x x x x x -+++-+=324(672)x x x -++-

=4(2)(22x x x -++++

当x ∈(－∞,2-)∪(－2, 2-时，()f x '＞0，

当x ∈(2--

－2)∪(2-+∞)时，()f x '＜0，

∴()f x 在（－∞，2-2-2）单调递减，在（－2，2-+

在（2-+

+∞）单调递减，故当x =2--和x =2-(2f --=(2f -+=16.

17．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=

o 60，∴∠PBA=30o ，在△PBA 中，由余弦定理得

2PA =o 1132cos3042+-=74，∴；

（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sin α，在△PBA o sin sin(30)

α

α=-，化简得，

4sin αα=，

∴tan α

tan PBA ∠

. 18．【解析】（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ，

∵AB=1AA ，1BAA ∠=0

60，∴1BAA ?是正三角形，

∴1A E ⊥AB ， ∵CA=CB ， ∴CE ⊥AB ， ∵1CE A E ?=E ，∴AB ⊥面1CEA ， ∴AB ⊥1AC ； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EC ⊥AB ，1EA ⊥AB ，

又∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC ∩面11ABB A =AB ，

∴EC ⊥面

11ABB A ，∴EC ⊥1EA ，

∴EA ，EC ，1EA 两两相互垂直，以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向，|EA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -， 有题设知A(1,0,0),1A

(0,

,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则BC =（1,0

，）,1BB =1AA =(－

),1AC =(0,

……9分

设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量，

则100BC BB ??=???=??n n

，即0

x x ?=??=??，可取n =

，1，-1）， ∴1cos ,A C n =

11|A C A C ?

n |n ||

∴直线A 1C 与平面BB 1

C 1C 所成角的正弦值为

……12分 19．【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C ，第二次取出的1件产品是优质品为事件D ，这批产品通过检验为事件E ，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB 与CD 互斥， ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=3

244111(

)()222C ??+411()22?

=3

64

.…6分

（Ⅱ）X 的可能取值为400,500,800，并且 P(X=400)=1-3

344111()()222C ?-=1116，P(X=500)=116，P(X=800)=33411()22C ?=14

， ∴X 的分布列为

……10分 EX=400×1116+500×116+800×1

4

=506.25 ……12分

20．【解析】由已知得圆M 的圆心为M （-1，0）,半径1r =1，圆N 的圆心为N (1,0),

半径2r =3. 设动圆P 的圆心为P （x ，

y ），半径为R.

（Ⅰ）∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，∴|PM|+|PN|=12

()()R r r R ++-=12r r +=4，

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，场半轴长为2(左顶点除外)，其方程为

22

1(2)43

x y x +=≠-.

（Ⅱ）对于曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM|-|PN|=22R -≤2，∴R ≤2, 当且仅当圆P 的圆心为（2，0）时，R=2. ∴当圆P 的半径最长时，其方程为2

2(2)4x y -+=，

当l 的倾斜角为0

90时，则l 与

y 轴重合，可得|AB|=当l

的倾斜角不为090时，由1r ≠R 知l 不平行x 轴，设l 与x 轴的交点为Q

，则

||||QP QM =1

R

r ，可求得

Q （-4，0），

∴设l ：(

4)y k x =

+，由l 于圆M 1=，解得k =当k

时，将

y x =代入221(2)43x y x +

=≠-并整理得278

80x x +-=，解得1,2x

∴12|x x -=

187

. 当k =时，由图形的对称性可知|AB|=187， 综上，|AB|=

18

7

或|AB|=.

21．【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，

而

()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，

设函数()F x =()()kg x f x -

=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-）

， ()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，

有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥， 令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2， （1）若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当1(,)x x ∈+∞时，()F x ＞0，即()

F x 在

1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ，而

1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0，

∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (2)若2k

e =，则()F x '=222(2)()x e x e e +-，

∴当x ≥－2时，()F x '≥0，∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (3)若2k

e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0，

∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立， 综上所述，k 的取值范围为[1,2

e ]. 22．【解析】（Ⅰ）连结DE ，交BC 与点G.

由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠CBE=∠BCE ，BE=CE ， 又∵DB ⊥BE ，∴DE 是直径，∠DCE=0

90，由勾股定理可得DB=DC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE ，BD=DC ，故DG 是BC 的中垂线，∴

. 设DE 中点为O ，连结BO ，则∠BOG=o 60，∠ABE=∠BCE=∠CBE=o

30，

∴CF ⊥BF ， ∴Rt △BCF

. 23. 【解析】将45cos 55sin x t y t

=+??

=+?消去参数t ，化为普通方程22

(4)(5)25x y -+-=，

即1C ：2

2810160x

y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ

=??

=?代入22

810160x y x y +--+=得， 28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，

∴1C 的极坐标方程为2

8cos 10sin 160ρ

ρθρθ--+=；

（Ⅱ）2C 的普通方程为2

220x

y y +-=，

由2222

81016020

x y x y x y y ?+--+=??+-=??解得11x y =??=?或02x y =??=?，∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为

4π），(2,)2π.

24．【解析】当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，

设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ?

-

?

--≤≤??

->???

，

其图像如图所示

从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <

<.

（Ⅱ）当x ∈[2a -

，1

2

)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+， ∴2x a ≥-对x ∈[2a -

，12)都成立，故2

a

-≥2a -，即a ≤43，

4 3].

∴a的取值范围为（-1，