人教版八上数学轴对称专题讲义

第十三章

轴对称

14．轴对称

预习归纳

1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做，这条直线就是它的．

2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做．

例题讲解

[例]下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（）

基础题训练

1．（2013·日照）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（）

2．在下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）

A.线段B．长方形C．三角形D．角

3．在等腰三角形，等边三角形，长方形，正方形中，对称轴的条数分别是（）

A．1,2,3,4B．2,3,4,1C．1,3,2,4D．1,4,2,3

4．如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠B=40°，∠CAD=60°，则∠BCD=（）

A．160°B．120°C．80°D．100°

B

D

5．如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上F处，若∠EFB=60°，则∠AED=．

E

6．如图，是一个风筝的图案，它是轴对称图形，∠AEB=140°，AC ⊥AE ，∠C=60°，则∠CFD 的度数为．

7．如图所示的图形中成轴对称的是（）

中档题训练

8．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，使D 落在D’上，若∠BCD’=10°，则∠AED’=．

9．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 的边BC 沿∠ACB 的平分线CD 折叠到B’C ，B’在AC 上，若∠B’DA=20°，则∠B = ．

B'

10．在平面镜里看到背后面墙上电子钟示数如图所示，则这时的实际时间应该是．

11．如图所示，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（）

12．如图三个图形都是轴对称图形，画出它的一条对称轴，并标出A点的对称点A’．

13．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=3cm，点A和点B关于直线l对称，l与AC 相交于点D，则△BDC的周长是多少？

14．用四块如图（1）所示的瓷砖拼成一个正方形的图案，使拼成的图案成一个轴对称图形，如图（2），请你分别在图（3）、图（4）中各画一种与图（2）不同的拼法，要求拼成轴对称图形．

综合题训练

15．如图所示，由几个正方形组成的图形中，请你用三种不同的方法在下图列各中添一个正方形，使新图形成为一个轴对称图形．

15. 线段的垂直平分线的性质

预习归纳

1.线段垂直平分线上的点与线段 的距离相等。

2.与一条线段 距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

例题讲解

【例】如图，AB ＝AC ，MB ＝MC ，求证：直线AM 是线段BC 的垂直平分线。

基础题训练

1.如图，AD ⊥BC 于D ，BD ＝CD ，则AB AC ，理由 。

2.（2013·广州）点P 在线段AB 的垂直平分线上，P A ＝7，则PB ＝ 。

3.如图，CD 是AB 的垂直平分线，若AC ＝1.6cm ，BD ＝2.3，则四边形ACBD 的周长为 cm 。

4.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，∠DAC ＝20°，∠B ＝ 。

5.如图，点P 是AC 、BC 的垂直平分线的交点，则点P AB 的垂直平分线上（填“在”或“不在”）。

6.如图，BC ＝10，BD ＝6，AD ＝4，则点D 在 的垂直平分线上。

第1题图

D

B

C

第3题图

B

D

第4题图

第5题图

A

第6题图

D

7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE＋DE＝AC。

8.如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，

（1）若△ADE的周长是10，求BC的长；

（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数。

9.如图，△ABC和△DEF关于直线l成轴对称，请做出直线l。

C F

l

中档题训练

10.如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上一点，求证：BE＝CE。

B

11.如图，P为∠MON平分线上一点，P A⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB。

O

N

B

12.如图，AD ⊥BC ，BD ＝CD ，点C 在AE 的垂直平分线上，探究：AB ＋BD 与DE 有什么关系？

C

B

E

D

13.如图，A 、B 、C 是新建的三个居民小区，政府已在与三个居民小区距离相等的地方修建了一所学校，要求学校到三个小区的距离相等，请在图中作出学校的位置M 。

A

14.如图，有两条国道相交于O 点，在∠AOB 的内部有两村庄C 、D ，现要修建一加油站P ，使点P 到OA 、OB 的距离相等，且使PC ＝PD ，用尺规作图，作出加油站P 的位置（不写作法）。

