2012年肇庆市中考数学试题和答案

肇庆市2012年初中毕业生学业考试

数 学 试 题

说明：全卷共4页，考试时间为100分钟，满分120分．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只

有一项是符合题目要求的．） 1．计算 23+- 的结果是

A ．1

B ．1-

C ． 5

D ． 5- 2．点M （2，1-）向上平移2个单位长度得到的点的坐标是

A ．（2，0）

B ．（2，1）

C ．（2，2）

D ．（2，3-） 3．如图1，已知D 、

E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B = 60°，∠AED = 40°， 则∠A 的度数为

A ．100°

B ．90°

C ．80°

D ．70° 4．用科学记数法表示5700000，正确的是

A ．6107.5?

B ．51057?

C ．4

10570? D ．7

1057.0?

5．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是

A ．四边形

B ．五边形

C ．六边形

D ．八边形

6．如图2是某几何体的三视图，则该几何体是

A ．圆锥

B ．圆柱

C ．三棱柱

D ．三棱锥

7．要使式子x -2有意义，则x 的取值范围是

A ．0>x

B ．2-≥x

C ．2≥x

D ．2≤x

A

B

C

D E

图

1

左视图

俯

视图

图2

8．下列数据3，2，3，4，5，2，2的中位数是

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

9．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为

A ．16

B ．18

C ．20

D ．16或20

10．某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：3：5，如图3所示的扇形图表示上述分布情况．已知来自甲地区的为180人，则下列说法不正确的是 A ．扇形甲的圆心角是72° B ．学生的总人数是900人

C ．丙地区的人数比乙地区的人数多180人

D ．甲地区的人数比丙地区的人数少180人

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）

11．计算5

120?

的结果是 ▲ ．

12．正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为 ▲ 度 ． 13．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 ▲ ． 14．扇形的半径是9 cm ，弧长是3πcm ，则此扇形的圆心角为 ▲ 度． 15．观察下列一组数：

3

2，

5

4，

7

6，

9

8，

11

10，…… ，它们是按一定规律排列的，那么

这一组数的第k 个数是 ▲ ．

图3

三、解答题（本大题共10小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分6分）

解不等式：04)3(2>-+x ，并把解集在下列的数轴上（如图4）表示出来．

17．（本小题满分6分）

计算：1

4

45

sin 623-+--．

18．（本小题满分6分）

从1名男生和2名女生中随机抽取参加“我爱我家乡”演讲赛的学生，求下列事件的概率：

（1）抽取1名，恰好是男生；

（2）抽取2名，恰好是1名女生和1名男生．

19．（本小题满分7分）

如图5，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于O ，AC =BD ． 求证：（1）BC =AD ；

（2）△OAB 是等腰三角形． 20．（本小题满分7分） 先化简，后求值：1

)1

11(2

-÷

-+x x x ，其中x =-4．

21．（本小题满分7分）

顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人，到两地旅游的人数各是多少人？

0 1 2

-1

-2 图4

A

B

C

D

O

图5

22．（本小题满分8分）

如图6，四边形ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BE ∥AC 交DC 的延长线于点E .

（1）求证：BD=BE ；

（2）若∠DBC =30?，BO =4，求四边形ABED 的面积.

23．（本小题满分8分） 已知反比例函数x

k y 1-=

图象的两个分支分别位于第一、第三象限．

（1）求k 的取值范围；

（2）若一次函数k x y +=2的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4． ①求当6-=x 时反比例函数y 的值； ②当2

10<

24．（本小题满分10分）

如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE 、AD 交于点P . 求证：

（1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB ? CE=2DP ?AD ．

25．（本小题满分10分） 已知二次函数p nx mx

y ++=2

图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （1x ，0）、

B （2x ，0），1x ﹤0﹤2x ，与y 轴交于点

C ，O 为坐标原点，1tan tan =∠-∠CBO CAO ．

（1）求证：04=+m n ； （2）求m 、n 的值；

（3）当p ﹥0且二次函数图象与直线3+=x y 仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

C

D

E

图

6

B

图7

肇庆市2012年初中毕业生学业考试 数学试题参考答案和评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）

三、解答题（本大题共10小题，共75分.）

16.（本小题满分6分）

解：0462>-+x (1分)

22->x (3分) 1->x (4分)

解集在数轴上表示出来为如图所示 (6分)

17.（本小题满分6分） 解：原式=4

122623+?

- （3分）

=4

12323+-

（4分）

=

4

1 （6分）

18.（本小题满分6分）

解：（1）抽取1名,恰好是男生的概率是31

（3分）

（2）用男、女1、女2表示这三个同学，从中任意抽取2名，所有可能出现的结果有： （男，女1），（男，女2），（女1，女2），共三种情况，恰好是1名女生和1名男生的情况

0 1 2

-1

-2

有2种，

∴恰好是1名女生和1名男生的概率是 3

2 （6分）

19.（本小题满分7分）

证明：（1）∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ∴ ∠D =∠C =90? （1分）

在Rt △ACB 和 Rt △BDA 中，AB = BA ，AC =BD ， ∴ △ACB ≌ △BDA （HL ） （4分） ∴BC =AD （5分）

（2）由△ACB ≌ △BDA 得 ∠C AB =∠D BA （6分） ∴△OAB 是等腰三角形． （7分） 20.（本小题满分7分） 解：原式=

)

1)(1(1

11-+÷

-+-x x x x x （2分）

=

x

x x x x )

1)(1(1

-+?

