2020.4 稽阳联考评分标准(数学)

2020年5月稽阳联考数学参考答案

一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

B

C

A

D

D

A

C

B

D

C

二、填空题：本大题共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分 11．4,3y x =± 12．42,5--

13．55

,42

14．58 92 15．15a --= 16．40 17．31-

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 18．（本题满分14分） （Ⅰ）33()sin cos 3sin()226

f x x x x π

=

+=+（3分） 所以函数()f x 的周期为2π，23

()3sin

2

32

f π

π== （7分） （Ⅱ）由（Ⅰ），则()21cos(2)

332

x y f x π

-+==?，（10分）

因[0,]2x π∈， 42[,]333x πππ+∈，1

cos(2)[1,]32

x π+∈-（12分）

则()2

y f x =的取值范围为3[,3]4

（14分）

（Ⅱ）另解：因[0,

]2

x π

∈， 2[,]663

x π

ππ

+

∈，所以33sin()[,3]6x π+∈（11分）

则()2

3

[

,3]4

y f

x =∈（14分） 19．（本题满分15分）解法（1）：

（Ⅰ）证：取AD 的中点O ，连结,,PO EO 由,,PO AD EO AD PO EO O ⊥⊥=I 可知

AD ⊥面,PEO 且PE ?面,PEO 则AD PE ⊥.（6分）

（Ⅱ）法一：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（ 8分）

作,,PQ CD PH OE ⊥⊥连HQ ，因PH ABCD ⊥平面，知HQ CD ⊥，由60PDC ∠=o 知1DQ =，

1OH DQ ==，由3PO =,在Rt PHO ?中，可知2PH =,则()

1,0,2P （10分）

()0,1,0A -，()0,1,0D ，()3,0,0E ,

则()()()

1,1,2,3,1,0,1,1,2PD DE PA =--=-=---u u u r u u u r u u u r

设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =r

，

则30

-x y x y -=???+??

得(n =r 为其中一个法向量，（12分） 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ

，则sin cos ,PA n PA n PA n

θ?===?u u u r r

u u u r r u u

u r r （14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 法二：（体积法）

设点A 到面PDE 的距离为h ，法一中已知点P 到面ABCD 的距离PH

，则PE =

9分）

PDE ?

中，2,PD DE PE ===所以PDE ?为直角三角形，由A PDE P ADE V V --=可知

1111

2233322

PDE ADE S h S h h ???=??=??=（12分） 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ

，则sin 2

h PA θ==

,（14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 20．（本题满分15分）

（Ⅰ）因为2112()n n n n a a a a +++-=- ，所以数列1{}n n a a +-是公比为2的等比数列，（3分）

则11222n n n n a a -+-=?=， 121211()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L =21n

- （7分）

（Ⅱ）法1

>

<

<

10分）

又n b =

=<= （13分）

22311(

()(22222222

n n n n S ++≤-+-++-=-K （15分） 法（2）

（数学归纳法）1

2n n b +=

，122n

n S +≤- ①当1n =

时，14S =

，右边24

-

<

只要证：22

<

7<，所以1n =成立（9分）

②假设n k =成立，即1

73722k k k S ++<

-， 则当1n k =+，13473734k k k k k S S ++++=+

<-+，要证：1

7310

k k S ++<-，只要证：

3431037

k k k ++++<，只要证：34310237k k k +++<+， 只要证：234310614k k k ++<+成立，所以当1n k =+成立（14分）

由①②可知，737n n S +≤-对*

n N ∈成立（15分）

21．（本题满分15分）

（1）抛物线2

:ax y C =即y a x 12

=

，准线方程为：a y 41-

=，Θ点)1,(b P 到焦点的距离为4

5

，1,4

5

411=∴=+

∴a a ∴抛物线C 的方程为2x y =（4分） （Ⅱ）解1：设),(),,(2

222

11x x N x x M ，Θ2

x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴∴切线AM 的方程为：

)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2

222x x x y -=（7分）

由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=

AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B

将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得2

1122x t x t -=-，即

022121

=-+-t tx x ， 22

)2(442221+--=---=∴t t t t t t x ，

同理可得212)1()1(12

22++++=++-+++=t t t t t t x ，（10分）

211

2212

2x x x x x x k MN

+=--=Θ，当AB MN //时，1=MN k ，得121=+x x （12分）

22+--∴t t t 1212=+++++t t t ，22222++-+-=∴t t t t t ，

2

22222++++--=

∴t t t t t

t 得0=t 或22+-∴t t 122-=+++t t （舍去）0=∴t （15分）

解法2：设设),(),,(2222

11x x N x x M ，Θ2

x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴

∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，

同理可得切线BN 的方程为：2

222x x x y -=（7分）

由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，

故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B

将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得2

1122x t x t -=-，即

022121=-+-t tx x ，（11分）

同理：2

222(1)10x t x t -++-=，两式相减，可知

22

121222()+210x x t x x x ----=，因为121=+x x ，所以122()0t x x --=，则0t =（15分）

22．（本题满分15分）

（1）()23f x x a x =--，23()12323

x a

f x x x --'=-

=

--，所以当0a ≤， ()0f x '≥，则3[,)2+∞上递增，当0a >，()0f x '=，232a x +=，所以233[,

)22a +递减，23

[,)2

a ++∞递增（6分） （Ⅱ）()1()f x g x -≤，可知123ax

x a x ke ---≤，对3[,)2x ∈+∞恒成立，取32

x =，

可知32

102a

k e

≥

>（7分）

因1a ≥，则2323,ax x a x x ke ke -≥

-≥，则

1231230ax x x a x ke x x ke ----≤----≤， 123x x x ke ---≤，（10分）

123

x

x x k e

---≤，（11分） 设123()x x h x ---=

，(2)(232)

()23

x

x x h x e x ---'=-， ()0h x '=可知2x =，72x =

，则函数在3[,2)2递减，7[2,)2递增，7

[,)2

+∞递减， 所以max 37

3

2

2

2

3711

1()max{(),()}max{

,

}2

2

222h x h h e

e e

===，所以32

12k e

≥

（15分）