六年级数学培优作业含答案

六年级数学培优作业含答案

一、培优题易错题

1．“△”表示一种新的运算符号，已知：2△3=2﹣3+4，7△2=7﹣8，3△5=3﹣4+5﹣6+7，…；按此规则，计算：

（1）10△3=________.

（2）若x△7=2003，则x=________．

【答案】（1）11

（2）2000

【解析】【解答】（1）10△3=10-11+12=11；（2）∵x△7=2003，

∴x-（x+1）+（x+2）-（x+3）+（x+4）-（x+5）+（x+6）=2003，

解得x=2000．

【分析】（1）首先弄清楚定义新运算的计算法则，从题目中给出的例子来看，第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加减，根据发现的运算规则，即可由10△3列出算式，再根据有理数加减法法则，即可算出答案；

（2）根据定义新运算的计算方法，由x△7=2003，列出方程，求解即可。

2．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．

（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是________；

（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8

①第几次滚动后，小圆离原点最远？

②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）

（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距6π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．

【答案】（1）-4π

（2）解：①第1次滚动后，|﹣1|=1，

第2次滚动后，|﹣1+2|=1，

第3次滚动后，|﹣1+2﹣4|=3，

第4次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2|=5，

第5次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|=2，

第6次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|=10，

则第6次滚动后，小圆离原点最远；

②1+2+4+3+2+8=20，

20×π=20π，

﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8=﹣10，

∴当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有20π，此时两圆与数轴重合的点之间的距离是10π

（3）解：设时间为t秒，

分四种情况讨论：

i）当两圆同向右滚动，

由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：2πt，

小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，

2πt﹣πt=6π，

2t﹣t=6，

t=6，

2πt=12π，πt=6π，

则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为12π、6π．

ii）当两圆同向左滚动，

由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：﹣2πt，

小圆与数轴重合的点所表示的数：﹣πt，

﹣πt+2πt=6π，

﹣t+2t=6，

t=6，

﹣2πt=﹣12π，﹣πt=﹣6π，

则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣12π、﹣6π．

iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，

同理得：2πt﹣（﹣πt）=6π，

3t=6，

t=2，

2πt=4π，﹣πt=﹣2π，

则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为4π、﹣2π．

iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，

同理得：πt﹣（﹣2πt）=6π，

t=2，

πt=2π，﹣2πt=﹣4π，

则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣4π、2π

【解析】【解答】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是﹣2π?2=﹣4π，

故答案为：﹣4π；

【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长；（2）①分别计算出第

几次滚动后，小圆离原点的距离，比较作答；②先计算总路程，因为大圆不动，计算各数之和为﹣10，即小圆最后的落点为原点左侧，向左滚动10秒，距离为10π；（3）分四种情况进行讨论：大圆和小圆分别在同侧，异侧时，表示出各自与数轴重合的点所表示的数．根据两圆与数轴重合的点之间相距6π列等式，求出即可．

3．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒。

（1）写出数轴上点B表示的数________，点P表示的数________（用含t的代数式表示）；

（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？

（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；

（4）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+6|+|x-8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．

【答案】（1）-6；8-5t

（2）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图）

则AC=5x，BC=3x，

∵AC-BC=AB

∴5x-3x=14

解得：x=7，

∴点P运动7秒时，在点C处追上点Q

（3）解：没有变化．分两种情况：

①当点P在点A、B两点之间运动时：

MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB=7

②当点P运动到点B的左侧时：

MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP）= AB=7

综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7

（4）解：式子|x+6|+|x-8|有最小值，最小值为14．

【解析】【解答】解：（1）点B表示的数是-6；点P表示的数是8-5t，

【分析】（1）点B表示的数是-6；点P表示的数是8-5t，

【分析】（1）根据点A的坐标和AB之间的距离即可得出B点的坐标和P点的坐标；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据距离的差为14列出方程即可求解；

（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，根据MN=MP+NP进行计算即可；

②当点P运动到点B的左侧时，根据MN=MP-NP计算即可；

（4）分三种情况去绝对值符号：x8时，原式=x+6+x-8=2x-214; -6x8时，原式=x+6+8-x=14; x-6时，原式=-x-6-x+8=-2x+214，综上所述得出最小值。

4．已知x、y为有理数，现规定一种新运算“※”，满足x※y=xy+1．

（1）求3※4的值；

（2）求（2※4）※（﹣3）的值；

（3）探索a※（b﹣c）与（a※c）的关系，并用等式表示它们．

【答案】（1）解：3※4=3×4+1=13

（2）解：（2※4）※（﹣3）=（2×4+1）※（﹣3）=9※（﹣3）=9×（﹣3）+1=﹣26

（3）解：∵a※（b﹣c）=a?（b﹣c）+1=ab﹣ac+1=ab+1﹣ac﹣1+1，

a※c=ac+1．

∴a※（b﹣c）=a※b﹣a※c+1

【解析】【分析】根据新运算的规律，求出计算式的值，求出探索的式子之间的关系.

