解三元一次不定方程组

题目：小明的妈妈去超市购物，已知买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋需付元，买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋需付元，小明妈妈想买一个鸡蛋一个鸭蛋一个鹌鹑蛋需付多少钱

分析：此方程组是三元一次不定方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，可通过变形变换得到多种解法．

解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得

13x+5y+9z= ①

2x+4y+3z= ②

（1）凑整法

解法1：

（①+②）/3: 5x+3y+4z= ③

∴②+③，得7(x+y+z)=

∴x+y+z=

答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需元。

解法2：

原方程组可变形为

13(x++y+z)-4(2y+z)= ①

2(x++y+z)+4(2y+z)= ②

解之得x+y+z=

（2）主元法

解法3：

视x、y为主元，视z为常数，解①、②得x=，y=

∴x+y+z=++z=．

解法4：

视y、z为主元，视x为常数，解①、②得y=+x，z=1-2x．

∴x+y+z=+x-2x+x=．

解法5：

视z、x为主元，视y为常数，解①、②得x=，z=

∴x+y+z=+y+=．

（3）参数法

解法6：

设x+y+z=k，则

13x+5y+9z= ①

2x+4y+3z= ②

x+y+z=k ③

∴①-②×3，得x-y= ④

③×3-②，得x-y= ⑤

∴由④、⑤得=

∴k=．即x+y+z=．

（4）待定系数法

解法7：

设x+y+z=a(13x+5y+9z)+b(2x+4y+3z)=(13a+2b)x+(5a+4b)y+(9a+3b)z 则比较两边对应项系数，得

1=13a+2b

1=5a+4b

1=9a+3b

可得a=1/21

b=4/21

x+y+z=+=21+21=21=