小学奥数——统筹优化问题

统筹优化问题

母亲节那天小芳爸爸、妈妈都加班了，小芳想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭，送上

一份特别的礼物.她准备做大米饭、炒鸡蛋和水果沙拉.她估计了一下时间，洗米要3分钟，

蒸大米饭20分钟，打鸡蛋要1分钟，洗炒锅勺要1分钟，炒菜要5分钟，做水果沙拉要

10分钟.你知道聪明的小芳是怎样最合理的安排时间的吗至少需要多长时间能做好这顿饭

父亲节的时候你能否也送上这样一份暖心的礼物

答案提示：聪明的小朋友肯定不会一件一件接着做，那样会很浪费时间的！合理的安排：先洗米3分钟，蒸大米饭20分钟（在此同时我们还可以将：打鸡蛋要1分钟，洗炒锅勺要1分钟，炒菜要5分钟，做水果沙拉要10分钟，共17分钟进行完），所以至少需要23分钟可将这份礼物准备完毕.

类型Ⅰ：统筹安排事情

【例1】（03年迎春杯试题）小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥.已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要分钟;小红单独过桥要2分钟;小蓉单独过桥要分钟.那么,4个人都通过小木桥,最少要多少分钟

【例2】（奥数网备选题库）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟问煎1994个饼至少需要几分钟

了80瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水

【拓展】（07年希望六年级杯培训试题改编）学校师生1140人外出参观，计划每人发2瓶汽水，商店规定每6个空汽水瓶可以换1瓶汽水，老师最少买多少瓶汽水，合理筹划，回收空瓶换汽水后，可以保证每人按计划喝到汽水

【例4】（奥数网习题库）有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右

图所示（图中单位是千米），现要求按最节约的方

法铺设，总费用是多少

类型Ⅱ：沙漠探险

【例5】（奥数网习题库）有5位探险家计划

横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车

最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油。

显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的

沙漠。于是，他们计划在保证其余车安全返回

出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠。当然，

实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠

【例6】（奥数网习题库）甲乙两个人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，如不允许将部分食物放于途中，那么其中一个人最多可以深入沙漠多少千米(要求最后两人都回到出发点)

类型Ⅲ：排队问题

【例7】（奥数网习题库）5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小并求出最小值．

【例8】（07年希望杯六年级培训试题）理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟.怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少最少要用多少时间

【例9】（101培训试题）车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元.现有两名工作效率相同的修理工，

（1）怎样安排才能使得经济损失最少

（2）怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短

类型Ⅳ：场地设置问题

【例10】（首师附中培训测试题）如右图，在街道上有A、B、

C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮

筒的距离之和最短，邮局应立于何处

【拓展】（交大附中培训试题）如右图，道路上有8个

幼儿园，现在要在道路上建造一个送奶站，为使送奶

站到8个幼儿园的距离和最短，送奶站应建在哪个幼

儿园

【例11】（人大附中分班考试题）在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如右图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在

一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费元，那么集中到哪个

仓库运费最少

的距离都是50米．第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班．A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处

分析：如图所示，“小往大处靠”的原则来解决，故应建在4号楼

的位置，距1号楼150米处．

【例12】（奥数网习题库）右图是A，B，C，D，E五个村之

间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数

表示两村之间的距离（单位：千米）。现在要在五村之中选一个村

建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理

的方案.

附加题目

【附1】(01年小数报数学邀请赛) 青少年科技活动中心工地上，有一批废旧建筑材料和垃圾需要清理并运离现场，由两位货车司机小王和小李负责清理、运输．两人同时清理废旧建筑材料需2小时；两人同时清理垃圾需0．5小时；货车将垃圾运送郊区，往返需3小时，货车将废旧建筑材料运送收购站，往返需1小时．小王和小李完成这项清理、运输工作返回工地最少需几小时请你设计出一个最佳方案(垃圾与建材均不超过1车，装车时间不计)．

多能穿越多宽的沙漠

【附3】（06年希望杯一试）有一位探险家，计划用6天的时间徒步横穿沙漠，如果搬运工人和探险家每人最多只能携带1个人四天所需的食物和水，那么这个探险家至少要雇用多少名工人

【附4】（奥数网习题库）甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需要的时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作.问：加工完七个零件最少需要多长时间分析：按照需要加工的时间，我们可以把七个零件大体分成3组，因为4＋5＋6＋6＋8＋9＋9＝47.

那么可知不论怎么组合，都必然出现有一组的时间是17.例如：（4＋5＋6），（6＋9），（8＋9）

或（4＋6＋6），（5＋9），（8＋9）或（4＋5＋8），（6＋9），（6＋9）.所以加工完最少需要17分钟.

【附5】（奥数网习题库）有2005名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小

【附6】（奥数网习题库）（难度系数：★★★★）某乡共有六块麦地，

每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处最好（运输总量的千克千米

数越小越好.）

练习十三

1．1元钱一瓶汽水，喝完后6个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水

2．有一个水塔要供应某条公路旁的A～F六个居民点用水（见

右图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够

供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每

千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，

才能使费用最省费用应是多少

3．有一位探险家，徒步横穿沙漠，如果搬运工人和探险家每人最多只能携带1个人四天所需的食物和水，这个探险家雇用了2名工人，那么他最远可以走几天

4．车间里有5台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。问：如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少最少为多少元/

5．设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，…….如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少.这时间等于多少分钟

6．在一条公路上每隔100千米，有一个仓库（如图）共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要元运输费，那么最少要多少运费才行