人教中考数学压轴题专题复习——一元二次方程的综合

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．

己知函数2

22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x

x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）见解析,

（3）AM 的解析式为112

y x =-

-． 【解析】

【分析】

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式

【详解】

（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）令y=0，得△=

∴无论m 取何值，方程

总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．

（3）依题意有

，

由解得．

∴函数的解析式为

． 令y=0，解得

∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，

则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．

易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．

连结CB’，则∠BCD=45°

∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°

∴∠BCB’=90°

即B’（106-，）

设直线AB’的解析式为y kx b =+，则

20{106k b k b -+=+=-，解得112

k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =-

-， 即AM 的解析式为112

y x =--． 2．已知关于x 的方程2

21(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；

(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.

【答案】（1）32

k ≥

（2）4 【解析】

试题分析： 根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ?=-≥ ，解之即可得出结论. 根据韦达定理可得：212121114

x x k x x k ，+=+?=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值.

试题解析：

因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ?????=-+-??+=-≥

????? ， 解得32

k ≥. 根据韦达定理，

()221212111141 1.114

k k x x k x x k +-++=-=+?==+， 因为221212615x x x x +=-，所以()2

12128150x x x x +-+=，将上式代入可得 ()2211811504k k ??+-++= ???

，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32

k ≥，所以4k =.

3．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．

（1）求m 的取值范围；

（2）若1

1

1αβ+=-，则m 的值为多少？

【答案】（1）14m ≥

；（2）m 的值为3． 【解析】

【分析】

（1）根据△≥0即可求解,

（2）化简

11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】

解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，

解得：m≥-34

； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵

111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2

+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，

由（1）知m≥-

34

， ∴m 1=﹣1应舍去，

∴m 的值为3．

【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.

4．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分

别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析

【解析】

【分析】

根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.

【详解】

解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，

∴8AB =．

∴BQ x =，82PB x =-；

假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622

x x ??--=， 整理得：2480x x -+=，

∵1632160=-=-<，

∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.

5．关于x 的一元二次方程()22

210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；

（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.

【答案】(1) k ＜

14

;(2) k=0. 【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；

（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1?x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值．

【详解】

解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不等实根x1，x2，∴△=（2k-1）2-4×1×k2=-4k+1＞0，

解得：k＜1

4

，

即实数k的取值范围是k＜1

4

；

（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1?x2=k2，

∵x1+x2+x1x2-1=0，

∴1-2k+k2-1=0，

∴k2-2k=0

∴k=0或2，

∵由（1）知当k=2方程没有实数根，

∴k=2不合题意，舍去，

∴k=0．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．

6．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①

（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；

（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．

【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；

（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．

(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1

∴2--2=0．

∴

∴另一根是2；

(2)∵，

∴方程①有两个不相等的实数根．

考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程

点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根

7．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

【答案】（1）见详解；（2）4或4＋.

【解析】

【分析】

（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.

【详解】

解：（1）证明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，

∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0.

∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根.

（2）∵此方程的一个根是1，

∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，

则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.

①当该直角三角形的两直角边是1、3

形的周长为1＋3=4

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直

角边为1＋3＋=4＋

8．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？

【答案】共有35名同学参加了研学游活动．

【解析】

试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．

试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．

设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：

x[100﹣2（x﹣30）]=3150，

整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，

当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．

当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．

考点：一元二次方程的应用．

9．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．

（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32

倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的 售价定位为每千克多少元？

（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %，且储备排骨的销量占总销量的57

，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了

128

a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35.

【解析】

【分析】 （1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；

（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克

年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，

11月的进货价为： 340602元/千克

设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ，

解得10x =，25x =

因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ??-++?+=?+ ???

解得135a =,20a =(舍去)

所以a =35.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.

10．关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 2=0．

（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|﹣2，求m 的值及方程的根．

【答案】（1）证明见解析；（2）x 1=﹣，x 2=﹣1或

【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b 2﹣4ac 的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=-

b a ，x 1?x 2=

c a

，表示出两根的关系，得到x 1，x 2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.

试题解析：（1）一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 2=0，

∵a=1，b=﹣（m ﹣3）=3﹣m ，c=﹣m 2， ∴△=b 2﹣4ac=（3﹣m ）2﹣4×1×（﹣m 2）=5m 2﹣6m+9=5（m ﹣

35）2+365

， ∴△＞0，

则方程有两个不相等的实数根； （2）∵x 1?x 2=

c a

=﹣m 2≤0，x 1+x 2=m ﹣3， ∴x 1，x 2异号，

又|x 1|=|x 2|﹣2，即|x 1|﹣|x 2|=﹣2， 若x 1＞0，x 2＜0，上式化简得：x 1+x 2=﹣2，

∴m ﹣3=﹣2，即m=1，

方程化为x 2+2x ﹣1=0，

解得：x 1=﹣x 2=﹣1，

若x 1＜0，x 2＞0，上式化简得：﹣（x 1+x 2）=﹣2，

∴x 1+x 2=m ﹣3=2，即m=5，

方程化为x 2﹣2x ﹣25=0，

解得：x 1=1，x 2