A

D

综合题训练

15.如图，△OBC 中，BC 的垂直平分线DP 交∠BOC 的平分线于D ，垂足为P ， （1）若∠BOC ＝60°，求∠BDC 的度数；

（2）若∠BOC ＝α，则∠BDC ＝ （直接写出结果）。

O

16. 画轴对称图形（一）

预习归纳

1.由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小；新图形上的每一点都是原图像上某一点关于直线l的；连接任意一对对应点的此案段被对称轴。

2.对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的。

例题讲解

【例】已知△ABC和直线l，画出△ABC关于直线l的轴对称图形。

l

B

基础题训练

1.如图，A、B关于直线了对称，P为l上一点，则∠ACP＝，AC＝，P A＝。

第1题图

第2题图

第3题图

2.如图是一个轴对称图形，这个图形共有 条对称轴。

3.如图正五边形对称轴的条数是 。

4.仔细观察图形，

并按规律在横线上填上适当的图形：

5.如图，有一个以格点为顶点的△ABC ，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个，它们分别是 。

6.如图，直线l 和线段AB ，作出线段AB 关于直线l 的对称线段A B ''.

l

A

B

中档题训练

7.如图所示，已知四边形ABCD 和过点A 的直线MN ，求作四边形A B C D ''''，使四边形A B C D ''''与四边形ABCD 关于直线MN 对称。

综合题训练

8.如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种，请一一画出了。

第5题图

B

17.画轴对称图形（二）

预习归纳

1.点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为。

2.点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为。

例题讲解

【例】已知点A（3，b），B（a，－1）。

（1）若A、B关于x轴对称，则a＝，b＝；

（2）若A、B关于y轴对称，则a＝，b＝。

基础题训练

1.点A（2，1）关于y轴对称的点的坐标为，关于x轴对称的点的坐标为。

2.点P（－5，4）关于x轴对称的点P1的坐标是，关于y轴对称的点P2的坐标是。

3. 点P（－1，－2）与点P1（－1，2）关于轴对称，点（－1，－2）与点（1，－2）关于轴对称。

4. 点P（－3，4）与点P1（a－1，b＋2）关于y轴对称，则a＝，b＝。

5.在平面直角坐标系中，P点关于x轴的对称点在第二象限，则P点应在第象限。

6.（2013·珠海）点（3，2）关于x轴对称的点为（）

A.（3，－2）

B.（－3，2）

C.（－3，－2）

D.（2，－3）

7.已知点A（－2，1）与点B关于直线x＝1成轴对称，则点B的坐标是（）

A.（4，1）

B.（4，－2）

C.（－4，1）

D.（－4，－1）

8.点P（－1，2）关于x轴对称的点为P1，P1关于y轴对称的点为P2，则P2的坐标为。

9.已知点A（2a＋3b，－2）和点A （－1，3a＋b）。

（1）若点A和A'关于y轴对称，则a＋b＝；（2）若点A和A'关于x轴对称，则a＋b＝。

中档题训练

10.如图所示，△ABC 的顶点分别为A （－2，3），B （－4，1），C （－1，2）。 （1）作出△ABC 关于直线x ＝2对称的图形△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1的坐标； （2）作出△ABC 关于直线y ＝－1对称的图形△A 2B 2C 2，写出A 2、B 2、C 2的坐标。

综合题训练

11.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示。

（1）作出△ABC 关于y 轴对称的图形△A 1B 1C 1，并写出△A 1B 1C 1各顶点的坐标；

（2）将△ABC 向右平移6个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2，并写出△A 1B 1C 1各顶点的坐标；