- （4分）

=1+x （5分） 当x =-4时，原式=1+x =-4+1 （6分）

=-3 （7分）

21.（本小题满分7分）

解：设到德庆的人数为x 人，到怀集的人数为y 人

依题意，得方程组：?

??-==+12200y x y x （4分）

解这个方程组得：??

?==67

133y x （6分）

答：到德庆的人数为133人，到怀集的人数为67人． （7分）

22.（本小题满分8分）

（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AC =BD , AB ∥CD (1分) 又BE ∥AC , ∴四边形ABEC 是平行四边形 (2分) ∴BE= AC (3分) ∴BD=BE (4分)

（2）解：∵四边形ABCD 是矩形 ∴AO=OC=BO=OD=4,即BD=8 ∵∠DBC =30? ,∴∠ABO= 90°— 30°= 60°

A B

C

D

O

C

D

E

∴△ABO 是等边三角形 即AB=OB=4 于是AB =DC =CE =4 (5分) 在Rt △DBC 中，tan 30°=

BC

BC

DC 4= ,即

BC

43

3=

,解得BC=34 (6分)

∵AB ∥DE ,AD 与BE 不平行，∴四边形ABED 是梯形,且BC 为梯形的高 ∴四边形ABED 的面积=324

34)444(2

1)(2

1=?++?=

?+?BC DE AB (8分)

23.（本小题满分8分） 解：（1）∵反比例函数x k y 1-=

图象的两个分支分别位于第一、第三象限

∴01>-k ，∴1>k （2分）

（2）①设交点坐标为（a ，4），代入两个函数解析式得：??

?

??-=+=a k k a 1424 （3分）

解得?????

==

3

2

1k a ∴反比例函数的解析式是 x y 2= （4分）

当6-=x 时反比例函数y 的值为 3

16

2-

=-=y （5

分）

②由①可知，两图象交点坐标为（2

1，4） （6

分）

一次函数的解析式是32+=x y ，它的图象与y 轴交点坐标是（0，3） （7分）

由图象可知，当2

10<

∴y 的取值范围是43<

24.（本小题满分10分）

证明：（1）∵AB 是直径 ∴∠ADB = 90°即AD ⊥BC （1分） 又∵AB=AC ∴D 是BC 的中点 （3分） （2）在△BEC 与 △ADC 中，

∵∠C=∠C ∠CAD=∠CBE （5分） ∴△BE C ∽△ADC （6分） （3）∵△BEC ∽△ADC ∴

CE

BC CD

AC =

又∵D 是BC 的中点 ∴2BD=2CD=BC ∴

CE

BD BD

AC 2= 则 CE AC BD ?=22 ① （7分）

在△BPD 与 △ABD 中， 有 ∠BDP=∠BDA

又∵AB=AC AD ⊥BC ∴∠CAD=∠BAD

又∵∠CAD=∠CBE ∴∠DBP=∠DAB

∴△BPD ∽△ABD （8分） ∴

BD

AD PD

BD = 则 AD PD BD ?=2 ② （9分）

∴由①，②得：AD PD BD CE AC ?==?222

∴AD DP CE AB ?=?2 （10分）

25.（本小题满分10分） （1）将2代入顶点横坐标得：22=-

m

n （1分）

∴04=+m n （2分）

（2） ∵已知二次函数图象与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0），且由（1）知m n 4-= ∴4421=--

=-

=+m

m m n x x ，m

p x x =

?21 （3分）

∵ 1x ﹤0﹤2x ， ∴在Rt △ACO 中，tan ∠CAO =

1

x OC OA

OC -=

在Rt △CBO 中，tan ∠CBO =

2

x OC OB

OC =

∵1tan tan =∠-∠CBO CAO ， ∴

1

x OC -12

=-

x OC （4分）

图7

∵ 1x ﹤0﹤2x ，∴0≠=p OC ∴

p

OC

x x 11112

1

-

=-

=+

即

p

x x x x 12

121-

=+

∴

p

m

p 14-

= ∴p m p 4-= （5分）

①当0>p 时，4

1-=m ，此时，1=n （6分）

②当0

1=

m ， 此时，1-=n （7分）

（3）当0>p 时，二次函数的表达式为：p x x y ++-

=2

4

1

∵二次函数图象与直线3+=x y 仅有一个交点 ∴方程组??

???

+=++-=34

12x y p

x x y 仅有一个解

∴一元二次方程p x x x ++-=+2

4

13 即034

12

=-+-

p x 有两个相等根 （8分）

∴0)3()4

1(402

=-?-

?-=?p 解得：3=p （9分）

此时二次函数的表达式为：34

12

++-=x x y 4)2(4

12

+--

=x

∵04

1<-

=a ，∴y 有最大值4 （10分）

[注：以上的解答题若用了不同的解法，可按评分标准中相对应的步骤给分]