2015年高考数学全国卷2理试题及答案word

2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ

一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分

1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}

(1)(20B x x x =-+<,则A B = （ ） A ．{}1,0A =- B ．{}0,1 C ．{}1,0,1- D ．{}0,1,2

2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（ ）

A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现

C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

4．已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= （ ）

A ．21

B ．42

C ．63

D ．84

5．设函数211log (2),1,()2,1,

x x x f x x -+-

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

A ．1

B ．1

C ．1

D ．1

7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）

A ．26

B ．8

C ．46

D ．10

8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）

A ．0

B ．2

C ．4

D ．14

9．已知B A ,是球O 的球面上两点，

90=∠AOB ,C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）

A ．π36 B.π64 C.π144 D.π256

10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，

O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运

动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之

和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致

为（ ）

(D)

(C)(B)(A)x y π

4π23π4π

2

2π3π4π2π

4y x x y π

4π23π4π22π3π4π2π

4y x

11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）

A ．5

B ．2

C ．3 D

．2

12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，

'()()0

xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)(1,)-+∞

C ．(,1)(1,0)-∞--

D ．(0,1)(1,)+∞

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．

14．若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥??-≤??+-≤?

，，则z x y =+的最大值为____________．

15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．

16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．

三、解答题

17．（本题满分12分）ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ?面积是ADC ?面积的2倍．

（Ⅰ） 求sin sin B C

∠∠； （Ⅱ）若1AD =，22

DC =，求BD 和AC 的长． 18．（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分

低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意

记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．

19．（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，

点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，

F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；

（Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．

20．（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．

（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l 过点(,)3

m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 21．（本题满分12分）设函数2()e mx f x x mx =+-．

（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；

（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ?的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．

D D 1 C 1

A 1 E

F A B C

B 1

（Ⅰ）证明：//EF BC ；

（Ⅱ） 若AG 等于O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=??

=?（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:23cos C ρθ=．

（Ⅰ）．求2C 与1C 交点的直角坐标；

（Ⅱ）．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：

（Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+； （Ⅱ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件．

G

A

E

F O

N D B C

M

C B A

D D 1C 1

B 1A 1参考答案

1．A

【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =- ，故选A ．

考点：集合的运算．

2．B

【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 考点：复数的运算．

3．D

【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．

考点：正、负相关．

4．B

【解析】设等比数列公比为q ，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =，所以4260q q +-=，解得22q =，所以2357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B ．

考点：等比数列通项公式和性质．

5．C

【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2l o g 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．

考点：分段函数．

6．D

【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，

截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326

A A

B D V a a -=?=，故剩余几何体体积为3331566

a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5

1，故选D ． 考点：三视图．

7．C 【解析】由已知得321143AB k -==--，27341

CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得262y =±-，所以46MN =，故选C ．

考点：圆的方程．

8．B

【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ．

考点：程序框图．

9．C

【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326

O ABC C AOB V V R R R --==

??==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．

考点：外接球表面积和椎体的体积． B

O

A C

10．B

【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π

≤≤时，

2t a n

4t a n P A P B x x +=++；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x

+=-++++，当2x π=时，22PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即

34x ππ≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=+-，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=

对称，且()()42

f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ． 考点：函数的图象和性质． 11．D 【解析】设双曲线方程为22

221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作

MN x ⊥轴，垂足为N ，在R t B M N ?

中，BN a =，

3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．

考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．

12．A

【解析】记函数()()f x g x x =，则''2

()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0

x f x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞- ，故选A ． 考点：导数的应用、函数的图象与性质．

13．12

【解析】因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则12,k k

λ=??=?，所以12λ=． 考点：向量共线．

14．32 【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y =+的最大值为

32． 考点：线性规划．

15．3

【解析】

试题分析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇

数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．

考点：二项式定理．

x y –1–2–3–41234–1–2–3–41

2

3

4

D C B O

16．1n

- 【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=?，两边同时除以1n n S S +?，得1111n n S S +=--，故数列1n S ??????

是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n

=-． 考点：等差数列和递推关系．

17．【解析】（Ⅰ）1sin 2

ABD S AB AD BAD ?=?∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ?=?∠，因为2ABD ADC S S ??=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2

B A

C C AB ∠==∠． （Ⅱ）因为::AB

D ADC S S BD DC ??=，所以2BD =．在ABD ?和ADC ?中，由余弦定理得

2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-?∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-?∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．

18．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．

（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；

2A C 表示事件：

“A 地区用户满意度等级为非常满意”；

1B C 表示事件：

“B 地区用户满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：

“B 地区用户满意度等级为满意”． 则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C = ．

1122()()B A B A P C P C C C C = 1122()()

B A B A P

C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．

由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为

1620，420，1020，820．故1()A P C 16=20

， 2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020

P C ??=． 19．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：

（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则

14A M A E ==，18EM AA ==，

因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是226MH EH EM =-=，所以10AH =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE = ，(0,6,8)HE =- ．设(,,)n x y z = 是平面EHGF 的法向量，

则0,0,

n FE n HE ??=???=?? 即100,680,x y z =??-+=?所以可取(0,4,3)n = ．又(10,4,8AF =- ，故45cos ,15n AF n AF n AF

?<>==? ．所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为4515． 20．【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229

M x x kb x k +==-+， 299M M b y kx b k =+=

+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ?=-

．所以直A 1A B 1B

D 1

D C 1C

F E

H G M

线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．

（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．

因为直线l 过点(,)3

m m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k x y m ?=-???+=?得2222981P k m x k =+，即239

P km x k ±=+．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)

M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．于是239km

k ±=+

2(3)23(9)

mk k k -?+．解得147k =-，247k =+．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形．

21．【解析】（Ⅰ）'()(e 1)2mx f x m x =-+．

若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -≥，'()0f x >．

若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -<，'()0f x >．

所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()e 1f x f x -≤-的充要条件是：

(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-??--≤-?即e e 1,e e 1,

m m m m -?-≤-??+≤-??①，设函数()e e 1t g t t =--+，则'()e 1t g t =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，

在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)e 2e 0g --=+-<，

故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当

[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即e e 1m m ->-；当1m <-时，()0g m ->，即e e 1m m -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．

22．【解析】（Ⅰ）由于ABC ?是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的

弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则O E A E ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，

所以030OAE ∠=．所以ABC ?和AEF ?都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．

因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，1033AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223

??-??=．

23．【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为22

20x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,230,

x y y x y x ?+-=??+-=??解得0,0,x y =??=?或3,23,2x y ?

=????=??

所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)22

． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为(23cos ,)αα．所以2s i n 23c o s AB αα=-4i n ()3s πα=-，当56

πα=时，AB 取得最大值，最大值为

4．

24．【解析】（Ⅰ）因为2()2a b a b ab +=++，2()2c d c d cd +=++，由题设a b c d +=+，ab cd >，得22()()a b c d +>+．因此a b c d +>+． （Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由（Ⅰ）得a b c d +>+．

（ⅱ）若a b c d +>+，则22()()a b c d +>+，即2a b a b ++>2c d c d ++．因为a b c d +=+，所以a b c d >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d c d <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件．