（3）观察△A 1B 1C 1和△A 2B

2C 2，它们是否关于某直线对称？若是，请画出这条对称轴，并写出这条对称轴的名称。

18.等腰三角形（一）性质

预习归纳

1.等腰三角形的两个底角（简写成“等边对”）。

2.等腰三角形的、、相互重合（简写成“三线合一”）。

例题讲解

【例】求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等。（用两种方法）

基础题训练

1.等腰三角形的两边的长为3和5，则其周长为。

2.等腰三角形的两边分别为2和4，则周长为（）

A.8

B.10

C.8或10

D.6

3.等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为（）

A.15

B.15或7

C.7

D.11

4.（2013·济南）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（）

A.68°

B.32°

C.22°

D.16°

5.等腰三角形有一个内角为100°，则其余两个角的度数为。

6.等腰三角形中有一个内角等于40°，其余两个角的度数为（）

A.40°，100°

B.70°，70°

C.40°，100°或70°，70°

D.60°，80°

7.（2013·荆州）若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为。

8.等腰三角形的对称轴是（）

A.底边上的中线

B.顶角的平分线

C.底边上的高

D.底边的垂直平分线

9.如图，AB＝AC＝CD，AD＝BD，求∠BAC的度数。

B D

10.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AE 平分△ABC 的外角∠DAC ，求证：AE ∥BC 。

中档题训练

11．下列说法：①顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等；②底边相等的两个等腰三角形全等；

③腰长相等且有一个角是20°的两个等腰三角形全等。其中正确的有 。 12．如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，∠AED=∠AFD=90°，AE=AF ， 求证：∠1=∠2。

13．如图1，△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D 。 （1）若∠A=40°，则∠DBC= ； 若∠A=50°，则∠DBC= ；

若∠A= ，则∠DBC= ；

（2）如图2，猜想：∠DBC 与∠BAC 之间的数量关系，并予以证明。

B

图2

综合题训练

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，P为AC上一点，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延长线于M，MN⊥AC于N，AQ=MN。

（1）求证：AP=AM

（2）求证：PC=AN。

19.等腰三角形（二）判定

预习归纳

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等（简写成 ）.

例题讲解

【例】在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，EF ∥AD ，交AC 于E ，交BA 的延长线于F ，求证：△AEF 为等腰三角形.

基础题训练

1．在△ABC 中：

（1）若∠B ＝∠C ，AB ＝5，则AC ＝________；

（2）若∠B ＝50°，∠C ＝65°，则△ABC 的形状是________； （3）若∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2，则△ABC 的形状是________．

2. （2013成都）如图，在△ABC 中，B C ∠=∠， AB

＝5，则AC 的长为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．如图，△ABC 中，D 为AC 上一点，∠C ＝72°，∠A ＝∠DBC ＝36°，则图中共有____等腰三角形．

4．如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝3，AE＝4，则AC＝________．

5．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，且MN∥BC分别交AB、AC于M、N，若AB＝12，AC＝18，则图中的等腰三角形有____________；△AMN的周长是_________．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．

（1）求∠DAC的度数；

（2）求证：DC＝A B．

7．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，EF∥AD，交AC于E，交BA的延长线于F，求证：△AEF为等腰三角形．

中档题训练

8．如图，下列三角形中，若AB ＝AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）

④

③②①

A B

A

B

B

A

B

C

C

C

C

A ①②③

B ．①②④

C ．②③④

D ．①③④

9．如图，在△ABD 中，∠ABC ＝45°，AC 、BF 为高，AC 、BF 相交于E 点． ⑴求证：BE ＝AD ;

⑵过C 点作CM ∥AB 交AD 于M 点，连EM ，求证：BE ＝AM ＋EM ．

10．已知点O 到△ABC 的两边AB 、AC

所在直线的距离相等，且OB ＝O C ． （1）如图1，若点O 在BC 上，求证：AB ＝AC ； （2）如图2，若点O 在△ABC 内部，求证：AB ＝AC ；

（3）若点O 在△ABC 外部，AB ＝AC 成立吗？请画图并证明你的结论．

图1 图2 图3

综合题训练

11．如图，AB 、CD 交于E ，且AC ＝BD ，∠A ＋∠B ＝180°．求证：CE ＝DE ．（用3种方法）

A

A

专题 利用等腰三角形求角度

一、方程的思想求角度

1. 如图，点K 、B 、C 分别在GH 、GA 、KA 上，且AB ＝AC ，BG ＝BH ，KA ＝

KG ，求∠BAC 的度数．

2. 如图，点E 为△ABC 边AB 上一点，AC ＝BC ＝BE ，AE ＝EC ，BD ⊥AC

于D ，求∠CBD 的度数．

3. 如图，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE

＝BE ．求∠A 的度数．