5．蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需小时；排光一池水，单开排水管需小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）

【答案】解：小时排水比1小时进水多，

各开3小时后还有的水量：，

再开1小时进水管后的水量：，

拍完这些水需要：（小时）=54（分），

共需要：3×2+1+=（小时）=7小时54分。

答：7小时54分后水池的水刚好排完。

【解析】【分析】进水管每小时进水量为，排水管每小时排水量为，这样就可以计算出1小时排水比进水多的分率。假设两个水管各开了3小时（实际共6小时），用1小时排水比进水多的分率乘3求出排水量，用原有水量减去排水量即可求出剩下的水量。此时

该开进水管了，每小时进水后实际还有剩下的水量加上。然后开排水管，用此时的水量除以每小时的排水量即可求出剩下的水需要的时间。然后把总时间相加即可求出刚好排完的时间。

6．甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？

【答案】解：

=

=

=（天）

答：要用天才能完成。

【解析】【分析】首先应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成。如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去做时用的天数将都与按甲、乙、丙的顺序做用的天数相同，这与题意不符；如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、甲的顺序去做，最后由甲做了半天来完成，这样有，可得；而按丙、甲、乙的顺序去

做，最后由乙做了半天来完成，这样有，可得．那么，即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合。所以按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天是由甲完成的。那么有，可得，。这样就可以根据工作效率之间的关系分别求出乙和丙的工作效率，用总工作量除以三队的工作效率和即可求出一起做完成的时间。

7．一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么

乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【答案】解：甲做5天的工作量乙需要4天，乙独做需要：20+4=24（天），

甲的工作效率：，

合做：（天）。

答：如果甲、乙合作，天可以完成。

【解析】【分析】如图：

从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件。这样这项工程就相当于乙独做需要（20+4）天。用乙的工作效率乘4再除以5即可求出甲的工作效率，用总工作量除以工作效率和即可求出合作完成的天数。

8．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成．现在甲先做小时，然后乙做小时，再由甲做小时，接着乙做小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？

【答案】解：假设两队交替做4次，甲的工作量：，

乙的工作量：，

还剩下的工作量：，

甲还要做：（小时），

总时间：（1+3+5+7）+（2+4+6+8）+=（小时）。

答：完成任务共要小时。

【解析】【分析】交替4次，甲工作的时间是1、3、5、7小时，乙工作的时间是2、4、

6、8小时。用每队的工作效率乘各自的工作时间求出各自完成的工作量，用1减去两队分别完成的工作量即可求出剩下的工作量。剩下的工作量该甲做了，因此用剩下的工作量除以甲的工作效率就是甲还需要做的时间。然后把两队工作的总时间相加即可求出共需要的时间。

9．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、

乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天．已知甲单独完成这件工作需天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？

【答案】解：甲的工作效率：1÷10.75=，乙的工作效率：，丙的工作效

率：，

（天）。

答：完成工作需要天。

【解析】【分析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期。容易知道，第一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期天，第二种可能是完整周期天。如果是第一种可能，有，得。然而此时甲、乙、丙的效率和

为，经过4个周期后完成，还剩下，而甲每天完成，所以剩下的不可能由甲1天

完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立。

第二种可能：

完整周期不完整周期完成总工程量

第一

种情

n个周期甲1天，乙1天“1”

况

第二

种情况n个周期

乙1天，丙1天，甲天

“1”

第三

种情况n个周期

丙1天，甲1天，乙天

“1”

可得，所以，。因为甲单独做需天，所以工作效率为，于是乙的工作效率为，丙的工作效率为。

于是，一个周期内他们完成的工程量为。则需个完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天

完成．所以第二种可能是符合题意的。这样用总工作量除以三人的工作效率和即可求出合作完成的时间。

10．一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现

在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土?

【答案】解：工作效率和：，

遇到地下水前的天数：（天），

遇到地下水后工作的天数：10-（天），

遇到地下水后的工作效率：，

47.25÷（）=1100（方）

答：整工程要挖1100方土。

【解析】【分析】用原来的工作效率和乘（1+20%）求出提高后的工作效率和，用原来完

成的工作量除以工作效率和求出遇到地下水前挖的时间，进而求出遇到地下水后挖的时间。用遇到地下水后的工作量除以工作时间求出后来的工作效率。根据分数除法的意义，用每天少挖的土方数除以前后合做的工作效率的差即可求出整工程挖的土方数。